题目
(选修Ⅱ)第一章概率与统计







离散型随机变量的期望与方差 高考要求
　　了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差
知识点归纳
1
平均数的计算方法 （1）如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么
=
（x1+x2+…+xn）叫做这n个数据的平均数，
读作“x拔”
（2）当一组数据x1，x2，…，xn的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a，得到x1′=x1－a，x2′=x2－a，…，xn′=xn－a，那么，
=
+a
（3）加权平均数：如果在n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（f1+f2+…+fk=n），那么
=

2
方差的计算方法 （1）对于一组数据x1，x2，…，xn， s2=
［（x1－
）2+（x2－
）2+…+（xn－
）2］ 叫做这组数据的方差，而s叫做标准差
（2）方差公式: s2=
［（x12+x22+…+xn2）－n
2］
（3）当一组数据x1，x2，…，xn中的各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a，得到x1′=x1－a，x2′=x2－a，…，xn′=xn－a
则s2=
［（x1′2+x2′2+…+xn′2）－n
］
3
数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ x1 x2 … xn …  P p1 p2 … pn …  则称


…
… 为ξ的数学期望，简称期望． 　　4
数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
5
平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令

…
，则有

…
，


…
，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
6
期望的一个性质:
7
方差:
＝
＋
＋…＋
＋…． 衡量数据波动大小的量
方差越大数据波动越大
8
标准差:
的算术平方根
叫做随机变量ξ的标准差，记作
． 9
方差的性质：
；

10
二项分布的期望： 二项分布:ξ～B(n，p)，并记
＝b(k；n，p)．
ξ 0 1 … k … n  P 

… 
… 
 Eξ=np,
np(1-p)
11
几何分布的期望和方差： 几何分布： g(k，p)=
，其中k＝0,1,2,…，
． ξ 1 2 3 … k …  P 


… 
…  
令







，

如：某射击手击中目标的概率为p
求从射击开始到击中目标所需次数
的期望、方差就是
，

题型讲解
例1
是x1，x2，…，x100的平均数，a是x1，x2，…，x40的平均数，b是x41，x42，…，x100的平均数，则下列各式正确的是 A

=
B

=
C

=a+b D

=
分析：这100个数的平均数是a+b还是
（a+b），这都很容易让人误解
我们可以从概率或加权平均数的角度来思考
解： 因为x1+x2+…+x40＝40a，x41+x42+…+x100 =60b， 所以x1+x2+…+x100＝（x1+x2+…+x40）+（x41+x42+…+x100）＝ 40a+60b 故x1，x2，…，x100的平均数
=
（40a+60b）=
a+
b
答案：A 例2 一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是_____________
解：同时取出的两个球中含红球数 ( 的概率分布为 P(( = 0) =
=
, P(( = 1) =
=
, P(( = 2) =
=
E( =
=
, 所以应填

例3 甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t / hm2） 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年  甲 9
8 9
9 10
1 10 10
2  乙 9
4 10
3 10
8 9
7 9
8  其中产量比较稳定的小麦品种是
解：∵
= ( 9
8 + 9
9 + 10
1 + 10 + 10
2) = 10
0，
=( 9
4 + 10
3 + 10
8 + 9
7 + 9
8) = 10
0;
= ( 9
82 + … + 10
22) – 102 = 0
02，
= ( 9
42 + … + 9
82) – 102 = 0
244 > 0
02
∴
<
，故产量比较稳定的小麦是甲品种
例4 对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下： 　　甲：27，38，30，37，35，31； 　　乙：33，29，38，34，28，36
　　根据以上数据，试判断他们谁更优秀
　　分析:根据统计知识可知，需要计算两组数据的
与
，然后加以比较，最后再作出判断
　　解:
， 　　

　　
， 　　

　　∴
，
， 　　由此可以说明，甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀
　 例5 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所出次品数分别为
，
，且
和
的分布列为：
0 1 2  
0 1 2  



 



 试比较这两名工人谁的技术水平更高 解：
　
　　

，说明两人出的次品数相同，可以认为他们技术水平相当
　又
　　　
　　　
，说明工人乙的技术比较稳定 　　　
可以认为工人乙的技术水平更高 例6 若随机事件A在1次实验中发生的概率为
，用随机变量
表示A在1次实验中发生的次数
①求方差
的最大值；②求
的最大值
解：随机变量
的所有可能取值为0,1，并且有



①


当
时，
取得最大值，最大值为
②

当
时，取得最大值，最大值为

小结： 求
和
的关键是求
的可能取值的每一个值及相对应的概率
学生练习
1
随机变量
，则
　　　　　　 答案：
2
已知某离散型随机变量
的数学期望
，
的分布列如下：
0 1 2 3  




 则
　　　　　　
　　　　　　　 答案：
，
　 3
设
，
，则
　　　　　 答案：14
4 4
口袋中有5只球，编号为
，从中任取3球，以
表示取出的球的最大号码，则E
＝（　　） A、4　　　　B、5　　　　C、4
5　　　D、4
75 答案：C　 5
如果
，则使
的最大的
值是（　　） A、3　　　B、4　　　C、4或5　　　　D、3或4 答案：D　 6
盒中装有8个乒乓球，其中6个新的，2个旧的，从盒中任取2个使用，用完后放回盒中，此时盒中旧球个数
是一个随机变量，请写出以下
的分布
2 3 4  P     答案：
7
若随机变量
的分布列如下表，则
的值为　　　　　　
0 1 2 3 4 5  P 





 答案：
8
一个筒中放有标号分别为0,1,2,…,9的十根竹签，从中任取一根，记所取出的竹签上的号数为
①写出
的分布列 ②分别求“
”，“
”，“
”的概率 答案：①
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9  P 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1  ②0
2　　0
2　　0
3 9
A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下： 对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率  A1对B1 

 A2对B2 

 A3对B3 

 现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为
，

（1）求
，
的概率分布；（2）求
答案：（1）
，
，
，
， 　
，
，
，
， （2）
，

10
A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3
按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下： 对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率  A1对B1    A2对B2    A3对B3     现按表中对阵方式出场, 每场胜队得1分, 负队得0分
设A队、B队最后总分分别为 (、(
(Ⅰ) 求 (、( 的概率分布； (Ⅱ) 求E(、E(
分析：本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力
解：(Ⅰ) (、( 的可能取值分别为3, 2, 1, 0
P(( = 3) =
（即A队连胜3场） P(( = 2) =
（即A队共胜2场） P(( = 1) =
（即A队恰胜1场） P(( = 0) =
（即A队连负3场） 根据题意知 ( + ( = 3，所以 P(( = 0) = P(( = 3) = ， P(( = 1) = P(( = 2) = ， P(( = 2) = P(( = 1) = ， P(( = 3) = P(( = 0) = 
(Ⅱ) E( =
； 因为( + ( = 3，所以E( = 3 – E( =

课前后备注
　

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