题目 第八章圆锥曲线圆锥曲线的应用 高考要求 1阅读理解数学应用题给出的方式是材料的陈述，而不是客体的展示也就是说，所考的应用题通常已进行过初步加工，并通过语言文字、符号或图形展现在考生面前，要求考生读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质 2数学建模，即将应用题的材料陈述转化成数学问题这就要抽象、归纳其中的数量关系，并把这种关系用数学式子表示出来 3数学求解根据所建立数学关系的知识系统，解出结果，从而得到实际问题的解答 通过圆锥曲线在现实生活中的应用，培养学生解决应用问题的能力 知识点归纳 解析几何在日常生活中应用广泛，如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关键，而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用方法本节主要通过圆锥曲线在实际问题中的应用，说明数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想 题型讲解 例1 设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m万千米和m万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为和，求该彗星与地球的最近距离 分析：本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思路：由直线与椭圆的关系，列方程组解之；或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解同时，还要注意结合椭圆的几何意义进行思考仔细分析题意，由椭圆的几何意义可知：只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点处时，彗星与地球的距离才达到最小值即为a－c，这样把问题就转化为求a，c或a－c 解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点F（－c，0）处，椭圆的方程为+=1， 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为时，由椭圆的几何意义可知，彗星A只能满足∠xFA=（或∠xFA′=） 作AB⊥Ox于B，则｜FB｜=｜FA｜=m， 故由椭圆的第二定义可得 m=（－c）① 且m=（－c+m）② 两式相减得m=·m，∴a=2c 代入①，得m=（4c－c）=c， ∴c=m∴a－c=c=m 答：彗星与地球的最近距离为m万千米 点评： （1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个端点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是a－c，另一个是a+c （2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质 例2 某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处（如图所示）已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°，试说明怎样运土最省工 分析：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：（1）沿AP到P较近；（2）沿BP到P较近；（3）沿AP、BP到P同样远 显然，第三类点是第一、二类的分界点，设M是分界线上的任意一点则有｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜ 于是 ｜MA｜－｜MB｜=｜PB｜－｜PA｜=150－100=50 从而发现第三类点M满足性质：点M到点A与点B的距离之差等于常数50，由双曲线定义知，点M在以A、B为焦点的双曲线的右支上，故问题转化为求此双曲线的方程 解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系xOy，设M（x，y）是沿AP、BP运土同样远的点，则 ｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜， ∴｜MA｜－｜MB｜=｜PB｜－｜PA｜=50 在△PAB中，由余弦定理得 ｜AB｜2=｜PA｜2+｜PB｜2－2｜PA｜｜PB｜cos60°=17500， 且50＜｜AB｜ 由双曲线定义知M点在以A、B为焦点的双曲线右支上， 设此双曲线方程为－=1（a＞0，b＞0） ∵2a=50，4c2=17500，c2=a2+b2， 解之得a2=625，b2=3750 ∴M点轨迹是－=1（x≥25）在半圆内的一段双曲线弧 于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工 点评：（1）本题是不等量与等量关系问题，涉及到分类思想，通过建立直角坐标系，利用点的集合性质，构造圆锥曲线模型（即分界线）从而确定出最优化区域 （2）应用分类思想解题的一般步骤：①确定分类的对象；②进行合理的分类；③逐类逐级讨论；④归纳各类结果 例3 根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3 m，宽16 m现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线04 m的距离行驶已知拱口AB宽恰好是拱高OC的4倍，若拱宽为a m，求能使卡车安全通过的a的最小整数值 分析：根据问题的实际意义，卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线04 