题目 第八章圆锥曲线双曲线
高考要求
掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质
知识点归纳
1 双曲线定义：
①到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．
②动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线
2双曲线图像中线段的几何特征：
⑴实轴长，虚轴长2b,焦距
⑵顶点到焦点的距离：
，
⑶顶点到准线的距离：
；
⑷焦点到准线的距离：
⑸两准线间的距离:
⑹中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来，
⑺离心率： ∈（1，+∞）
⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长
⑼通径的长是，焦准距，焦参数（通径长的一半）
其中
3 双曲线标准方程的两种形式：
①－=1，c=，焦点是F1（－c，0），F2（c，0）
②－=1，c=，焦点是F1（0，－c）、F2（0，c）
4双曲线的性质：－=1（a＞0，b＞0）
⑴范围：|x|≥a，y∈R
⑵对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称
⑶顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0）
⑷渐近线：
①若双曲线方程为渐近线方程
②若渐近线方程为双曲线可设为
③若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）
④特别地当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为；y=x，y=－x
⑸准线：l1：x=－，l2：x=，两准线之距为
⑹焦半径：，（点P在双曲线的右支上）；
，（点P在双曲线的右支上）；
当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质（略）
⑺与双曲线共渐近线的双曲线系方程是
⑻与双曲线共焦点的双曲线系方程是
题型讲解
例1 根据下列条件，求双曲线方程：
（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点（－3，2）；
（2）与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）
分析：设双曲线方程为－=1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程
解法一：（1）设双曲线的方程为－=1，
由题意，得
解得a2=，b2=4
所以双曲线的方程为－=1
（2）设双曲线方程为－=1
由题意易求c=2
又双曲线过点（3，2），
∴－=1
又∵a2+b2=（2）2，
∴a2=12，b2=8
故所求双曲线的方程为－=1
解法二：（1）设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0），
将点（－3，2）代入得λ＝，
所以双曲线方程为－＝
（2）设双曲线方程为－＝1，
将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1
点评：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用若已知双曲线的渐近线方程ax±by=0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2=λ（λ≠0）
例2 设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围
分析：由|PM|－|PN|=2m，得||PM|－|PN||=2|m|知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值范围
解：设点P的坐标为（x，y），依题意得=2，
即y=±2x（x≠0） ①
因此，点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，
从而得 ||PM|－|PN||<|MN|=2
∵||PM|－|PN||=2|m|>0，
∴0<|m|<1
因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上
故－=1 ②
将①代入②，并解得x2=，
∵1－m2>0，∴1－5m2>0
解得0<|m|<，
即m的取值范围为（－，0）∪（0，）
评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力解决此题的关键是用好双曲线的定义
例3 已知(∈[0,π], 设讨论随(值的变化，方程x2sin(+y2cos(=1表示的曲线形状
解：(1)(=0时，两直线y=1和y= ─1;
(2)(=π/2时，两直线x=1和x=─1;
(3)0<(<π/2时，焦点在x轴上的椭圆;
(4)(=π/4时，半径为的圆;
(5)π/4<(<π/2时，焦点在y轴上的椭圆;
(6)π/2<(<π时，焦点在x轴上的椭圆
点评：本题主要考查椭圆双曲线方程的形式和分类讨论思想
例4 一双曲线以y轴为其右准线，它的右支过点M(1,2), 且它的虚半轴、实半轴、半焦距长依次构成一等差数列试求：
(1)双曲线的离心率;
