题目 第九章(B)直线、平面、简单几何体棱锥
高考要求
1要使学生理解棱锥、正棱锥的意义，掌握棱锥、正棱锥的性质，会求其侧面积及体积结合例题讲清求体积的常用方法
2以棱锥为载体，训练计算能力、想象能力和逻辑推理能力
知识点归纳
1 棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）．
2．棱锥的表示：棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示
如图棱锥可表示为，或．
3．棱锥的分类：（按底面多边形的边数）
分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥……（如图）
4．棱锥的性质：
定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比．
中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面
5．正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥．
（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜高）．
（2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形
题型讲解
例1 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD
（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC?试证明你的结论
（2）当a=4时，求D点到平面PBC的距离
（3）当a=4时，求直线PD与平面PBC所成的角
分析：本题主要考查棱锥的性质，直线、平面所成的角的计算和点到平面的距离等基础知识同时考查空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力
本题主要是在有关的计算中，推理得到所求的问题，因而尽量选择用坐标法计算
解：（1）以A为坐标原点，以AD、AB、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
当a=2时，BD⊥AC，
又PA⊥BD，
故BD⊥平面PAC
故a=2
（2）当a=4时，
D（4，0，0）、C（0，2，0）、C（4，2，0）、P（0，0，2）、
=（0，2，－2），=（4，0，0）
设平面PBC的法向量为，则·=0，·=0，
即（x，y，z）·（0，2，－2）=0，（x，y，z）·（4，0，0）=0，
得x=0，y=z，取y=1，
故=（0，1，1）
则D点到平面PBC的距离d==
（3） =（4，0，2），cos〈，〉==>0，
证〈，〉=α，设直线PD与平面PBC所成的角为θ，
则sinθ=sin（－α）=cosα=
所以直线PD与平面PBC所成的角为arcsin
例2 如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E 为侧棱PD的中点
⑴求证：AE⊥平面PCD；
⑵若AD=AB，试求二面角A－PC－D的正切值；
⑶当为何值时，PB⊥AC ？
⑴证： 设N为AD中点，Q为BC中点，则因为PAD是正三角形，底面ABCD是矩形，
所以，，，
又因为侧面PAD⊥底面ABCD，
所以，，，
以N为坐标原点，NA、NQ、NP所在直线分别为轴如图建立空间直角坐标系
设，，
则，，，，，
∴，，，
∴，
所以，
又，，所以，AE⊥平面PCD
⑵当时，由（2）可知：是平面PDC的法向量；
设平面PAC的法向量为，则，，
即，取，可得：
所以，
向量与所成角的余弦值为：
所以，
又由图可知，二面角A－PC－D的平面角为锐角，
所以，二面角A－PC－D的平面角的正切值等于
⑶，，
令，得，所以，
所以，当时，PB⊥AC
例3 如图，四棱锥P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3．点E在棱PA上，且PE=2EA．
（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角；
（Ⅱ）求证：PC∥平面EBD；
（Ⅲ）求二面角A—BE—D的大小．
解：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系B—xyz
（Ⅱ）连结AC交BD于G，连结EG，
（Ⅲ）设平面BED的法向量为
又因为平面ABE的法向量
所以所求二面角A—BE—D的大小为
例4 如图，正四棱锥P—ABCD中，AB=2，侧棱PA与底面ABCD所成的角为60°
（1）求侧面与底面所成的二面角（锐角）的大小；
（2）在线段PB上是否存在一点E，使得AE⊥PC，若存在，试确定点E的位置，并加以证明，若不存在，请说明理由
解（1）如图O为底面ABCD的中心
则∠PAO为PA与底面所成的角，
∴∠PAO=60°
∵ ∴
过O作OM⊥BC于M，连PM由三垂线定理得BC⊥PM
∴∠PMO为侧面与底面所成二面角平面角．
∵OM=1，PO=
（2）如图，建立空间直角坐标系，
