题目 第五章平面向量平面向量的数量积 高考要求 掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件 知识点归纳 1两个向量的数量积： 已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos 叫做与的数量积（或内积） 规定 2向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影 3数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系： 5乘法公式成立： ；  6平面向量数量积的运算律： ①交换律成立： ②对实数的结合律成立： ③分配律成立： 特别注意：（1）结合律不成立：； （2）消去律不成立不能得到 （3）=0不能得到=或= 7两个向量的数量积的坐标运算： 已知两个向量，则·= 8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则∠AOB= （）叫做向量与的夹角 cos== 当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 9垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥ 10两个非零向量垂直的充要条件： ⊥·＝O平面向量数量积的性质 题型讲解 例1 判断下列各命题正确与否： （1）；（2）； （3）若，则； ⑷若，则当且仅当时成立； （5）对任意向量都成立； （6）对任意向量，有 解：⑴错； ⑵对； ⑶错； ⑷错； ⑸ 错；⑹对 例2已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角 解：由题意，，且与的夹角为， 所以，， ， ， 同理可得 而， 设为与的夹角， 则  点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑 例3 已知，，，按下列条件求实数的值 （1）；（2）； 解： （1）； （2）；   点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算 例4 已知＝（１，），＝（＋１，－１），则与的夹角是多少? 分析：为求与夹角，需先求及｜｜·｜｜，再结合夹角θ的范围确定其值 解：由＝（１，），＝（＋１，－１） 有·＝＋１＋（－１）＝４，｜｜＝２，｜｜＝２ 记与的夹角为θ，则cosθ＝ 又∵０≤θ≤π，∴θ＝ 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定 例5 如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△ABC，使( = 90(，求点和向量的坐标 解：设点坐标(x, y)，则= (x, y)，= (x(5, y(2) ∵( ∴x(x(5) + y(y(2) = 0即：x2 + y2 (5x ( 2y = 0 又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x(5)2 + (y(2)2即：10x + 4y = 29 由 ∴点坐标或；=或 例6 在△ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值 解：当 = 90(时，(= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k = 当 = 90(时，(= 0，=(= (1(2, k(3) = ((1, k(3) ∴2×((1) +3×(k(3) = 0 ∴k = 当C= 90(时，(= 0，∴(1 + k(k(3) = 0 ∴k = 例7 已知＝（3，4），＝（4，3），求x,y的值使(x+y)⊥，且｜x+y｜=1 分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想 解：由＝（3，4），＝（4，3），有x+y=(3x+4y,4x+3y) 又（x+y）⊥(x+y)·＝０3(3x+4y)+4(4x+3y)=0 即25x+24y＝０ ① 又｜x+y｜=1｜x+y｜２＝１ （３x+4y）２＋（４x+3y）２＝１ 整理得25x２＋48xy+25y２＝１即x(25x+24y)+24xy+25y２＝１ ② 由①②有24xy+25y２＝１ ③ 将①变形代入③可得：y=± 再代回①得： 学生练习 1若=(-4,3),=(5,6),则3||２－４＝（ ） A23 B57 C63 D83 2已知(1,2),(2,3),(-2,5)，则△为（ ）  A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D不等边三角形 3已知=(4,3),向量是垂直的单位向量，则等于（ ） A或 B或 C或 D或 4已知=(2,3),=(-4,7),则在方向上的投影为（ ） A B C D 5已知=(λ，２)，=(-3,5)且与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）  Aλ＞ Bλ≥ Cλ＜ Dλ≤ 6给定两个向量=(3,4),=(2,-1)且(+x)⊥(-),则x等于（ ）  A23  B C  D  7=(2,3),=(-2,4),则(+)·(-)=  8已知(3，2)，(-1，-1)，若点P(x,-)在线段的中垂线上，则x=  9已知(1，0)，(3，1)，(2，0)，且=,=,则与的夹角为  10已知||=,=(1,2)且∥,则的坐标为  11已知=(1,2),(1,1),=-k,若⊥，则＝  12已知=(3,0),=(k,5)且与的夹角为，则k的值为  13已知=(3,-1),=(1,2),求满足条件x·=9与x·=-4的向量x 14已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y轴上找到一点C，使∠ABC＝90°，若不能，说明理由；若能，求C点坐标 15四边形ABCD中= (6,1), =(x,y)，=(-2,-3), (1)若∥，求x与y间的关系式； (2)满足(1)问的同时又有⊥,求x,y的值及四边形ABCD的面积 参考答案：1D 2A 3D 4C 5A 6C 7 –7 8 945° 10（，２）或（-，－２） 11() 12-5 13(2,-3) 14不能(理由略) 15(1)x+2y=0 (2) S四边形ABCD=16 课前后备注
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