m到2 m间的道路行驶为最佳路线，因此，卡车能否安全通过，取决于距隧道中线2 m（即在横断面上距拱口中点2 m）处隧道的高度是否够3 m，据此可通过建立坐标系，确定出抛物线的方程后求得 解：如图，以拱口AB所在直线为x轴，以拱高OC所在直线为y轴建立直角坐标系， 由题意可得抛物线的方程为x2=－2p（y－）， ∵点A（－，0）在抛物线上， ∴（－）2=－2p（0－），得p= ∴抛物线方程为x2=－a（y－） 取x=16+04=2，代入抛物线方程，得 22=－a（y－），y= 由题意，令y＞3，得＞3， ∵a＞0，∴a2－12a－16＞0 ∴a＞6+2 又∵a∈Z，∴a应取14，15，16，… 答：满足本题条件使卡车安全通过的a的最小正整数为14 m 点评： 本题的解题过程可归纳为两步：一是根据实际问题的意义，确定解题途径，得到距拱口中点2 m处y的值；二是由y＞3通过解不等式，结合问题的实际意义和要求得到a的值，值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常用的 例4 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22 m，要求通行车辆限高45 m，隧道全长25 km，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状 （1）若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少？ （2）若最大拱高h不小于6 m，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？ （半个椭圆的面积公式为S=lh，柱体体积为底面积乘以高本题结果均精确到01 m） （1）解：如下图建立直角坐标系，则点P（11，45）， 椭圆方程为+=1 将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得 a=，此时l=2a=≈333 因此隧道的拱宽约为333 m （2）解法一：由椭圆方程+=1，得+=1 因为+≥， 即ab≥99，且l=2a，h=b，所以S=lh=≥ 当S取最小值时，有==， 得a=11，b= 此时l=2a=22≈311，h=b≈64 故当拱高约为64 m、拱宽约为311 m时，土方工程量最小 解法二：由椭圆方程+=1，得+=1 于是b2=· a2b2=（a2－121++242）≥（2+242）=81×121， 即ab≥99，当S取最小值时， 有a2－121= 得a=11，b=，以下同解法一 例5 一摩托车手欲飞跃黄河，设计摩托车沿跑道飞出时前进方向与水平方向的仰角是12°，飞跃的水平距离是35 m，为了安全，摩托车在最高点与落地点的垂直落差约10 m，那么，骑手沿跑道飞出时的速度应为多少？（单位是 km/h，精确到个位） （参考数据：sin12°=02079，cos12°=09781，tan12°=02125） 分析：本题的背景是物理中的运动学规律，摩托车离开跑道后的运动轨迹为抛物线，它是由水平方向的匀速直线运动与竖直方向上的上抛运动合成的，它们运行的位移都是时间t的函数，故应引入时间t，通过速度v的矢量分解来寻找解决问题的途径 解： 摩托车飞离跑道后，不考虑空气阻力，其运动轨迹是抛物线，轨迹方程是x=vtcos12°，y=vtsin12°－×98t2 其中v是摩托车飞离跑道时的速度，t是飞行时间，x是水平飞行距离，y是相对于起始点的垂直高度，将轨迹方程改写为 y=－×98x2+tan12°·x， 即y=－51219+02125x 当x≈00207v2时，取得ymax≈00022v2 当x=35时，y落=－62743275+74375 ∵ymax－y落=10， 00022v2+62743275－174375=0， 解得v≈1944 m/s或v≈8688 m/s 若v≈8688 m/s，则x=156246 m，与题目不符， 而v≈1944 m/s，符合题意，为所求解 故v≈1944 m/s=69984 km/h≈70 km/h 答：骑手沿跑道飞出时的速度应为70 km/h 点评：本题直接构造y是x的函数解析式很困难，应引入适当的参数（时间t）作媒介，再研究x与y是怎样随参数变化而变化的，问题往往就容易解决了这种辅助变量的引入要具体问题具体分析，以解题的简捷为原则 例6 A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B正北偏西30°，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4 s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方位角 解：如下图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则 B（－3，0）、A（3，0）、C（－5，2） 因为|PB|=|PC|， 所以点P在线段BC的垂直平分线上 因为kBC=－，BC中点D（－4，）， 所以直线PD的方程为y－=（x+4） ① 又|PB|－|PA|=4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上 设P（x，y），则双曲线方程为－=1（x≥0） ② 联立①②，得x=8，y=5， 所以P（8，5）因此kPA== 故炮击的方位角为北偏东30° 小结: 解决圆锥曲线应用问题时，要善于抓住问题的实质，通过建立数学模型，实现应用性问题向数学问题的顺利转化；要注意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线概念，充分利用曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析几何的常用数学方法，求得最终完整的解答 