(2)双曲线的右焦点F的轨迹方程;
(3)过点M，F的弦的另一端点Q的轨迹方程
解：(1)依题意，2a=b+c, ∴b2=(2a─c)2 = c2─a2, 5a2─4ac=0,
两边同除以a2, 得;
(2)设双曲线的右焦点F(x,y), 由双曲线的定义，点M到右焦点的距离与点M到准线的距离之比为e=,
∴=,
∴F的轨迹方程为(x─1)2+(y─2)2=
(3)设Q(x,y), 点Q到右焦点的距离与点Q到准线的距离之比为5/4,
∴|QF|=,
又设点F(x1,y1), 则点F分线段QA的比为=: = x ,
∴x1== , y1== ,
代入(x1─1)2+(y1─2)2=整理得：
点Q的轨迹方程为 9x2─16y2+82x+64y─55=0
例5 已知双曲线的方程为, 直线通过其右焦点F2，且与双曲线的右支交于A、B两点，将A、B与双曲线的左焦点F1连结起来，求|F1A|·|F1B|的最小值
解：设A(x1,y1),B(x2,y2),
A到双曲线的左准线x= ─= ─的距离d=|x1+|=x1+，
由双曲线的定义，=e=,
∴|AF1|=(x1+)=x1+2,
同理，|BF1|=x2+2,
∴|F1A|·|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4 (1)
双曲线的右焦点为F2(,0),
(1)当直线的斜率存在时设直线AB的方程为：y=k(x─)，
由消去y得 (1─4k2)x2+8k2x─20k2─4=0,
∴x1+x2=, x1x2= ─,
代入(1)整理得
|F1A|·|F1B|=+4=+4
=+4=+
∴|F1A|·|F1B|>;
(2)当直线AB垂直于x轴时，容易算出|AF2|=|BF2|=,
∴|AF1|=|BF1|=2a+=(双曲线的第一定义), ∴|F1A|·|F1B|=
由(1), (2)得：当直线AB垂直于x轴时|F1A|·|F1B| 取最大值
例6 24已知双曲线的方程是16x2－9y2=144
（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小
解：（1）由16x2－9y2=144得－=1，
∴a=3，b=4，c=5焦点坐标F1（－5，0），F2（5，0），离心率e=，渐近线方程为y=±x
（2）||PF1|－|PF2||=6，cos∠F1PF2=
== =0
∴∠F1PF2=90°
例7 已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值试对双曲线C′：－=1写出具有类似特性的性质，并加以证明
解：类似的性质为若MN是双曲线－=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值
设点M的坐标为（m，n），
则点N的坐标为（－m，－n），
其中－=1
又设点P的坐标为（x，y），
由kPM=，kPN=，
得kPM·kPN=·=，
将y2=x2－b2，n2=m2－b2，代入得 kPM·kPN=
点评：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求
小结：
1由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意：
（1）当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；
（2）已知渐近线的方程bx±ay=0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b2x2－a2y2=λ（λ≠0），根据其他条件确定λ的值若求得λ＞0，则焦点在x轴上，若求得λ＜0，则焦点在y轴上
2由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错
3解题中，应重视双曲线两种定义的灵活应用，以减少运算量
4对概念的理解要准确到位,注意答案的多种可能性; 擅于将几何关系与代数关系相互转化; 把平面解析几何问题转化为向量、平面几何、三角函数、定比分点公式、不等式、导数、函数、复数等问题;注意参量的个数及转化;养成化简整理的习惯
学生练习
1 动圆与两圆和都外切,则动圆圆心轨迹是 ( )
A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 双曲线的一支
答案: D解析: 外切条件:
2 已知是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点,若是正三角形,那么双曲线的离心率为 ( )
A B C 2 D 3
答案: B
3 过点(2 -2)且与双曲线有公共渐进线的双曲线是 ( )
A B C D
答案: A解析: 设,代入求
4 如果双曲线上一点P到它的右焦点距离是8,那么点P到它的右准线的距离是( )
A 10 B C D
答案: D解析: 点P右支上
5 已知是双曲线的左、右焦点,P、Q为右支上的两点,直线PQ过,且倾斜角为,则的值为 ( )
A B 8 C D 随的大小变化
答案: A解析: 用双曲线定义列方程可解
6 过双曲线的右焦点作直线交曲线于A、B两点,若则这样的直线存在 ( )
A 0条 B 1条 C 2条 D 3条
答案: D解析: x轴时的焦点弦长AB=4最短为通径,故交右半支弦长为4的直线恰有一条;过右焦点交左右两支的符合要求的直线有两条
7 直线与曲线的交点个数是 ( )
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
