题目 第八章圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系 高考要求 1掌握直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题 2会运用“设而不求”解决相交弦长问题及中点弦问题 3会利用圆锥曲线的焦半径公式解决焦点弦的问题 掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法 4会用弦长公式|AB|=|x2－x1|求弦的长； 5会利用“设点代点、设而不求”的方法求弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等 知识点归纳 1直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题： 可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题，往往通过消元后最终转化为讨论一元二次方程的解的问题或一元二次函数的最值问题，讨论时特别要注意转化的等价性，即解决直线与圆锥曲线的相交问题要用好化归思想和等价转化思想 需要注意的是当直线平行于抛物线的对称轴或双曲线的渐近线时，直线与抛物线或双曲线有且只有一个交点 2涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题： 主要有这样几个方面：相交弦的长，有弦长公式|AB|=|x2－x1|；弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等，这可以利用“设点代点、设而不求”的方法（设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，并不具体求出坐标，而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决） 3涉及到圆锥曲线焦点弦的问题： 可以利用圆锥曲线的焦半径公式（即圆锥曲线的第二定义） 4．韦达定理的运用： 由于二次曲线和二次方程的密切关系，在解决二次曲线问题时要充分重视韦达定理的运用 5 弦长公式： 若直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为 ； 若直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为  6 圆锥曲线的两个重要参数： 圆锥曲线的焦准距（焦点到准线的距离）， 焦参数（通径长的一半） 7平移坐标轴： 使新坐标系的原点在原坐标系下的坐标是（h，k），若点P在原坐标系下的坐标是在新坐标系下的坐标是，则=，= 题型讲解 例1 已知直线l：y=tanα（x+2）交椭圆x2+9y2=9于A、B两点，若α为l的倾斜角，且|AB|的长不小于短轴的长，求α的取值范围 分析：确定某一变量的取值范围，应设法建立关于这一变量的不等式，题设中已经明确给定弦长≥2b，最后可归结为计算弦长求解不等式的问题 解：将l方程与椭圆方程联立，消去y， 得（1+9tan2α）x2+36tan2α·x+72tan2α－9=0， ∴|AB|=|x2－x1| =· = 由|AB|≥2，得tan2α≤， ∴－≤tanα≤ ∴α的取值范围是［0，）∪［，π） 点评：对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用本题由于l的方程由tanα给出，所以可以认定α≠，否则涉及弦长计算时，还应讨论α=时的情况 变式：若把本题条件|AB|的长不小于短轴的长去掉，改为求|AB|的长的取值范围 解： 设|AB|=y，由上面已得 |AB|=， 即y=，∴9ytan2α+y=6tan2α+6， ∴ （9y－6）tan2α+y－6=0 当y≠时，由Δ≥0得＜y≤6 当y=时，l与x轴垂直， 故|AB|的范围是［，6］ 例2 已知抛物线与直线 ⑴求证：抛物线与直线相交； ⑵求当抛物线的顶点在直线的下方时，的取值范围； ⑶当在的取值范围内时，求抛物线截直线所得弦长的最小值 分析：熟练掌握综合运用判别式、不等式讨论直线与圆锥曲线的位置关系、直线与曲线相交弦长等问题 解：（1）由 ∵ 直线与抛物线总相交 （2） 其顶点为，且顶点在直线 的下方， ， 即 ⑶设直线与抛物线的交点为，    ∴ 当 点评：直线与圆锥曲线相交的问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解的问题 运用“设而不求”求弦长 例3 已知双曲线和定点 （I）过点可以做几条直线与双曲线只有一个公共点； （II）双曲线的弦中，以点为中点的弦是否存在？