题目
第三章数列







等比数列 高考要求
理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题. 知识点归纳
1．等比数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（
）
2．等比中项：如果在
与
之间插入一个数
，使
，
，
成等比数列，那么
叫做
与
的等比中项
也就是，如果是的等比中项，那么
，即

3．等比数列的判定方法： ①定义法：对于数列
，若
，则数列
是等比数列
②等比中项：对于数列
，若
，则数列
是等比数列
4．等比数列的通项公式：如果等比数列
的首项是
，公比是
，则等比数列的通项为

或着

5．等比数列的前n项和： 

当
时，

当
时，前n项和必须具备形式

6．等比数列的性质： ①等比数列任意两项间的关系：如果
是等比数列的第
项，
是等差数列的第
项，且
，公比为
，则有
对于等比数列
，若
，则
也就是：

如图所示：
③若数列
是等比数列，
是其前n项的和，
，那么只有当公比
且k为偶数时,
，
，
不成等比数列
如下图所示：
题型讲解
例1等比数列
中，各项均为正数，且
，求

解：设等比数列首项为
，公比为q，则

另法：
，
将两式相加得
又因为数列
中，各项均为正数，所以
＝7. 例2一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列；如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列
解：设所求的等比数列为a ,aq ,aq2, 则 2(aq+4)=a+aq2 且(aq+4)2=a(aq2+32) 解得a=2 ，q=3 或a=
，q=-5 故所求的等比数列为2，6,18或
，-
，

例3设首项为正数的等比数列，它的前n项和为80，前2n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的首项和公比q
解：设等比数列｛an｝的前n项和为Sn 依题意设：a1＞0，Sn=80 ，S2n=6560 ∵S2n≠2Sn , ∴q≠1 从而
=80 且
=6560 两式相除得1+qn=82 ，即qn=81 ∴a1=q-1＞0 即q＞1,从而等比数列｛an｝为递增数列，故前n项中数值最大的项为第n项
∴a1qn-1=54,从而(q-1)qn-1=qn-qn-1=54 ∴qn-1=81-54=27 ∴q=
=3 ∴a1=q-1=2 故此数列的首为2，公比为3
例4已知数列｛an｝的前n项和Sn=
an+1,求a1+a3+……+a2n-1 . 解：当n=1时，a1=s1=
a1+1即a1=
； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
an-
an-1 即

∴数列｛an｝是以
为首项，-
为公比的等比数列 ∴an=
(-
)n-1 ,a2n-1=
(-
)2n-2=
(
)n-1 ∴a1+a3+……+a2n-1=
=
例5 在
和
之间插入n个正数，使这
个数依次成等比数列，求所插入的n个数之积；解法1：设插入的n个数为
，且公比为q则

解法2：设插入的n个数为
，




说明：第一种解法利用等比数列的基本量
，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁；第二种解法利用等比数列的性质，与“首末项等距”的两项积相等，这在解题中常用到； 例6　设数列{an}前n的项和为 Sn，且
其中m为常数，
（1）求证：{an}是等比数列； （2）若数列{an}的公比满足q=f(m)且

为等差数列，并求
． 解：（1）由
，得
两式相减，得


是等比数列．
点评：为了求数列
的通项，用取＂倒数＂的技巧，得出数列
的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题． 例7　设数列
的前n项和为Sn，若
是首项为S1各项均为正数且公比为q的等比数列. （１）求数列
的通项公式
（用S1和q表示）； （２）试比较
的大小，并证明你的结论. 解：（１）∵
是各项均为正数的等比数列， ∴
． 当n=1时，a1=S1； 当
． ∴
（２）当n=1时，
∴
．

