题目 (选修Ⅱ)第二章极限数列的极限
高考要求
1理解数列极限的概念，掌握数列极限的运算法则
2会通过恒等变形，依据数列极限的运算法则，依据极限为0的几种形式，求数列的极根
3会求公比绝对值小于1的无穷等比数列各项的和
知识点归纳
1数列极限的定义：
一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数（即|an－a|无限地接近于0），那么就说数列以为极限
记作．
注：a不一定是｛an｝中的项
2几个重要极限：
（1） （2）（C是常数）（3）
3极限问题的基本类型：
分式型，主要看分子和分母的首项系数；
指数型(型），通过变形使得各式有极限；
根式型(∞─∞型)，通过有理化变形使得各式有极限；
4 数列极限的运算法则:
与函数极限的运算法则类似, 如果那么
5．无穷等比数列的各项和
⑴公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做
⑵
题型讲解
例1 求三个基本类型的极限：
①； ②； ③
分析：①的分子有界，分可以无限增大，因此极限为0；
②的分子次数等于分母次数，极限为两首项(最高项)系数之比；
③的分子次数小于于分母次数，极限为0
解：①；
②；
③
点评：分子次数高于分母次数，极限不存在；
例2 求下列极限：
（1）; （2） （－n）;
（3）（++…+）
分析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（2）因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限
解:（1）==
（2） （－n）= ==
（3）原式===（1+）=1
点评：对于（1）要避免下面两种错误：①原式===1,②∵（2n 2+n+7）, （5n2+7）不存在，∴原式无极限
对于（2）要避免出现下面两种错误：①（－n）= －n=∞－∞=0;②原式=－n=∞－∞不存在
对于（3）要避免出现原式=++…+=0+0+…+0=0这样的错误
例3 数列{an}和{bn}都是公差不为0的等差数列，且=3,求的值为
解：由=3(d1=3d2 ，
∴==
点评：化归思想
例4 求 （a>0);
解：=
点评：注意分类讨论
例5 已知,求实数a,b的值;
解：=1，
∴ (a=1,b=─1
例6 将无限循环小数化为分数
解：=012+00012+0000012+…是一个无穷等比数列的各项和，
∴=012/(1─001)=12/99=4/33
点评：将无限循环小数化分数的方法
例7 求数列,,,…的前n项和及各项和
解：此数列是一个首项为a1==18/99=2/11,公比为q=1/100的等比数列，
∴Sn=, S=
点评：注意前n项和与各项和的区别
例8 在边长为a的正方形ABCD中内依次作内接正方形AiBiCiDi(i=1,2,3,…),使内接正方形与相邻前一个正方形的一边夹角为(,求所有正方形的面积之和
分析：从递推式入手
解：令第k个正方形的边长为ak,则ak+1(sin(+cos()=ak (0<(<π/2),
(,
即{}为等比数列，且公比小于1，
∴ 所有正方形面积之和
S=
点评：从通项出发，找出递推关系是关键
例9 已知数列｛an｝是由正数构成的数列，a1＝3，且满足lgan＝lgan－1＋lgc，其中n是大于1的整数，c是正数．
（1）求数列｛an｝的通项公式及前n和Sn；
（2）求的值．
解:（1）由已知得an＝ｃ·an－1,
∴｛an｝是以a1＝3，公比为c的等比数列，则an＝3·ｃn－1
∴Sn＝
（2） ＝
①当c=2时，原式＝－;
②当ｃ＞2时，原式＝＝－;
③当0＜ｃ＜2时，原式=＝
点评：求数列极限时要注意分类讨论思想的应用
例10 已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q,且有（－qn）=,求首项a1的取值范围
解: （－qn）=,
∴qn一定存在∴0＜|q|＜1或q=1
当q=1时，－1=,∴a1=3
当0＜|q|＜1时，由（－qn）=得=,∴2a1－1=q
∴0＜|2a1－1|＜1∴0＜a1＜1且a1≠
综上,得0＜a1＜1且a1≠或a1=3
小结：
1运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点：
（1）各数列的极限必须存在；
（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算
2熟练掌握如下几个常用极限：
（1） C=C（C为常数）;
（2） （）p=0（p＞0）;
（3） =（k∈N *,a、b、c、d∈R且c≠0）;
（4） qn=0（|q|＜1）
3数列极限的几种类型：∞－∞,,0－0,等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限，另外还有先求和，约分后再求极限，对含参数的题目一定要注意分别讨论
4重视在日常学习过程中化归思想、分类讨论思想和极限思想的运用
学生练习
1下列极限正确的个数是
①=0（α＞0） ②qn=0
③=－1 ④C=C（C为常数）
A2 B3 C4 D都不正确
解析:①③④正确
答案:B
2 ［n（1－）（1－）（1－）…（1－）］等于
A0 B1 C2 D3
解析: ［n（1－）（1－）（1－）…（1－）］
=［n××××…×］
==2
答案:C
3下列四个命题中正确的是
A若an2＝A2，则an＝A B若an＞0，an＝A，则A＞0
C若an＝A，则an2＝A2 D若（an－b）＝0，则an＝bn
解析:排除法，取an＝（－１）n，排除A；
取an＝，排除Ｂ；取an＝bn＝n，排除D．
答案:C
4已知a、b、c是实常数，且=2, =3,则的值是
A2 B3 C D6
解析:由=2,得a=2b
由=3,得b=3c,∴c=b
∴=6
∴== =6
答案:D
5若数列{an}的通项公式是an=,n=1,2,…,则 （a1+a2+…+an）等于
A B C D
解析:an=
即an=
