题目 第十章排列、组台、二项式定理排列组合的综合应用
高考要求
1.进一步加深对排列、组合意义理解的基础上，掌握有关排列、组合综合题的基本解法，提高分析问题和解决问题的能力，学会分类讨论的思想．
2.使学生掌握解决排列、组合问题的一些常用方法。
解题思路归纳
解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：
特殊优先法对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法.例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________个（答案：30个）
科学分类法对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生例如：从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_______种（答案：350）
分组（堆）问题的六个模型：①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分；
插空法解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______ (答案:3600)
捆绑法相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列例如：6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种（答案：240）
排除法从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.
b、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.例如：从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条（答案：30）
剪截法（隔板法）：n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪成m段（插入m－1块隔板），有种方法.
错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.
2个、3个、4个元素的错位排列容易计算。关于5个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题：
①5个元素的全排列为：；
②剔除恰好有5对球盒同号1种、恰好有3对球盒同号(2个错位的) 种、恰好有2对球盒同号(3个错位的) 种、恰好有1对球盒同号(4个错位的) 种。
∴ 120-1---＝44.
用此法可以逐步计算：6个、7个、8个、……元素的错位排列问题。
容斥法：n个元素排成一列,求某两个元素各自不排在某两个确定位置的排法种数,宜用容斥法.
题型讲解
例1 将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？
⑴分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本；
⑵分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本；
⑶分给甲、乙、丙3人，每人2本；
⑷分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本；
⑸分成3堆，每堆2 本。
⑹分给分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本；
⑺分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1本。
分析：①分书过程中要分清：是均匀的还是非均匀的；是有序的还是无序的。
②特别是均匀的分法中要注意算法中的重复问题。
解：⑴是指定人应得数量的非均匀问题：方法数为；
⑵是没有指定人应得数量的非均匀问题：方法数为；
⑶是指定人应得数量的均匀问题：方法数为；
⑷是分堆的非均匀问题（与⑴等价）：方法数为；
⑸是分堆的均匀问题：方法数为；
⑹是部分均匀地分给人的问题：方法数为；
⑺是部分均匀地分堆的问题：方法数为。
点评：以上问题归纳为
分给人（有序）
分成堆（无序）
非均匀
均匀
部分均匀
①见上表中的三类六种不同的分书问题的模型；
②要将问题转化为六种分书模型来解决。
例2? 求不同的排法种数：
（1）6男2女排成一排，2女相邻；
（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；
（3）4男4女排成一排，同性者相邻；
（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．
解：（1）是“相邻”问题，用捆绑法解决：.
（2）是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解．6男先排实位，再在7个空位中排2女，即用插孔法解决：.
另法：用捆绑与剔除相结合：.
（3）是“相邻”问题，应先捆绑后排位：.
（4）是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解: .
例3 有13名医生,其中女医生6人.现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区,若医疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为P,则下列等式
(1)
(2);
(3);
(4);
其中能成为P 的算式有_________种.
分析: 交换医疗小组的两成员顺序是同一选派方法,故为组合问题。
用直接法解:选派5名医生分为2男3女,3男2女,4男1女,5男这四类,故(2)正确;
用间接法解: 不考虑限制条件,选派方法有种,需剔除的有1男4女,5女两类,故(3)正确.
因此结论为: (2)(3).
点评：本例要特别防止误选(4).
例4 对某种产品的6件不同正品和4件不同次品,一一进行测试,到区分出所有次品为止.若所有次品恰好在第五次测试被全部发现,则这样的测试方法有 种
解:在各次测试结果中交换其中两者的顺序,成为两种不同的测试方法,因此是排列问题.故所有测试方法是6件不同正品取出1件与4件次品排成一列且最后一件是次品： =576种.
例5 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前有增加了2个新节目,如果将这两节目插入节目单中,那么不同的插法种数为______.
解:实质是7个节目的排列,因原定的5个节目顺序不改变,故排这5个节目是一个组合,有种方法,在排新插入的两个节目有种方法,故.
