幂函数
一．教学目标：
1．知识技能
（1）理解幂函数的概念；
（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.
2．过程与方法
类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.
3．情感、态度、价值观
（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；
（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.
二．重点、难点
重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质
难点：从幂函数的图象中概括其性质
5．学法与教具
（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ;
（2）教学用具：多媒体
三．教学过程：
引入新知
阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题.
（1）它们的对应法则分别是什么？
（2）以上问题中的函数有什么共同特征？
让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论
答：1、（1）乘以1 （2）求平方 （3）求立方
（4）求算术平方根 （5）求－1次方
2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：，其中是自变量，是常数.
探究新知
1．幂函数的定义
一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.
如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.
2．研究函数的图像
（1） （2） （3）
（4） （5）
一．提问：如何画出以上五个函数图像
引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.
让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质.
通过观察图像，填P91探究中的表格
定义域
R
R
R
奇偶性
奇
奇
奇
非奇非偶
奇
在第Ⅰ象限单调增减性
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递减
定点
（1，1）
（1，1）
（1，1）
（1，1）
（1，1）
3．幂函数性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：）；
（2）＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.
特别地，当＞1，＞1时，∈（0，1），的图象都在图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）
当∠α＜1时，∈（0，1），的图象都在的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）
（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.
在第一家限内，当向原点靠近时，图象在轴的右方无限逼近轴正半轴，当慢慢地变大时，图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴.
例题：
1．证明幂函数上是增函数
证：任取＜则
=
=
因＜0，＞0
所以，即上是增函数.
思考：
我们知道，若得，你能否用这种作比的方法来证明上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？
2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小
（1） （2） （3）
分析：利用幂函数的单调性来比较大小.
5．课堂练习
画出的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性.
6．归纳小结：提问方式
（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？
（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？
作业：P92 习题 2.3 第2、3 题
小结与复习
一.教学目标
1.知识与技能
（1）理解指数与对数,指数函数与对数函数的联系.
（2）能更加熟练地解决与指数函数,对数函数有关的问题.
2.过程与方法
通过提问,分析点评,让学生更能熟悉指数函数,对数函数的性质.
3.情感、态度、价值观
（1）提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构.
（2）培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力.
二.重点、难点
重点：指数函数与对数函数的性质。
难点：灵活运用函数性质解决有关问题。
三、学法与教具
1、学法：讲授法、讨论法。
2、教具：投影仪。
四、教学设想
1、回顾本章的知识结构
2、指数与对数
指数式与对数式的互化
幂值 真数
＝ N＝ b
底数
指数←→对数值
提问：在对数式中，a，N，b的取值范围是什么？
例1：已知＝，54b＝3，用的值
解法1：由＝3得＝b
∴＝＝
解法2：由
设
所以
即：
所以
因此得：
（1）法1是通过指数化成对数，再由对数的运算性质和换底公式计算结果.
法2是通过对数化成指数，再由指数的运算性质计算出结果，但法2运算的技巧性较大。
2．指数函数与对数函数
问题1：函数分别必须满足什么条件.
问题2：在同一直角坐标系中画出函数的图象，并说明两者之间的关系.
问题3：根据图象说出指数函数与对数函数的性质.
例2：已知函数的图象沿轴方向向左平移1个单位后与的图象关于直线对称，且，则函数的值域为 .
分析：函数关于直线对称的函数为
∴
∴
∵
小结：底数相同的指数函数与对数函数关于对称，它们之间还有一个关系式子：
例3：已知
（1）求的定义域
（2）求使的的取值范围
分析：（1）要求的定义域，
则应有
（2）注意考虑不等号右边的0化为，则（2）小题变为两种情况分别求出.
建议：通过提问由学生作答
课堂小结：
1．指数与对数实质上只是同一数量关系的两种不同的形式，它们之间可以互化，这种等价互化也是指数运算和对数运算的常用方法.
2．底数相同的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图象关于对称，它们在各自的定义域内增减性是一致的，通过函数图象，利用数形结合，记作指数函数与对数函数的性质.
作业：P90 A组 3 7
P91 B组 3 4
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