∴a1+a2+…+an=（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…）
∴（a1+a2+…+an）=+=
答案:C
6数列{an}中,a1=,an+an+1=,n∈N*,则（a1+a2+…+an）等于
A B C D
解析:2（a1+a2+…+an）=a1+［（a1+a2）+（a2+a3）+（a3+a4）+…+（an－1+an）］+an=+[++…+]+an
∴原式=［++an］=（++an）
∵an+an+1=,∴an+an+1=0
∴an=0
答案:C
7 =__________
解析:原式===0
答案:0
8 =____________
解析:原式==
答案:
9在数列{an}中，a1=3，且对任意大于1的正整数n,点（,）在直线x－y－=0上，则=______________
解析:由题意得－= （n≥2）
∴{}是公差为的等差数列，=
∴=+（n－1）·=n
∴an=3n2
∴=
==3
答案:3
10设等比数列{an}（n∈N）的公比q=－,且（a1+a3+a5+…+a2n－1）=,则a1=_____________
解析:∵q=－,∴ （a1+a3+a5+…+a2n－1）==∴a1=2
答案:2
11已知数列｛an｝满足（n－1）an+1=（n+1）（an－1）且a2=6,设bn=an+n（n∈N*）
（1）求{bn}的通项公式；
（2）求（+++…+）的值
解:（1）n=1时，由（n－1）an+1=（n+1）（an－1）,得a1=1
n=2时，a2=6代入得a3=15同理a4=28,再代入bn=an+n,有b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想bn=2n2
要证bn=2n2,只需证an=2n2－n
①当n=1时，a1=2×12－1=1成立
②假设当n=k时，ak=2k2－k成立
那么当n=k+1时，由（k－1）ak+1=（k+1）（ak－1）,得a k+1=（ak－1）
=（2k2－k－1）=（2k+1）（k－1）=（k+1）（2k+1）=2（k+1）2－（k+1）
∴当n=k+1时，an=2n2－n正确，从而bn=2n2
（2）（++…+）=（++…+）
=［++…+］
=［1－+－+…+－］
=［1+－－］=
12已知数列{an}、{bn}都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且
=,求极限 （++…+）的值
解:{an}、{bn}的公差分别为d1、d2
∵2b2=a2+a3,即2（2+d2）=（3+d1）+（3+2d1）,
∴2d2－3d1=2
又===,即d2=2d1,
∴d1=2,d2=4
∴an=a1+（n－1）d1=2n+1,bn=b1+（n－1）d2=4n－2
∴==（－）
∴原式=（1－）=
13已知数列｛an｝、{bn}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q,其中p＞q且p≠1,q≠1,设cn=an+bn,Sn为数列{cn}的前n项和，求
解:Sn=+,
当p＞1时，p＞q＞0,得0＜＜1,上式分子、分母同除以pn－1，得
∴=p
当p＜1时，0＜q＜p＜1, ==1
14已知数列{an}满足a1=0,a2=1,an=,求an
解:由an=,得
2an+an－1=2an－1+an－2,∴{2an+an－1}是常数列
∵2a2+a1=2,∴2an+an－1=2
∴an－=－（an－1－）
∴{an－}是公比为－,首项为－的等比数列
∴an－=－×（－）n－1
∴an=－×（－）n－1
∴an=
课前后备注
1 已知直线l:x－ny=0（n∈N *）,圆M:（x+1）2+（y+1）2=1,抛物线:y=（x－1）2,又l与M交于点A、B，l与交于点C、D，求
分析:要求的值，必须先求它与n的关系
解:设圆心M（－1,－1）到直线l的距离为d,则d2=
又r=1,∴|AB|2=4（1－d2）=
设点C（x1,y1）, D（x2,y2），
由nx2－（2n+1）x+n=0,
∴x1+x2=, x1·x2=1
∵（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2=,（y1－y2）2=（－）2=,
∴|CD|2=（x1－x2）2+（y1－y2）2
=（4n+1）（n2+1）
∴===2
点评：本题属于解析几何与数列极限的综合题要求极限，需先求,这就要求掌握求弦长的方法
2 若数列{an}的首项为a1=1,且对任意n∈N*,an与an+1恰为方程x2－bnx+cn=0的两根,其中0＜|c|＜1,当 （b1+b2+…+bn）≤3,求c的取值范围
解:首先,由题意对任意n∈N*,an·an+1=cn恒成立
∴===c又a1·a2=a2=c
∴a1,a3,a5,…,a2n－1,…是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,…,a2n,…是首项为c,公比为c的等比数列其次,由于对任意n∈N*,an+an+1=bn恒成立
∴==c又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,
∴b1,b3,b5,…,b2n－1,…是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,…,b2n,…是首项为2c,公比为c的等比数列,
∴ （b1+b2+b3+…+bn）= （b1+b3+b5+…）+ （b2+b4+…）=+≤3
解得c≤或c＞1∵0＜|c|＜1,∴0＜c≤或－1＜c＜0
故c的取值范围是（－1,0）∪（0,］
点评：本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式,即将{bn}的各项和表示为关于c的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口
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