点评：分清是排列还是组合问题
排列与组合的根本区别是元素之间有否顺序.若元素之间交换次序后是两种不同的情形,则是排列问题;若元素之间交换次序后是相同的情形,则是组合问题;另外若元素之间已经规定了顺序,则仍是组合问题。
例6 从10 种不同的作物中选出6 种放入6个不同的瓶子中展出,如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内,那么不同的放法共有( )种.
A. B. C. D.
解: 先排第1号瓶,从甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有种方法,再排其余各瓶,有种方法,故不同的放法共有.故选C。
点评：这样解分步合理、过程简捷.但本题更容易想到先从10种不同的作物种子中选出6种,然后排列.由于选出的6种种子中是否含甲、乙不确定,导致后继排列也不确定,这时就要分类了.选出的6种种子中只含甲或只含乙的不同放法都为种,选出的6种种子中,同时含甲与乙的不同放法有种;选出的6种种子中,都不含甲与乙的不同放法有种.故不同的放法共有种.
例7 将3种作物种植在如图的5块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有________种.
解: 根据同种作物最多能种植的块数分类讨论:
(1) 当其中有一种作物种三块时,选取这种作物有种,它们只能种在两端及中间位置,有不同的种植方法种,
(2)当其中两种作物各种两块时,选取这两种作物有种,然后选定其中一种作物,其不同种植方式有以下六类:
第(1)(2)(5)(6)类的种法都是2种; 第(3)类有1种种法;第(4)类有3种种法,于是这种情况有种种法,
故不同的种植方法共42种.
例8 四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有__种.
解: 本题直接计数很困难,用间接法,从10个点中取4个有种方法,剔除四点共面的情况有:
(1)四个面上的种数为;
(2)三点在一条棱上,另一点为其对棱中点的种数为6;
(3)任一组对棱以外的四棱中点的四点共面种数有3种,
故不同的取法共有种.
点评：确定用分类法、分步法、还是间接法计数
为求完成某件事的方法种数,如果我们分步考虑时,会出现某一步的方法种数不确定或计数有重复,就要考虑用分类法,分类法是解决复杂问题的有效手段,而当正面分类情况种数较多时,则就考虑用间接法计数.
例9 从黄瓜，白菜，油菜，扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有___种.
解:按要求从4种蔬菜品种中选出3种有种方法,种在不同土质的三块土地上有种方法,不同的种植方法共有种.
例10 有四个不同的小球,全部放入四个不同的盒子内,恰有两个盒子不放球的放法总数为 ___
解:选取两个不放球的盒子,有种选法；把4个球分成两堆,可分为两堆各为1,3个或两堆都有2个球这两类,有种;再把两堆分别放入两个盒子里有种,
所求放法总数为种.
点评：如何实施先组合,后排列
对常见的排列组合综合问题,应先组合,后排列,可分为以下两类.
例11 把9个相同小球放入其编号为1、2、3的三个箱子里,要求每个箱子放球的个数不小于其编号数,则不同的放球方法共有______种.
解:先给编号为2、3的三个箱子里分别放入1个、2个小球,有1种方法；再将剩余的6个小球串成一串，截为三段有种截断法，对应放到编号为1、2、3的三个箱子里。
因此，不同的放球方法有1×10＝10种。
例12 某校准备参加2005年高中数学联赛,把10个选手名额分配到高三年级的8 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.
解 问题等价于把10个相同小球放入8个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题。
将10个小球串成一串，截为8段有种截断法，对应放到8个盒子里。
因此，不同的分配方案共有36种。
点评： 剪截法（隔板法）：n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪成m段（插入m－1块隔板），有种方法.
例13 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种.
解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法,
故所求方法有种.
点评：错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.
例14 将A、B、C、D、E、F六个不同的电子元件在线路上排成一排组成一个电路,如果元件A不排在始端,元件B不排在末端,那么这六个电子元件组成不同的电路的种数是_ .