例5 四棱锥P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，CD∥AB，AB=4，CD=1，点M在PB上，且MB=3PM，PB与平面ABC成30°角，
（1）求证：CM∥面PAD；
（2）求证：面PAB⊥面PAD；
（3）求点C到平面PAD的距离
分析：本题主要考查空间直角坐标系的概念、空间点和向量的坐标表示以及用向量法证明平行关系，同时考查向量研究空间图形的数学思想方法
如下图，建立空间直角坐标系O—xyz，C为坐标原点O，突破点在于求出相关的向量所对应的坐标
（1）证明：如图，建立空间直角坐标系
∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC为PB与平面ABC所成的角，即∠PBC=30°
∵|PC|=2，∴|BC|=2，|PB|=4
得D（1，0，0）、B（0，2，0）、A（4，2，0）、P（0，0，2）
∵|MB|=3|PM|，
∴|PM|=1，M（0，，），
=（0，，），=（－1，0，2），=（3，2，0）
设=x+y（x、y∈R），
则（0，，）=x（－1，0，2）+y（3，2，0）x=且y=，
∴= +
∴、、共面
又∵C平面PAD，故CM∥平面PAD
（2）证明：过B作BE⊥PA，E为垂足
∵|PB|=|AB|=4，∴E为PA的中点
∴E（2，，1），=（2，－，1）
又∵·=（2，－，1）·（3，2，0）=0，
∴⊥，即BE⊥DA
而BE⊥PA，∴BE⊥面PAD
∵BE面PAB，∴面PAB⊥面PAD
（3）解：由BE⊥面PAD知，
平面PAD的单位向量==（2，－，1）
∴=（1，0，0）的点C到平面PAD的距离
d=|·|=|（2，－，1）·（1，0，0）|=
例6 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）证明：PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C—PB—D的大小
解法一：（向量法）
如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点设DC=a
（1）证明：连结AC交BD于G连结EG
依题意得A（a，0，0），P（0，0，a），E（0，，）
∵底面ABCD是正方形，
∴G是此正方形的中心，
故点G的坐标为（，，0）
且=（a，0，－a）， =（，0，－）
∴=2这表明PA∥EG
而EG平面EDB且PA平面EDB，
∴PA∥平面EDB
（2）证明：依题意得B（a，a，0），=（a，a，－a）
又=（0，，），
故·=0+－=0
∴PB⊥DE
由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，∴PB⊥平面EFD
（3）解：设点F的坐标为（x0，y0，z0）， =λ，
则（x0，y0，z0－a）=λ（a，a，－a）
从而x0=λa，y0=λa，z0=（1－λ）a
∴ =（－x0，－y0，－z0）
=［－λa，（－λ）a，（λ－）a］
由条件EF⊥PB知·=0，即
－λa2+（－λ）a2－（λ－）a2=0，
解得λ=
∴点F的坐标为（，，），
且=（－，，－）， =（－，－，－）
∴·=－－+=0，即PB⊥FD
故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角
∵·=－+=，且||=·a，||=·a，
∴cos∠EFD==
∴∠EFD=∴二面角C—PB—D为
解法二：（几何法）（1）证明：连结AC交BD于O连结EO
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点
在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO
而EO平面EDB且PA平面EDB，∴PA∥平面EDB
（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD，∴PD⊥DC
∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形而DE是斜边PC的中线，
∴DE⊥PC ①
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，
∴BC⊥平面PDC
而DE平面PDC，∴BC⊥DE ②
由①和②推得DE⊥平面PBC
而PB平面PBC，∴DE⊥PB
又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD
（3）解：由（2）知PB⊥DF，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角
由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB
设正方形ABCD的边长为a，则PD=DC=a，BD=a，
PB==a，PC==a，DE=PC=a
在Rt△PDB中，DF===a
在Rt△EFD中，sin∠EFD===，
∴∠EFD=
∴二面角C—PB—D的大小为
小结：
1空间向量是是立体几何问题代数化的桥梁，学习时，要给予重视