并说明理由 　　分析：能够综合运用直线方程、双曲线方程及对称性等几何性质来研究直线与双曲线的位置关系 解：（I）设过定点的直线的方程为： 则，  ①当时，即， 解得或与双曲线分别交于和 ②当时，由得， 即得切线切点为， 另一切线为，切点为 ∴过点有4条直线与双曲线只有一个公共点 （II）设点为中点， 则 因为满足双曲线方程， 所以 ， 相减得  若弦存在，则必为， 代入双曲线方程得， 方程的判别式， 说明中点弦不存在 点评：要明确判断直线与双曲线仅有一个公共点的方法步骤；用“点差法”和“设而不求”的方法处理中点弦 例4 在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围 分析：设B、C两点关于直线y=kx+3对称，易得直线BC：x=－ky+m，由B、C两点关于直线y=kx+3对称可得m与k的关系式，而直线BC与抛物线有两交点，∴Δ＞0，即可求得k的范围 解法一：设B、C关于直线y=kx+3对称，直线BC方程为x=－ky+m，代入y2＝4x，得y2＋4ky－4m=0， 设B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中点M（x0，y0）， 则y0＝＝－2k，x0＝2k2+m ∵点M（x0，y0）在直线l上， ∴－2k=k（2k2＋m）+3 ∴m=－ 又∵BC与抛物线交于不同两点， ∴Δ＝16k2＋16m＞0 把m代入化简得＜0， 即＜0，解得－1＜k＜0 解法二：（点差法）设B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中点M（x0，y0）必在曲线内部且x1+x2＝2 x0， y1+y2＝2y0 由 ∴  即BC中点M的坐标为必在曲线y2=4x内部 ∴  ∴  评述：对称问题是高考的热点之一，由对称易得两个关系式本题运用了“设而不求”，解决本题的关键是由B、C两点在抛物线上得“Δ＞0” 例5 已知抛物线及定点是抛物线上的点，设直线与抛物线的另一个交点分别为， 求证：当点在抛物线上变动时（只要存在且与是不同的两点），直线恒过一定点，并求出定点的坐标 分析：用点的坐标表示点的坐标，求出直线的方程，利用曲线过定点的解法求出定点坐标 解： 设 ①由三点共线， 所以  ②由三点共线，所以  因为经过的直线方程为： 整理得  将代入上式，并整理得： 对任意恒成立， 所以得到 故所求的直线恒过定点（1，2） 点评：必须熟练运用曲线系是否过定点的问题解法 例6 已知椭圆的两个焦点分别为，离心率 （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且组段MN中点的横坐标为–，求直线l倾斜角的取值范围 分析：由焦点坐标可知, 由离心率可求 解：（Ⅰ）设椭圆方程为 由已知，，由解得a=3， ∴为所求 （Ⅱ）解法一：设直线l的方程为y=kx+b(k≠0) 解方程组 将①代入②并化简，得  将④代入③化简后，得解得 ∴ 解法二：（点差法）设的中点为在 椭圆内，且直线l不与坐标轴平行 因此，， ∵， ∴两式相减得  即  ∴ 点评：通过两种方法的比较，可以看出使用点差法运算简洁 例7 已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），两个焦点分别为F1和F2，斜率为k的直线l过右焦点F2且与椭圆交于A、B两点，设l与y轴交点为P，线段PF2的中点恰为B （1）若｜k｜≤，求椭圆C的离心率的取值范围； （2）若k=，A、B到右准线距离之和为，求椭圆C的方程 解：（1）设右焦点F2（c，0），则l：y=k（x－c） 令x=0，则y=－ck，∴P（0，－ck） ∵B为F2P的中点，∴B（，－） ∵B在椭圆上，∴＋＝1 ∴k2＝·＝（－1）（4－e2）＝＋e2－5 ∵｜k｜≤，∴＋e2－5≤ ∴（5e2－4）（e2－5）≤0 ∴≤e2＜1 ∴≤e＜1． （2）k＝，∴e＝∴＝ ∴a2＝c2，b2＝c2 椭圆方程为＋＝1，即x2＋5y2＝c2． 直线l方程为y=（x－c）， B（，－c），右准线为x=c 设A（x0，y0），则 （c－x0）＋（c－）＝， ∴x0＝2c－，y0＝（c－） ∵A在椭圆上， ∴（2c－）2＋5［（c－）］2＝c2 解之得c=2或c＝（不合题意，舍去） ∴椭圆方程为x2＋5y2＝5，即＋y2＝1． 