题目 第二章函数函数的概念与表示
高考要求
1．了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解；
2．能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数；
3．理解分段函数的意义．通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础．
4. 克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导．
5. 函数的概念是复习函数全部内容和建立函数思想的基础，不能仅满足会背诵定义，会做一些有关题目，要从联系、应用的角度求得理解上的深度，还要对确定函数三要素的类型、方法作好系统梳理，这样才能进一步为综合运用打好基础．复习的重点是求得对这些问题的系统认识，而不是急于做过难的综合题．
知识点归纳
函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义域是灵魂．
函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用．
1.函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域.
2.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
3.映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.
由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集.
4.映射的概念中象、原象的理解：(1) A中每一个元素都有象;(2)B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；(3)A中每一个元素的象唯一。
5．分段函数：（举一例）。
6．复合函数：若y=f(u),u=g(x),x((a,b),u((m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。
题型讲解
例1设集合，，如果从到的映射满足条件：对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数，则映射的个数是（ ）
A.8个 B.12个 C.16个 D.18个
解：∵为奇数，∴当为奇数、时，它们在中的象只能为偶数、或，由分步计数原理和对应方法有种；而当时，它在中的象为奇数或，共有种对应方法．故映射的个数是．故选D.
例2 集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立从A到B的映射个数是__________，从B到A的映射个数是__________.
解：从A到B可分两步进行：第一步A中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N1＝3×3＝9.反之从B到A，道理相同，有N2＝2×2×2＝8种不同映射.
答案：9 8
例3 A=｛1，2，3，4，5｝，B=｛6，7，8｝从集合A到B的映射中满足f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）的映射有（ ）
A.27 B.9 C.21 D.12
解：（1）当全是等号时，（即与B中的一个元素对应），则f有C个;
（2）有一个不等号时的映射（即与B中的两个元素对应），f有C·C=12个;
（3）有二个不等号的映射，f有C·C=6个。
所以共有3+12+6=21个，答案选C。
另一种解释法：将元素1，2，3，4，5按照从小到大的顺序串成一串之间有4个节点。
若只有一个象就让这一串整体对应有C＝3种方法；
若恰有两个象就将这一串分为两段，并按照大小顺序对应，有C·C＝12种方法；
若恰有三个象就将这一串分为三段，并按照大小顺序对应，有C·C＝6种方法。
根据分类计数原理，共有3+12+6=21个映射。故选C。
例4 试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f（x）=，g（x）=；
（2）f（x）=，g（x）=
（3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）；
（4）f（x）=，g（x）=；
（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1.
剖析：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数.若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然.
解：（1）由于f（x）==|x|，g（x）==x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.
（2）由于函数f（x）=的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=的定义域为R，所以它们不是同一函数.
（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴f（x）==x，g（x）=（）2n－1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.
（4）由于函数f（x）=的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=的定义域为{x|x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.
评述：（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透.要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可视为同一函数.
（2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数.
例5 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去．
（１） 用列表表示，1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数；
（２）用图像表示1个细胞分裂的次数n(n(N＋)与得到的细胞个数y之间的关系；
解：（１） 利用正整指数幂的运算法则，可以算出1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数，列表如下
分裂次数
1
2
3
4
5
6
7
8
细胞个数
2
4
8
16
32
64
128
256
（２）细胞个数y与分裂次数n之间的关系式是
y＝2n，n(N＋．
变式：
一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存KB，然后每分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的倍，那么开机后经过 ______ 分钟，该病毒占据MB内存（MB=KB）.
例6试构造一个函数，使得对一切有恒成立，但是既不是奇函数又不是偶函数，则可以是 .
解：的图像部分关于原点对称，部分关于轴对称，如
．
点评 本题是一道开放题，你能给出其它的答案吗？请不妨一试．
例7 某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率与日产量（件）之间大体满足关系：
（其中c为小于96的正常数）
注：次品率，如表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．
已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出合适的日产量．
（1）试将生产这种仪器每天的盈利额（元）表示为日产量（件）的函数；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
解：（1）当时，，所以，每天的盈利额;
当时，，
所以，每日生产的合格仪器约有件，次品约有件．故，每天的盈利额
.