解：不考虑限制条件共有种排法,元件A排在始端和B排在末端各有种排法,把它们都剔除,则A排在始端同时B排在末端的总数多减了一次,需补上种.故组成不同的电路种.
点评：容斥法：n个元素排成一列,求某两个元素各自不排在某两个确定位置的排法种数,宜用容斥法.
小结：
①六种分书模型；
②解决排列、组合问题的一些常用方法：容斥法、错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法。
学生练习
1.将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则不同的投法的种数是（ ）
A. B. C. D.
2.某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分；一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有（ ）
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
3.若，则（ ）
A.9 B.8 C.7 D.6
4.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ）
A.24种 B.18种 C.12种 D.6种
5.从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各2台，则不同的选取法有 种（结果用数值表示）
6.在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种值A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有 种。（作数字作答）
7.有件不同的产品排成一排，若其中A、B两件产品排在一起的不同排法有48种，则
8.将3种作物种植在如图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有 种（以数字作答）
9.把6名同学排成前后两排，每排3人，则不同排法的种类（ ）
A.36 B.120 C.720 D.1440
10.6个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是（ ）
A.288 B.480 C.600 D.640
11.12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）
A.种 B.3种 C.种 D.种
12.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（）种
A.280 B.240 C.80 D.96
13.用1,2,3,4,5这五个数字组成比20000大，且百位数不是3的，无重复数字的个数是（ ）
A.64 B.72 C.78 D.96
14.从某班学生中，选出四个组长的不同选法有m种，选出正、副组长各一名的不同选法有n种，若m:n=13:2，则该班的学生人数是（ ）
A.10 B.15 C.20 D.22
15.如图所示，为某市的四个小镇，现欲修建三条公路，将这四个镇连接起来，则不同的修路方案种数为（ ）
A.6 B.12 C.16 D.24
16.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中每次取出两个不重复的数字分别作为对数式中的底和真数，共可得到不同的对数值（ ）
A.53个 B.55个 C.57个 D.59个
17.8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行了单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3,4名，大师赛共有 场比赛（用数字作答）
18.平面上有4条平行线与另外5条平行直线相互垂直，则可围成 个矩形（用数字作答）
19.设编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则不同的投放方法有 种（用数字作答）
20.楼道里有10盏灯，为节约用电，在一定时间可关掉其中的3盏灯，但关掉的灯不能相邻，而且不在楼道两端，则不同的关灯方法共有 种。
21.如图，一个地区分5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（用数字作答）
22.将10个相同的小球装入3个编号分别为1,2,3的盒子（每次要把10个球装完），要求盒子里球的个数不小于盒子的编号数，这样的装法种数是 （用数字作答）
23.某药品研究所研制了5种消炎药， 4种退烧药，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验，但又知两种药必须同时使用，且两种药不能同时使用，则不同的实验方案有 种。
24.对于任意正整数n，定义“n的双阶乘n！！”如下：
当n是偶数时，
当n是奇数时，
现有如下四个命题：
①;②;
③的个位数是0 ; ④的个位数是5
其中正确的命题有
参考答案：
1.B 2.A 3.C 4.B 5.350 6.12 7.5 8.42 9.C 10.B 11. A
12.B 13.C 14.B 15.C 16.A 17.16 18.60 19.20 20.20
21.72 22.15 23.14 24.①②③④
课前后备注
1.从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有 100 种。
2.设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 5 种(左四右-)
3.从正方体的八个顶点中任取三个点作为三角形，直角三角形的个数为（ C ）
A．56 B．52 C．48 D．40
4.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为(B )
A. B. C. D.
5.4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ C ）
A．12 种 B． 24 种 C 36 种 D． 48 种
6.北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为(A )
A. B. C. D.
7.将9个人（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分法的种数为（ A ）
A．70 B．140 C．280 D．840
8. 已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，有多少种方法？()
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