小结： 1解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式Δ，有时借助图形的几何性质更为方便 2涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用点差法，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法 3求圆锥曲线的弦长时，可利用弦长公式 d=＝ 再结合韦达定理解决焦点弦的长也可以直接利用焦半径公式处理，可以使运算简化 学生练习 1过点（2，4）作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有 A1条 B2条 C3条 D4条 答案：B解析：数形结合法，同时注意点在曲线上的情况 2已知双曲线C：x2－=1，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有 A1条 B2条 C3条 D4条 答案：D解析：数形结合法，与渐近线平行、相切 3双曲线x2－y2＝1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF的斜率的变化范围是 A （－∞，－1）∪（1，＋∞） B（－∞，0） C（－∞，0）∪（1，+∞） D（1，＋∞） 答案：C 解析：数形结合法，与渐近线斜率比较 4．已知对，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是 （ ） A　 B　　 C　　 D 答案:C  解析:直线恒过点，当点在椭圆上或椭圆内时此直线恒与椭圆有公共点 5．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0）直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 （ ） A B　C D 答案:D 解析设双曲线方程为分别代入双曲线方程并相减即可求解 6．设抛物线与直线有两个交点，其横坐标分别是，而直线与轴交点的横坐标是，那么的关系是 A　B　C　D 答案:B 解析:由题意得：故选（B） 7若双曲线x2－y2＝1的右支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为，则a+b的值为 A－ B C± D±2 答案：B 解析：P（a，b）点在双曲线上，则有a2－b2=1，即（a+b）（a－b）=1d==，∴|a－b|=2又P点在右支上，则有a>b，∴a－b=2 ∴|a+b|×2=1，a+b= 8已知对k∈R，直线y－kx－1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是 A（0，1） B（0，5） C［1，5）∪（5，+∞） D［1，5） 答案：C 解析：直线y－kx－1=0恒过点（0，1），仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点所以，≤1且m＞0，得m≥1 9．椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点所在直线的斜率为，则的值是 （ ） A　　　B　　　　　C　　　　　D 答案:A 解析:设则，两式相减得，，所以 10．设抛物线与过焦点的直线交于两点，则的值 A　　　　 B　　　　　C　　　　 D 答案:B 解析: 11．抛物线截直线得弦，若，是抛物线的焦点，则的周长等于 答案: 12．双曲线的左焦点为，为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线的斜率的变化范围是 （目的：能够理解直线与双曲线的位置与双曲线的渐进线斜率有关） 答案: 13．直线，以椭圆的焦点为焦点作另一椭圆与直线有公共点且使所作椭圆长轴最短时，公共点坐标是 答案: 解析:设椭圆与直线的公共点为，其长轴长欲使的值最小，需在直线上找一点使其到两定点的距离和最小 14．若直线与椭圆相交于两点，当变化时，的最大值是 答案: 解析: 15．已知抛物线与直线 ⑴求证：抛物线与直线相交； ⑵求当抛物线的顶点在直线的下方时，的取值范围； ⑶当在的取值范围内时，求抛物线截直线所得弦长的最小值 解：（1）由 直线与抛物线总相交 （2）其顶点为，且顶点在直线 的下方， ，即 ⑶设直线与抛物线的交点为， 则  当 16已知中心在原点，顶点在轴上，离心率为的双曲线经过点 （I）求双曲线的方程； (II)动直线经过的重心，与双曲线交于不同的两点，问是否存在直线使平分线段试证明你的结论 解：（I）设所求的双曲线方程为且双曲线经过点，所以所求所求的双曲线方程为 (II)由条件的坐标分别为,点坐标为 假设存在直线使平分线段设 的坐标分别为  得  又即 的方程为 由 消去整理得 所求直线不存在 课前后备注　
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