题目 (选修Ⅱ)第三章导数单调性及其应用 高考要求 理解可导函数的单调性与其导数的关系； 知识点归纳 1利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤 （1）求（x） （2）确定（x）在（a，b）内符号 （3）若（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数 2用导数求多项式函数单调区间的一般步骤 （1）求（x） （2）（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间 题型讲解 例1 求下列函数的单调区间： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 分析：求函数的单调区间的具体步骤是：①确定的定义域；②计算导数；③求出的根；④用的根将的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内的符号,进而确定的单调区间 解:(1)函数的定义域 令得,用分割定义域D,得下表:   -2  1    + 0 - 0 +   ↗  ↘  ↗  的单调增区间是和,单调减区间是(-2,1) （2）函数的定义域 令得,用分割定义域D,得下表:   -1  0 （0，1） 1    — 0 + 0 — 0 +   ↘  ↗  ↘  ↘  的单调增区间是和,单调减区间是和(0,1) （3）函数的定义域为，, 令得 其中不在定义域内,用分割定义域D，得下表： x (0,)  (,+)   _ 0 +   ↘  ↗   的单调增区间是,单调减区间是 （4 ）函数的定义域  令得,用分割定义域D,得下表:   0  2    _ 0 + 0 _   ↘  ↗  ↘  的单调增区间是和,单调减区间是(0,2) 点评：一般情况下，函数在它的定义区间上不是单调的，对可导函数而言，它的单调减少和单调增加的区间分界点应是其导娄数符号正负交替的分界点，即在分界点处，为此，我们可以用使函数导数为0的点来划分函数的单调区间 例2 设f（x）=x3－3ax2+2bx在x=1处有极小值－1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间 剖析：由已知x=1处有极小值－1，点（1，－1）在函数f（x）上，得方程组解之可得a、b 解： （x）=3x2－6ax+2b，由题意知 即 解之得a=，b=－ 此时f（x）=x3－x2－x，（x）=3x2－2x－1=3（x+）（x－1） 当（x）>0时，x>1或x<－， 当（x）<0时，－1，即a>2时，函数f（x）在（－∞，1）上为增函数，在（1，a－1）上为减函数，在（a－1，+∞）上为增函数 依题意，当x∈（1，4）时，（x）<0，当x∈（6，+∞）时，（x）>0，∴4≤a－1≤6 ∴5≤a≤7∴a的取值范围为［5，7］ 点评：若本题是“函数f（x）在（1，4）上为减函数，在（4，+∞）上为增函数”我们便知x=4两侧使函数（x）变号，因而需要讨论、探索，属于探索性问题 例5 设恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间 解：由f(x)的解析式得， 若a>0, 则  , f(x) 单调,矛盾； 若a=o，则 ,f(x)单调； 若a<0, 则 由此可知，当a<0时，f(x)恰有三个单调区间，其中减区间为：,,增区间 例6 已知x>1，证明不等式x>ln(1+x) 分析：构造辅助函数f(x)=x-ln(1+x)，只需证明f(x)在(1,)上递增即可 证明：设 f(x)=x-ln(1+x),x>1，则   在上是增函数 又f(1)=1-ln2>1-lne=0  即 小结: 1函数的单调性用列表的方法处理，结果明显清晰，不易出错 2用函数的单调性证明不等式要注意两点：一是构造函数，二是单调区间起点的函数值 学生练习 1函数y=x2（x－3）的减区间是 A（－∞，0） B（2，+∞） C（0，2） D（－2，2） 解析：y′=3x2－6x，由y′<0，得00且b∈R Ca<0且b≠0 Da<0且b∈R 解析： （x）=2ax，x<0且（x）<0，∴a>0且b∈R 答案：B 3已知f（x）=（x－1）2+2，g（x）=x2－1，则f［g（x）］ A在（－2，0）上递增 B在（0，2）上递增 C在（－，0）上递增 D在（0，）上递增 解析：F（x）=f［g（x）］=x4－4x2+6，（x）=4x3－8x， 令（x）>0，得－， ∴F（x）在（－，0）上递增 答案：C 4已知a>0，函数f（x）=x3－ax在［1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是 A0 B1 C2 D3 解析：（x）=3x2－a在［1，+∞)上，（x）≥0恒成立，即a≤3x2在［1，+∞）上恒成立，∴a≤3 答案：D 5已知函数f（x）=x4－4x3+10x2，则方程f（x）=0在区间［1，2］上的根有 A3个 B2个 C1个 D0个 解析：（x）=4x（x2－3x+5）在［1，2］上，（x）>0， ∴f（x）在［1，2］上单调递增 ∴f（x）≥f（1）=7 ∴f（x）=0在［1，2］上无根 答案：D 6在（a，b）内（x）>0是f（x）在（a，b）内单调递增的____条件 解析：∵在（a，b）内，f（x）>0，∴f（x）在（a，b）内单调递增 答案：充分 