学生练习 1一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2 m时，水面宽4 m，若水面下降1 m时，则水面宽为 Am B2m C45 m D9 m 解析：建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为x2=－2Py（P>0），由题意知，抛物线过点（2，－2）， ∴4=2p×2∴p=1∴x2=－2y 当y0=－3时，得x02=6 ∴水面宽为2|x0|=2 答案：B 2某抛物线形拱桥的跨度是20 m，拱高是4 m，在建桥时每隔4 m需用一柱支撑，其中最长的支柱是 A4 m B384 m C148 m D292 m 解析：建立适当坐标系，设抛物线方程为x2=－2py（p>0），由题意知其过定点（10，－4），代入x2=－2py，得p= ∴x2=－25y当x0=2时，y0=，∴最长支柱长为4－|y0|=4－=384（m） 答案：B 3天安门广场，旗杆比华表高，在地面上，观察它们顶端的仰角都相等的各点所在的曲线是 A椭圆 B圆 C双曲线的一支 D抛物线 解析：设旗杆高为m，华表高为n，m＞n旗杆与华表的距离为2a，以旗杆与地面的交点和华表与地面的交点的连线段所在直线为x轴、垂直平分线为y轴建立直角坐标系设曲线上任一点M（x，y），由题意=，即（m2－n2）x2+（m2－n2）y2－2a（m2－n2）x+ （m2－n2）a2=0 答案：B 41998年12月19日，太原卫星发射中心为摩托罗拉公司（美国）发射了两颗“铱星”系统通信卫星卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点为m km，远地点为 n km，地球的半径为R km，则通信卫星运行轨道的短轴长等于 A2 B  C2mn Dmn 解析：由题意－c=m+R， ① +c=n+R， ② ∴c=，2b=2=2 答案：A 5如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线对称轴1 m，则在水池直径的下列可选值中，最合算的是 A25 m B4 m C5 m D6 m 解析：以O为原点，OP所在直线为y轴建立直角坐标系（如下图），则抛物线方程可设为 y=a（x－1）2+2，P点坐标为（0，1）， ∴1=a+2∴a=－1 ∴y=－（x－1）2+2 令y=0，得（x－1）2=2，∴x=1± ∴水池半径OM=+1≈2414（m） 因此水池直径约为2×|OM|=4828（m） 答案：C 6探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是 60 cm，灯深40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是____ cm 解析：设抛物线方程为y2=2px（p>0），点（40，30）在抛物线y2=2px上，∴900=2p×40∴p=∴=因此，光源到反射镜顶点的距离为 cm 答案： 7在相距1400 m的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相差3 s，已知声速340 m/s炮弹爆炸点所在曲线的方程为________________ 解析：设M（x，y）为曲线上任一点， 则|MA|－|MB|=340×3=1020<1400 ∴M点轨迹为双曲线，且a==510， c==700 ∴b2=c2－a2=（c+a）（c－a）=1210×190 ∴M点轨迹方程为－=1 答案：－=1 8一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2=2y（0≤y≤20）在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的范围为________ 解析：玻璃球的轴截面的方程为x2+（y－r）2=r2 由x2=2y，x2+（y－r）2=r2，得y2+2（1－r）y=0，由Δ=4（1－r）2=0，得r=1 答案：0＜r≤1 9河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高 m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距____________m时，小船不能通航 解析：建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=－2py（p>0） 将点（4，－5）代入求得p= ∴x2=－y 将点（2，y1）代入方程求得y1=－ ∴+|y1|=+=2（m） 答案：2 10下图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑已知镜口圆的直径为12 m，镜深2 m， （1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点的位置； （2）若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根铁筋的长度 解：（1）如下图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径 由已知，得A点坐标是（2，6）， 设抛物线方程为y2=2px（p＞0）， 则36=2p×2，p=9 所以所求抛物线的标准方程是y2=18x， 焦点坐标是F（，0） （2）∵盛水的容器在焦点处，∴A、F两点间的距离即为每根铁筋长 |AF|==（或|AF|=+2=） 故每根铁筋的长度是65 m 11有一种电影放映机的放映灯泡的玻璃上镀铝，只留有一个透明窗用作通光孔，它的反射面是一种曲线旋转而成的曲面的一部分，灯丝定在某个地方发出光线反射到卡门上，并且这两物体间距离为45 cm，灯丝距顶面距离为28 cm，为使卡门处获得最强烈的光线，在加工这种灯泡时，应使用何种曲线可使效果最佳?