综上，日盈利额（元）与日产量（件）的函数关系为：
（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0．
当时，．
令，则．
故
．
当且仅当，即时，等号成立．
所以（i）当时，（等号当且仅当时成立）．
（ii） 当时，由得，
易证函数在上单调递增（证明过程略）．
所以，．
所以，
，
即．（等号当且仅当时取得）
综上，若，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若，则当日产量为时，可获得最大利润． 点评 分段函数是历年高考的热门话题，常考常新，值得我们在复课时认真对待．
例8 矩形的长，宽，动点、分别在、上，且，（1）将的面积表示为的函数，求函数的解析式；
（2）求的最大值．
解：（1）
．
∵，∴，
∴函数的解析式：；
（2）∵在上单调递增，
∴，即的最大值为．
例9 函数对一切实数，均有成立，且，
（1）求的值；
（2）对任意的，，都有成立时，求的取值范围．
解：（1）由已知等式，
令，得，
又∵，∴．
（2）由，
令得，
由（1）知，∴．
∵，
∴在上单调递增，
∴．
要使任意，都有成立，
当时，,显然不成立．
当时，，∴，解得
∴的取值范围是．
学生练习
题组一：
1.设集合A=R，集合B=正实数集，则从集合A到集合B的映射f只可能是
A.f:x→y=|x| B.f:x→y= C.f:x→y=3－x D.f:x→y=log2（1+|x|）
解析：指数函数的定义域是R，值域是（0，+∞），所以f是x→y=3－x.
答案：C
2.设M={x|－2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是
解析：A项定义域为［－2，0］，D项值域不是［0，2］，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符.故选B. 答案：B
3.已知函数f（x）=lg，若f（a）=b，则f（－a）等于
A.b B.－b C. D.－
解析：f（－a）=lg=－lg=－f（a）=－b. 答案： B
4.函数y=的定义域是
A.［－，－1）∪（1，］ B.（－，－1）∪（1，）
C.［－2，－1）∪（1，2］ D.（－2，－1）∪（1，2）
解析：－≤x＜－1或1＜x≤.
∴y=的定义域为［－，－1）∪（1，］.答案：A
5.若函数f（x）=loga（x+1）（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是［0，1］，则a等于
A. B. C. D.2
解析：f（x）=loga（x+1）的定义域是［0，1］，
∴0≤x≤1，则1≤x+1≤2.
当a＞1时，0=loga1≤loga（x+1）≤loga2=1，∴a=2；
当0＜a＜1时，loga2≤loga（x+1）≤loga1=0，与值域是［0，1］矛盾.
综上，a=2. 答案：D
6.设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，象20的原象是
A.2 B.3 C.4 D.5
解析：由2n＋n＝20求n，用代入法可知选C. 答案：C
7.某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则这种手机平均每次降价的百分率是
A.10% B.15% C.18% D.20%
解析：设降价百分率为x%，
∴2000（1－x%）2=1280.解得x=20. 答案：D
8.设函数f（x）=则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围为
A.（－∞，－2］∪［0，10］ B.（－∞，－2］∪［0，1］
C.（－∞，－2］∪［1，10］ D.［－2，0］∪［1，10］
解析：f（x）是分段函数，故f（x）≥1应分段求解.
当x＜1时，f（x）≥1（x+1）2≥1x≤－2或x≥0，
∴x≤－2或0≤x＜1.
当x≥1时，f（x）≥14－≥1≤3x≤10，
∴1≤x≤10.
综上所述，x≤－2或0≤x≤10. 答案：A
9.已知f（x）=则不等式xf（x）+x≤2的解集是________.
解析：x≥0时，f（x）=1，xf（x）+x≤2x≤1，∴0≤x≤1；
当x＜0时，f（x）=0，xf（x）+x≤2x≤2，∴x＜0.综上x≤1.