7若函数y=－x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是________ 解析：y′=－4x2+b，若y′值有正、有负，则b>0 答案：b>0 8设函数f（x）=x3－ax2+3x+5（a>0），求f（x）的单调区间 解：（1）（x）=3x2－ax+3，判别式Δ=a2－36=（a－6）（a+6） 1°00对x∈R恒成立 ∴当06时，Δ>0，由（x）>0x>或x< （x）<00，f（x）为增函数；在［－，1］上（x）<0，f（x）为减函数所以所求f（x）的单调增区间为（－∞，－]和［1，+∞)，单调减区间为［－，1］ （2）当x∈［1，2］时，显然（x）>0，f（x）为增函数，f（x）≤f（2）=7 ∴m>7 10已知函数f（x）=x3－ax－1 （1）若f（x）在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； （2）是否存在实数a，使f（x）在（－1，1）上单调递减?若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由； （3）证明f（x）=x3－ax－1的图象不可能总在直线y=a的上方 解：（x）=3x2－a，（1）3x2－a>0在R上恒成立，∴a<0 又a=0时，f（x）=x3－1在R上单调递增，∴a≤0 （2）3x2－a<0在（－1，1）上恒成立，即a>3x2在（－1，1）上恒成立，即a>3 又a=3，f（x）=x3－3x－1，（x）=3（x2－1）在（－1，1）上，（x）<0恒成立，即f（x）在（－1，1）上单调递减，∴a≥3 （3）当x=－1时，f（－1）=a－20，得x∈（－，0）∪（，+∞）， 则f（x）的单调递增区间为（－，0）和（，+∞） 12已知函数f（x）=2ax－x3，a>0，若f（x）在x∈（0，1］上是增函数，求a的取值范围 解：（x）=2a－3x2在（0，1]上恒为正，∴2a>3x2，即a>x2 ∵x∈（0，1]，∴x2∈（0，] ∴a>当a=时也成立∴a≥ 13证明方程x3－3x+c=0在［0，1］上至多有一实根 证明：设f（x）=x3－3x+c，则（x）=3x2－3=3（x2－1） 当x∈（0，1）时，（x）<0恒成立 ∴f（x）在（0，1）上单调递减 ∴f（x）的图象与x轴最多有一个交点 因此方程x3－3x+c=0在［0，1）上至多有一实根 14若函数f（x）=ax3－x2+x－5在（－∞，+∞）上单调递增，求a的取值范围 解： （x）=3ax2－2x+1>0恒成立 ∴即∴a> 当a=时，f（x）在（－∞，+∞）上单调递增∴a≥ 15求证：x>1时，2x3>x2+1 证明：令f（x）=2x3－x2－1，则（x）=6x2－2x=2x（3x－1） 当x>1时，（x）>0恒成立∴f（x）在（1，+∞）上单调递增 又∵f（1）=0， ∴f（x）在（1，+∞）上恒大于零，即当x>1时，2x3>x2+1 16求满足条件的 （1）使为上增函数 （2）使为上增函数 （3）使为上增函数 解：（1） ∴  时 也成立 ∴  （2）  时 也成立 ∴  （3） 17求证下列不等式 （1）  （2）  （3）  证：（1）   ∴ 为上 ∴   恒成立 ∴     ∴ 在上 ∴  恒成立 （2）原式 令     ∴  ∴     ∴  （3）令     ∴  ∴  18设，求函数的单调区间 分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力 解： 当时   （i）当时，对所有，有 即，此时在内单调递增 （ii）当时，对，有， 即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，函数在（0，+）内单调递增 （iii）当时，令，即 解得 因此，函数在区间内单调递增，在区间内也单调递增 令， 解得 因此，函数在区间内单调递减 点评：本题用传统作差比较法无法划分函数的单调区间，只有用导数才行，这是教材新增的内容其理论依据如下（人教版试验本第三册P148）： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数如果，则为常数 19（1）在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程； （2）一质点做直线运动，它所经过的路程和时间的关系是s=3t2+t，求t=2时的瞬时速度 解析：（1） 当x0=-1时，k有最小值3，此时P的坐标为（-1，-14） 故所求切线的方程为3x-y-11=0 （2）=6t+1，当t=2时，=13， ∴ 当t=2时，质点的瞬时速度为13 点拨：1、导数的几何意义：就是曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处的切线斜率，即=k切线 20是否存在这样的k值，使函数在（1，2）上递减，在（2，-∞）上递增 解析：f(x)=4k2x3-2x2-2kx+2，由题意，当x∈（1，2）时，＜0 当x∈(2，+∞)时，＞0 由函数的连续性可知=0 即32k2-8-3=0得或 验证：当时， 若1＜x＜2，， 若x＞2，，符合题意 当时，  显然不合题意 综上所述，存在，满足题意 点评：利用导数处理单调性问题，讨论的区间是开区间，注意递增与递减区间的交界处的导数为0，本题求出k值后还需讨论验证 课前后备注 　
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