试求这个曲线方程 分析：由于光线从灯丝发出，反射到卡门上光线应交于一点，这就是光线聚焦，只要把灯丝、卡门安在椭圆的2个焦点上，反射面采用旋转椭球面就可以使光线经反射后聚焦于卡门处，因而可获得强光 解：采用椭圆旋转而成的曲面，如下图建立直角坐标系，中心截口BAC是椭圆的一部分，设其方程为+=1，灯丝距顶面距离为p，由于△BF1F2为直角三角形，因而，|F2B|2=|F1B|2+|F1F2|2=p2+4c2，由椭圆性质有|F1B|+|F2B|=2a，所以a=（p+），a= （28+）≈405 cm，b=≈337 m∴所求方程为+=1 12某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示，已知上部呈抛物线形，跨度为20 m，拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m，现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18 m，目前吃水线上部分中央船体高5 m，宽16 m，且该货船在现在状况下还可多装1000 t货物，但每多装150 t货物，船体吃水线就要上升004 m，若不考虑水下深度，该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么? 解：如下图，建立直角坐标系，设抛物线方程为y=ax2，则A（10，－2）在抛物线上， ∴－2=ax2，a=－，方程即为y=－x2让货船沿正中央航行 ∵船宽16 m，而当x=8时，y=－·82=128 m， ∴船体在x=±8之间通过由B（8，－128）， ∴B点离水面高度为6+（－128）=472（m），而船体水面高度为5 m， ∴无法直接通过又5－472=028（m），028÷004=7，而150×7=1050（t）， ∴要用多装货物的方法也无法通过，只好等待水位下降 13 2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行该轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点近地点A距地面200 km，远地点B距地面350 km已知地球半径R=6371 km（如图） （1）求飞船飞行的椭圆轨道的方程； （2）飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6×105 km，问飞船巡天飞行的平均速度是多少?（结果精确到1 km/s）（注：km/s即千米/秒） 解：（1）设椭圆的方程为+=1 由题设条件得 a－c=|OA|－|OF2|=|F2A|=6371+200=6571， a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6371+350=6721 解得a=6646，c=75，所以a2=44169316， b2=a2－c2=（a+c）（a－c）=6721×6571=44163691 ∴所求椭圆的方程为+=1 （注：由≈66455768得椭圆的方程为+ =1，也是正确的） （2）从15日9时到16日6时共21个小时，即21×3600 s 减去开始的9分50 s，即9×60+50=590（s），再减去最后多计的1分钟，共减去590+60= 650（s），得飞船巡天飞行的时间是21×3600－650=74950（s）， 平均速度是≈8（km/s） 所以飞船巡天飞行的平均速度是8 km/s 14中国跳水运动员进行10 m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线为如下图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件） 在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10 m，入水处距池边的距离为4 m，同时，运动员在距水面高度为5 m或5 m以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误 （1）求这条抛物线的解析式 （2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由 （3）要使此次跳水不至于失误，该运动员按（1）中抛物线运行，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多少？ 解：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c 由题意知，O、B两点的坐标依次为（0，0）、（2，－10），且顶点A的纵坐标为，所以有c=0，=，4a+2b+c=－10 解之得a=－, b=，c=0或a=－，b=－2，c=0 ∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴－＞0 又∵抛物线开口向下，∴a＜0 ∴b＞0，后一组解舍去 ∴a=－，b=，c=0 ∴抛物线的解析式为y=－x2+x （2）当运动员在空中距池边的水平距离为3m时，即x=3－2=时， y=（－）×（）2+×=－， ∴此时运动员距水面的高为 10－=＜5 因此，此次跳水会出现失误 （3）当运动员在x轴上方，即y＞0的区域内完成动作并做好入水姿势时，当然不会失误，但很难做到 ∴当y＜0时，要使跳水不出现失误， 则应有|y|≤10－5，即－y≤5 ∴有x2－x≤5， 解得2－≤x≤2+ ∴运动员此时距池边的距离至多为2+2+=4+m 课前后备注 　
【点此下载】