∵
①当q=1时，
②当

③当

综上可知：当n=1时，
．当
若
若
点评　数列与比较大小的综合是高考命题的一个老话题，我们可以找到较好的高考真题．本题求解当中用到
与
之间的关系式：

例8 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入资金800万元，以后每年投入资金比上年减少

本年度当地旅游产业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加

(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元
写出an、bn的表达式； (Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 解：(Ⅰ)第1年投入800万元， 第2年投入800(1-
)万元，……， 第n年投入800(1-
)n-1万元
所以总投入为an=800+800(1-
)+……+800(1-
)n-1=4000[1-(
)n] 第1年的收入400万元， 第2的收入400(1+
)万元，……， 第n年的收入为400(1+
)n-1万元
所以总收入bn=400+400(1+
)+……400(1+
)n-1=1600[(
)n-1] (Ⅱ)要使旅游业的总收入超过总投入，即bn-an＞0
由(Ⅰ)得1600[(
)n-1]-400[1-(
)n]＞0
化简得，5×(
)n+2×(
)n-7＞0 设x=(
)n，则5x2-7x+2＞0 ∴x＜
或x＞1(舍) 即(
)n＜
，故n≥5
故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入
说明：本题主要考查建立函数关系式，数列求和，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力
解数学问题应用题重点在过好三关：（1）事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；（2）文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；（3）数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答
小结：等比数列的通项公式和前n项和公式涉及五个基本量：a1、q、n、an、Sn，“知三求二”是最基本的运算，用待定系数法建立方程是重要的处理策略
学生练习
1．数列1，37，314，321，……中，398是这个数列的（ ） （A）第13项 （B）第14项 （C）第15项 （D）不在此数列中 2．在公比q
1的等比数列{an}中，若am=p,则am+n的值为（ ） （A）pqn+1 （B）pqn-1 （C）pqn （D）pqm+n-1 3.若数列{an}是等比数列，公比为q，则下列命题中是真命题的是（ ） （A）若q>1,则an+1>an （B）若00,b>0,a
在a与b之间插入n个正数x1,x2,…,xn，使a,x1,x2…,xn,b成等比数列，则
= 24．在正数项列{an}中，a2n+3=an+1,an+5,且a3=2,a11=8,则a7= 25．已知首项为
，公比为q(q>0)的等比数列的第m,n,k项顺次为M，N，K，则(n-k)log
M+(k-m)log
N+(m-n)log
K= 26．若数列{an}为等比数列，其中a3,a9是方程3x2+kx+7=0的两根，且(a3+a9)2=3a5a7+2,则实数k= 27．若2，a,b,c,d,18
六个数成等比数列，则log9
= 28.2+(2+22)+(2+22+23)+…+（2+22+23+…+210）= 29．数列{an}的前n项和Sn满足loga(Sn+a)=n+1(a>0,a
1),则此数列的通项公式为 30．某工厂在某年度之初借款A元，从该年度末开始，每年度偿还一定的金额，恰在n年内还清，年利率为r,则每次偿还的金额为 元
31.已知等比数列{an}，公比为-2，它的第n项为48，第2n-3项为192，求此数列的通项公式
32.数列{an}是正项等比数列，它的前n项和为80，其中数值最大的项为54，前2n项的和为6560，求它的前100项的和
33.已知a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c成等比数列，且公比为q,求证：（1）q3+ q 2+q=1,（2）q=
34.已知数列{an}满足a1=1,a2=-
,从第二项起，{an}是以
为公比的等比数列，{an}的前n项和为Sn，试问：S1,S2,S3…,Sn,…能否构成等比数列？为什么？ 35.求Sn=(x+
)+(x2+
)+…+(xn+
)(y
)
36.某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营，每年资金增长率为50%，但每年年底都要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过五年，资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年扣除的消费资金应是多少万元（精确到万元）
37.陈老师购买安居工程集资房7m2,单价为1000/ m2，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担，房地产开发公司对教师实行分期付款，即各期所付的款以及各期所付的款到最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余款的现价以及这个余款现价到最后一次付款时所生利息之和，每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次，再过一年又付款一次等等，若付10次，10年后付清
如果按年利率的7.5%每年复利一次计算(即本年利息计入次年的本金生息),那么每年应付款多少元?(参考数据:1.0759
1.921,1.07510
2.065,1.07511
2.221) 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10  答案 C C D A C A B D C A  题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20  答案 D B D A C B A B D B  13．若q=1,Sn=na1

若q=-1,Sn=
当n为偶数时，Sn=0 14.a4 a5 a6=
=4, ∴a5=
log3a1+log3a2+log3a8+log3a9=log3(a1a2a8a9)=log3a45=4log33
=
18.an+1+2=2(an+1) , ∴
∴{an+2}是以4为首项，2为公比的等比数列， ∴ an+2=4·2n-1=2n+1 ∴an=2n+1-2
20．a1an=a2an-1=a3an-2=…=ana1 ∴


21.1 22.50，10，2或2,10,50 23.
24.4 25.0 26.
9 a3+a9=-
a3a9=a5a7=-
∴ (-
)2=3×
+2
k=
9 27.-
28.212-24 29.an=(a-1)an 30.
31．

解得a1=3 ∴an=a1qn-1=3(-2)n-1
32．∵ S2n>Sn, ∴q
1

②/①,得qn=81 ③ ∴q>1,故前n项中an最大
③代入①，得a1=q-1 又由an=a1qn-1=54,得81a1=54q ∴a1=2,q=3 ∴S100=

33．（1）q3+q2+q=
(2)q=
由合分比定理，可得q=
34.当n
2时，an=a2qn-2=-
(
)n-2=-(
)n-1 ∴an=

当n=1时，S1=a1=1 当n
2时， Sn=a1+a2+…+an=1-
-(
)2-…-(
)n-1=1-[
+(
)2+…+(
)n-1] =1-
∴Sn=(
)n-1


{Sn}可以构成等比数列
35.当x
1,y
1时， ∴Sn=(x+x2+…+xn)+(
+
) =
当x=1,y
1时 Sn=n+
当x
1,y=1时 Sn=
当x=y=1时 Sn=2n 36.设an表示第n年年底扣除消费基金后的资金
a1=1000(1+
)-x a2=[1000(1+
)-x](1+
)-x=1000(1+
)2-x(1+
)-x a3=[1000(1+
)2-x(1+
)-x](1+
)-x=1000(1+
)3-x(1+
)2-x(1+
)-x 类推所得 a5=1000(1+
)5-x(1+
)4-x(1+
)3-x(1+
)2-x(1+
)-x 则1000（
）5-x[(
)4+(
)3+…+1]=2000 即1000(
)5-x·
解得x
424万元 37．设每年付款x元，那么10年后 第一年付款的本利和为a1=1.0759x元
第二年付款的本利和为a2=1.0758x元
依次类推 第n年付款的本利和为an=1.07510-nx元
则各年付款的本利和{an}为等比数列
∴10年付款的本利和为S10=

个人负担的余额总数为72×1000-28800-14400=28800元
10年后余款的本利和为18800×1.07510 ∴·
解得x=
. 课前后备注
　

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