2在解答棱锥的综合练习时，要善于联想，灵活运用柱、锥的性质和线面关系，善于揭示一类问题的共同特征，掌握基本方法，对于正棱柱问题借助空间坐标系或向量的运算或许更容易理解、掌握
学生练习
1棱锥的底面积为S，高位h，平行于底面的截面面积为S'，则截面与底面的距离为( A ) A B C D
2三棱锥P－ABC的三条侧棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( B ) A内心 B外心 C垂心 D重心 3三棱锥P－ABC的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的(B ) A内心 B外心 C垂心 D重心 4三棱锥P－ABC的三个侧面与底面所成的二面角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( A ) A内心 B外心 C垂心 D重心 5三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( C ) A内心 B外心 C垂心 D重心
6三棱锥V－ABC中，VA＝BC,VB＝Ac,VC＝Ab，侧面与底面ABC所成的二面角分别为α、β、γ(都是锐角)，则cosα＋cosβ＋cosγ＝(A ) A1 B2 C D 7四面体的四个面中，下列说法错误的是( C ) A可以都是直角三角形 B可以都是等腰三角形 C不能都是顿角三角形 D可以都是锐角三角形 8正n棱锥侧棱与底面所成角为α，侧面与底面所成角为β，则tanα∶tanβ＝( B ) Asin Bcos Csin Dcos 9若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于_______（结果用反三角函数值表示）
解析：取BC的中点D，连结SD、AD，则SD⊥BC，AD⊥BC
∴∠SDA为侧面与底面所成二面角的平面角，设为α在平面SAD中，作SO⊥AD与AD交于O，则SO为棱锥的高
AO=2DO，∴OD=
又VS—ABC=·AB·BC·sin60°·h=1，
∴h=∴tanα===
∴α=arctan
答案：arctan
10过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比（自上而下）为__________
解析：由锥体平行于底面的截面性质知，自上而下三锥体的侧面积之比，S侧1∶S侧2∶S侧3=
1∶4∶9，所以锥体被分成三部分的侧面积之比为1∶3∶5
答案：1∶3∶5
11已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H设四面体EFGH的表面积为T，则等于
A B C D
解析：如图所示，正四面体ABCD四个面的中心分别为E、F、G、H，
∴四面体EFGH也是正四面体
连结AE并延长与CD交于点M，
连结AG并延长与BC交于点N
∵E、G分别为面的中心，
∴==∴=
又∵MN=BD，∴=
∵面积比是相似比的平方，∴=
答案：A
12在三棱锥S—ABC中，∠ASB=∠ASC=∠BSC=60°，则侧棱SA与侧面SBC所成的角的大小是_____________
答案：arccos
13三棱锥一条侧棱长是16 cm，和这条棱相对的棱长是18 cm，其余四条棱长都是17 cm，求棱锥的体积
解：取AD的中点E，连结CE、BE，
∵AC=CD=17，DE=8，CE2=172－82=225，BE=CE，
∴取BC的中点F，连结EF，EF为BC边上的高，EF===12
∴S=108
∵AC=CD=17cm，E为AD的中点，CE⊥AD，同理BE⊥AD，
∴DA⊥平面BCE
∴三棱锥可分为以底面BCE为底，以AE、DE为高的两个三棱锥
∴VA－BCD=VA—BCE+VD—BCE=2·S·AE=2××108×8=576（cm3）
14如图，正三棱锥S—ABC中，底面的边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M是BC的中点求：
（1）的值；
（2）二面角S—BC—A的大小；
（3）正三棱锥S—ABC的体积
解：（1）∵SB=SC，AB=AC，M为BC的中点，∴SM⊥BC，AM⊥BC
由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即
3×BC×SM=2×BC×AM，得=
（2）作正三棱锥的高SG，则G为正三角形ABC的中心，G在AM上，GM=AM
∵SM⊥BC，AM⊥BC，∴∠SMA是二面角S—BC—A的平面角
在Rt△SGM中，
∵SM=AM=×3GM=2GM，∴∠SMA=∠SMG=60°，
即二面角S—BC—A的大小为60°
（3）∵△ABC的边长是3，
∴AM=，GM=，SG=GMtan60°=·=
∴VS—ABC= S·SG=··=
15已知四边形ABCD中，，平面ABCD，PA=AD=3BC=3，AB=2（1）求点D到平面PAC的距离；（2）若点M分的比为2，求二面角M—CD—A的正切值
解：以A为坐标原点，分别以所在直线为x、y、z轴建立坐标系
（1）过D作
就是D到平面PAC的距离
设
由
（2）过A作
则
就是M—CD—A的平面角
课前后备注
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