题目 第二章函数函数的单调性
高考要求
了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法。会用函数单调性解决一些问题．
知识点归纳
函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．
复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．
函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．
1．函数单调性的定义：
2. 证明函数单调性的一般方法:
①定义法：设；作差（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；判断正负号。
②用导数证明： 若在某个区间A内有导数，则
在A内为增函数；在A内为减函数。
3. 求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法。
4.复合函数在公共定义域上的单调性：
①若f与g的单调性相同，则为增函数；
②若f与g的单调性相反，则为减函数。
注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。
5．一些有用的结论：
①奇函数在其对称区间上的单调性相同；
②偶函数在其对称区间上的单调性相反；
③在公共定义域内：
增函数增函数是增函数；
减函数减函数是减函数；
增函数减函数是增函数；
减函数增函数是减函数。
④函数在上单调递增；在上是单调递减。
题型讲解
例1若y=log(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是
A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．[2，+∞)
分析：本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：①使log(2-ax)有意义，即a＞0且a≠1，2-ax＞0．②使log(2-ax)在[0，1]上是x的减函数．由于所给函数可分解为y=logu，u=2-ax，其中u=2-ax在a＞0时为减函数，所以必须a＞1；③[0，1]必须是y=log(2-ax)定义域的子集．
解法一：因为f(x)在［0，1］上是x的减函数，所以f(0)＞f(1)，
即log2＞log(2-a)．
解法二：由对数概念显然有a＞0且a≠1，因此u=2-ax在［0，1］上是减函数，y= logu应为增函数，得a＞1，排除A，C，再令a=3,则的定义域为，但［0，1］不是该区间的子集。故排除D，选B.
说明：本题为1995年全国高考试题，综合了多个知识点，无论是用直接法，还是用排除法都需要概念清楚，推理正确．
例2（1）求函数的单调区间；
（2）已知若试确定的单调区间和单调性．
解：（1）单调增区间为：单调减区间为，
（2），
，
令 ，得或，
令 ，或
∴单调增区间为；单调减区间为．
例3设，是上的偶函数．
（1）求的值；（2）证明在上为增函数．
解：（1）依题意，对一切，有，即
∴对一切成立，则，∴，
∵，∴．
（2）(定义法)设，则
，
由，得，，
∴，
即，∴在上为增函数．
（导数法）∵，
∴
∴在上为增函数．
例4（1）若为奇函数，且在上是减函数，又，则的解集为___________．
解：由得或
∵为奇函数，在上是减函数，
∴由；由
∴的解集为.
例5 已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时，
（1）求证：是偶函数；
（2）在上是增函数；
（3）解不等式．
解：（1）令，得，∴，
令，得，
∴，
∴是偶函数．
（2）设，则
∵，∴，∴，
即，∴
∴在上是增函数．
（3），∴，
∵是偶函数
∴不等式可化为，
又∵函数在上是增函数，
∴，解得：，
即不等式的解集为．
例6函数在上是增函数，求的取值范围．
分析：由函数在上是增函数可以得到两个信息：①对任意的总有；②当时，恒成立．
解：∵函数在上是增函数，
∴对任意的有，
即，得
，即，
∵，∴ ，
∵，∴要使恒成立，只要；
又∵函数在上是增函数，∴，
即，综上的取值范围为．
另解：（用导数求解）
令，函数在上是增函数，
∴在上是增函数，，
∴，且在上恒成立，得．
学生练习
1．判断函数f(x)=ax/(x2(1) (a≠0)在区间((1,1)上的单调性。
2．已知函数f(x)=a(ax(a(x)/(a(2) (a>0,且a≠1)是R上的增函数，求a的取值范围。
3．设函数f(x)= (a>0),求a的取值范围，使函数f(x)在区间[0,+()上是单调函数。
4．函数y=的递减区间是
5．求y=log0.7(x2(3x+2)的单调区间及单调性
6．求y=8+2log0.5x (log0.52x的单调区间及单调性.
7．函数y=lncos(x/3+(/4)的递减区间是
8．函数y=loga(2(ax)在[0,1]上是减函数，则a的取值范围是
9．已知奇函数f(x)在定义域[(2,2]上递减，求满足f(1(m)+f(1(m2)<0的实数m的取值范围。
10．已知a>0,a≠1,有f(logax)=
(1)求f(x)的表达式，并证明f(x)在(((,+()上是增函数；
(2)求证：对于任意大于1的自然数n,f(n)>n成立。
11.写出函数f(x)=log0.5|x2(x(12|的单调区间
12．比较下面三个数的大小：, ,
13．设奇函数f(x)在[0,+(）上是增函数，若对于任意实数x，不等式f(kx)+f(x(x2(2)<0恒成立，求实数k的取值范围。
14．已知q>0,且q≠1,数列{an}是首项和公比都为q的等比数列，设bn=anlog5an (n(N),
(1)当q=5时，求数列{bn}的前n项和Sn；
(2) 在(1)的条件下，求;
(3)在数列{bn}中，对于任意自然数n，当m>n时，都有bm>bn,求q的取值范围。
15．甲乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(单位：千米/小时)的平方成正比，比例系数为b,固定部分为a元。
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/小时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
16.函数f(x)=log0.5|sinx(cosx|的单调递增区间是
单调递减区间是 。
参考答案：
1． a>0,f(x)递减；a<0,f(x)递增
2． a((0,1)((2,+()
3． a(1时，f(x)递减； 0nf(n)+1>n+1,证明f(n+1)>f(n)+1>n+1
11.作图，在((3,1/2]和(4,+()上递减，在(((,(3)和[1/2,4)上递增。）
12． >>
13． (2(11或q<1/2
15． (1)y=S(a/v+bv) v((0,c];
(2)若(c,则当v=时，全程运输成本最小；
若>c,则y在(0,c]上为减函数，从而当v=c时，全程运输成本最小。
16. [k(+3(/4,k(+5(/4) (k(Z)；(k(+(/4,k(+3(/4] (k(Z)
课前后备注
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