答案：{x|x≤1}
10.已知函数y=logx与y=kx的图象有公共点A，且A点的横坐标为2，则k的值等于
A.－ B. C.－ D.
解析：由点A在y=logx的图象上可求出A点纵坐标y=log2=－.又A（2，－）在y=kx图象上，－=k·2，∴k=－. 答案：A
11.如图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y=f（x）.
（1）求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；
（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值.
解：（1）这个函数的定义域为（0，12）.
当0＜x≤4时，S=f（x）=·4·x=2x；
当4＜x≤8时，S=f（x）=8；
当8＜x＜12时，S=f（x）=·4·（12－x）=2（12－x）=24－2x.
∴这个函数的解析式为
f（x）=
（2）其图形如右， 由图知，［f（x）］max=8.
12.若f :y=3x+1是从集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B.
解：∵f（1）=3×1+1=4，f（2）=3×2+1=7，f（3）=3×3+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定义知
（1）或（2）
∵a∈N，∴方程组（1）无解.
解方程组（2），得a=2或a=－5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5.
∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}.
13.如果函数f（x）=（x+a）3对任意x∈R都有f（1+x）=－f（1－x），试求f（2）+ f（－2）的值.
解：∵对任意x∈R，总有f（1+x）=－f（1－x），
∴当x=0时应有f（1+0）=－f（1－0），
即f（1）=－f（1）.∴f（1）=0.
又∵f（x）=（x+a）3，∴f（1）=（1+a）3.
故有（1+a）3＝0a=－1.∴f（x）=（x－1）3.
∴f（2）+f（－2）=（2－1）3＋（－2－1）3＝13＋（－3）3＝－26.
14.集合M={a，b，c}，N={－1，0，1}，映射f:M→N满足f（a）+f（b）+f（c）=0，那么映射f:M→N的个数是多少？
解：∵f（a）∈N，f（b）∈N，f（c）∈N，且f（a）+f（b）+f（c）=0，
∴有0+0+0=0+1+（－1）=0.
当f（a）=f（b）=f（c）=0时，只有一个映射；
当f（a）、f（b）、f（c）中恰有一个为0，而另两个分别为1，－1时，有C·A=6个映射.因此所求的映射的个数为1+6=7.
题组二：
1．设f：A(B是从A到B的一个映射，其中A=B={(x,y)|x(R,y(R},f：(x,y)((x+y,xy),则A中(1,(2)的象是 ，B中(1,(2)的原象是
2．设集合A={(1，0，1}，B={2，3，4，5，6}，映射A(B，使对任意x(A,都有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f 的个数是
3．已知集合A={1,2,3,4},B={(1,1,2},
(1)集合A到B的映射共有多少个？
(2)若集合B中的每一个元素都有原象，这样的映射共有多少个？
（3）若集合B中元素2必须要有原象，这样的映射共有多少个？
4．与函数y=的图象相同的函数是 ( )
A.y=2x(1(x>1/2) B.y=1/(2x(1) C.y=1/(2x(1)(x>1/2) D.y=1/|2x(1|
5.设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，
则f（－1）+f（1）（ ）
A.大于0 B.小于0
C.等于0 D.以上结论都不对
6．（1），，；
（2），，；
（3），，．
上述三个对应_____是到的映射．
7．已知集合，映射，在作用下点的象是，则集合 （ ）
8．给定映射，点的原象是_______
9．下列函数中，与函数相同的函数是（ ）
10．设函数，则＝____．
参考答案：
1．（(1，(2），((1,2)和(2,(1)
2．5(5(2=50。当x为奇数时，f(x)任意，当x为偶数时，f(x)为奇数。
3．(1) 34 =81(2) =36
(3) 34(24=65或=65
4． C
5. A. 由图可知f（x）=ax（x+x1）（x－x2）（a＜0），f（－1）+f（1）= －a（－1+x1）（－1－x2）+a（1+x1）（1－x2）=2a（x1－ x2）＞0 ，故选A.
6. （2）
7. .解法要点：因为，所以．
8. 或．
9.C
10.8
课前后备注
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