题目 第三章数列数列的求和 高考要求 等差数列与等比数列的有限项求和总是有公式可求的，其它的数列的求和不总是可求的，但某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法 知识点归纳 1等差数列的前n项和公式： Sn= Sn= Sn= 当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0； 当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式 2等比数列的前n项和公式： 当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)； 当q≠1时，Sn= Sn= 3拆项法求数列的和，如an=2n+3n 4错位相减法求和，如an=(2n-1)2n （非常数列的等差数列与等比数列的积的形式） 5分裂项法求和，如an=1/n(n+1) （分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式） 6反序相加法求和，如an= 7求数列{an}的最大、最小项的方法： ①an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② (an>0) 如an= ③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= 题型讲解 例1 （分情况讨论）求和： 解：①当a=0或b=0时， ②当a=b时，； ③当ab时， 例2（分部求和法）已知等差数列的首项为1，前10项的和为145，求  解：首先由 则  例3（分部求和法）求数列1，3＋，32＋，……，3n＋的各项的和 解：其和为： (1＋3＋……＋3n)＋(＋……＋)==(3n＋1-3-n) 例4（裂项求和法） 解：，   例5（裂项求和法）已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和： 解：首先考虑 则= 点评：已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求和 也可用裂项求和法 例6（错位相减法）设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和 解：①若a=0时，Sn=0 ②若a=1，则Sn=1+2+3+…+n= ③若a≠1，a≠0时，Sn-aSn=a（1+a+…+an-1-nan）， Sn= 例7（错位相减法）已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和 解：  ①-②得：  点评：设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列 的前项和求解，均可用错位相减法 例8（组合化归法）求和： 解： 而连续自然数可表示为组合数的形式，于是，数列的求和便转化为组合数的 求和问题了      点评：可转化为连续自然数乘积的数列求和问题，均可考虑组合化归法当然本题也可以将通项展开为n的多项式，再用分部求和法 例9（逆序相加法）设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和： 解：因为      点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列的前项和，是否存在等差数列使得对一切自然数n都成立 例10（递推法）已知数列的前项和与满足： 成等比数列，且，求数列的前项和 解：由题意：  ∴  点评：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列的前项和的递推公式，是一种最佳解法 例11 数列中，且满足  ⑴求数列的通项公式； ⑵设，求； ⑶设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 解：（1）由题意，， 为等差数列，设公差为， 由题意得，  （2）若，   时，   故  （3）  若对任意成立，即对任意成立， 的最小值是，的最大整数值是7 即存在最大整数使对任意，均有 说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题 例12 已知函数,数列{an}满足a1 = 1,an+1 = f(an) (n∈N*) (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 记Sn = a1a2 +a2a3+…+anan+1 , 求Sn并求 解: (Ⅰ) 由 得 3anan+1 +an+1 = an ,从而  , 即 ,数列是以为首项3为公差的等差数列 ∴  , ∴  (Ⅱ) 设bn = anan+1 ,则 , ∴  ∴  , ∴  小结： 1等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法,复杂的数列转化为等差、等比数列 2 由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想,数学归纳法是这一思想的理论基础 3错位相减”、“裂项相消”是数列求和最重要的方法 学生练习 1设S和T分别为两个等差数列的前n项和，若对任意n∈N，都有 ，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是( ) A4∶3 B3∶2 C7∶4 D78∶71 2一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n项和最大时，n等于（　） A5　　　　　 B6 C7　　　　 D8 3若数列中，，且 ，则数列的通项  4设在等比数列中，求及 5根据下面各个数列的首项和递推关系，求其通项公式 ⑴ ⑵ ⑶ 6数列的前项和为不等于0，1的常数)，求其通项公式 7某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2001年底全县的绿化率已达30%从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化 （1）设全县面积为1，2001年底绿化面积为经过年绿化总面积为 求证 （2）至少需要多少年（年取整数，）的努力，才能使全县的绿化率达到60%？ 8 某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降若不进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为500(1+)万元(n为正整数) (Ⅰ)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润Bn万元(须扣除技术改造资金)，求An、Bn的表达式 (Ⅱ)依上述预测，从今年起该企业经过至少多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不不进行技术改造的累计纯利润？ 参考答案: 1解：设这两个等差数列分别为{an}和{bn}  故选择A 说明：注意巧妙运用等差中项的性质来反映等差数列的通项an与前2n-1项和S2n-1的内在联系 2解：依题意知数列单调递减，公差d＜0因为 S3=S11=S3+a4+a5+…+a10+a11 所以　a4+a5+…+a10+a11=0 即　a4+a11=…=a7+a8=0， 故当n=7时，a7＞0，a8＜0选择C 3解：多次运用迭代，可得  4解：， 又，由以上二式得 或；由此得或 5解：（1），，   （2） = 又解：由题意，对一切自然数成立，   （3）是首项为 公比为的等比数列， 说明：本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法 6解：由可得当时， ，，  ，，是公比为的等比数列 　又当时，，， 说明：本例复习由有关与递推式求，关键是利用与的关系进行转化 7（1）证明：由已知可得确定后，表示如下： = 即=80%+16%=+ （2）解：由=+可得： =（）=（）2（）=…= 故有=，若则有 即 两边同时取对数可得 故，故使得上式成立的最小为5， 故最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60% 8 (Ⅰ)依题意， An=(500-20)+(500-40)+……+(500-20n)=490n-10n2 Bn=500-60=500n--100 (Ⅱ) Bn- An=(500n--100)-(490n-10n2)=10n2+10n--100 =10 因为函数y=x(x+1)- -10在(0，+∞)上为增函数 当1≤n≤3时，n(n+1)- -10≤12--10＜0 当n≥4时，n(n+1)- -10≥20--10＞0 ∴仅当n≥4时，Bn＞An 课前后备注 　
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