答案: D解析: (0, 5)点为完整双曲线和椭圆的极值点,故y=5为其切线,当直线斜率不为0时,直线必与每个曲线交于两点
8 P为双曲线上一点,为一个焦点,以为直径的圆与圆的位置关系为 ( )
A 内切 B 外切 C 内切或外切 D 无公共点或相交
答案: C解析: 用两圆内切或外切的条件判断
9 设,则二次曲线的离心率的取值范围是 ( )
A B C D
答案: C解析:
10 设是双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足,则的面积为 ( )
A 1 B C 2 D
答案: A解析: 勾股定理,双曲线定义联立方程组h或面积公式
11 设是双曲线的左、右焦点,P在双曲线上,当的面积为1时,的值为( )
A 0 B 1 C D 2
答案: A 解析: 不妨设由, , ,
12双曲线－=1的渐近线方程是
Ay=±x By=±x Cy=±x Dy=±x
答案：A解析：由双曲线方程可得焦点在x轴上，a=2，b=3∴渐近线方程为y=±x=±x
13过点（2，－2）且与双曲线－y2=1有公共渐近线的双曲线方程是
A－=1 B－=1 C－=1 D－=1
答案：A 解析：可设所求双曲线方程为－y2=λ，把（2，－2）点坐标代入方程得λ=－2
14如果双曲线－＝1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的右准线距离是
A10 B C2 D
答案：D
解析：利用双曲线的第二定义知P到右准线的距离为=8×=
15（设P是双曲线－=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y=0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点若|PF1|=3，则|PF2|等于
A1或5 B6 C7 D9
答案：C
解析：由渐近线方程y=x，且a=2，∴b=3据定义有|PF2|－|PF1|=4，∴|PF2|=7
16 “ab<0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的
A充分不必要条件 B必要不充分条件
C充分必要条件 D既不充分又不必要条件
答案：C解析：由ab<0，得a>0，b<0或a<0，b>0由此可知a与b符号相反，则方程表示双曲线，反之亦然
17 若椭圆的离心率为,则双曲线的离心率为 _______
答案：解析:
18 双曲线的渐进线方程,则双曲线的离心率为________
答案：
19 等轴双曲线的离心率为_________
答案： 解析: 渐进线垂直,开口开阔与否的分界值
20已知圆C过双曲线－=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________
答案：解析：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4故圆心坐标为（4，±）易求它到中心的距离为
21求与圆A：（x+5）2+y2=49和圆B：（x－5）2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为________________
答案：－=1（x＞0）解析：利用双曲线的定义
22给出问题：F1、F2是双曲线－=1的焦点，点P在双曲线上若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上
______________________________________________________
答案：|PF2|=17
解析：易知P与F1在y轴的同侧，|PF2|－|PF1|=2a，∴|PF2|=17
23过点A（0，2）可以作___条直线与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点
答案：4 解析：数形结合，两切线、两交线
24已知双曲线x2－=1与点P（1，2），过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点
（1）求直线AB的方程；
（2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦
（1）解：设过P（1，2）点的直线AB方程为y－2=k（x－1），
代入双曲线方程得（2－k2）x2+（2k2－4k）x－（k4－4k+6）=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=－，
由已知=xp=1，∴=2解得k=1
又k=1时，Δ=16＞0，从而直线AB方程为x－y+1=0
（2）证明：按同样方法求得k=2，而当k=2时，Δ＜0，所以这样的直线不存在
25双曲线kx2－y2＝1，右焦点为F，斜率大于0的渐近线为l，l与右准线交于A，FA与左准线交于B，与双曲线左支交于C，若B为AC的中点，求双曲线方程
解：由题意k＞0，c=，渐近线方程l为y=x，
准线方程为x=±，于是A（，），
直线FA的方程为 y=，于是B（－，）
由B是AC中点，则xC=2xB－xA＝－，yC=2yB－yA＝
将xC、yC代入方程kx2－y2＝1，得k2c4－10kc2＋25＝0
解得k（1+）＝5，则k＝4所以双曲线方程为4x2－y2＝1．
课前后备注
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