题目 (选修Ⅱ)第三章导数函数的极值、最值及应用 高考要求 1理解可导函数的单调性与其导数的关系； 2了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)； 3会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值 知识点归纳 1极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点 2极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点 3极大值与极小值统称为极值（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>  （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 4判别f(x0)是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值 5 求函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)  (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值 6函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 7利用导数求函数的最值步骤:⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值 题型讲解 例1 求列函数的极值： （1）；（2） 解：（1） 令，得驻点   1    2    + 0 - 0 + 0 +   ↗ 极大 ↘ 极小 ↗  ↗  是函数的极大值；是函数的极小值 （2） 令，得驻点   -1  1    - 0 + 0 -   ↘ 极大 ↗ 极小 ↘  当时，极小=-3；当时，极大=-1值 例2 设为自然对数的底，a为常数且），取极小值时，求x的值 解：  令 （1），由表 x （－∞，－2） －2     f′(x) + 0 － 0 +  f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗  取极小值 （2）无极值 （3）时，由表 x （－∞，－）   －2   f′(x) + 0 － 0 +  f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗    例3 求抛物线上与点距离最近的点 解：设为抛物线上一点， 则 与同时取到极值 令 由得是唯一的驻点 当或时，是的最小值点，此时 即抛物线上与点距离最近的点是（2，2） 例4 设x＞－2，n∈N*，比较（1+x）n与1+nx的大小 分析：从条件最易想到归纳——猜想——证明，但证明由n=k到n=k+1时，（1+x）k+1=（1+x）k·（1+x）过渡到（1+x）k时不等方向不确定，故需按1+x的符号讨论证明但本题若用导数解就比较简单了 解：设f（x）=（1+x）n－1－nx， 当n=1时，f（x）=0，∴（1+x）n=1+nx 当n≥2，n∈N*时， f′（x）=n（1+x） n－1－n=n［（1+x）n－1－1］， 令f′（x）=0，得x=0 当－2＜x＜0时，f′（x）＜0，f（x）在（－2，0］上为减函数; 当x＞0时，f（x）＞0∴f（x）在［0，+∞）上为增函数 ∴当x＞－2时，f（x）≥f（0）=0 ∴（1+x）n≥1+nx 综上，得（1+x）n≥1+nx 点评：构造函数法是比较两个多项式的大小或证明不等式常用的方法 附：数学归纳法的证明过程：归纳——猜想——证明法解 当n=1时，（1+x）1=1+x 当n=2时，（1+x）2=1+2x+x2≥1+2x 当n=3时，（1+x）3=1+3x+3x2+x3=1+3x+x2（3+x）≥1+3x 猜想：（1+x）n≥1+nx 证明：当x≥－1时， （1）当n=1时，（1+x）n≥1+nx成立 （2）假设n=k时，（1+x）k≥1+kx成立， 那么（1+x）k+1=（1+x）k·（1+x）≥（1+x）·（1+kx）=1+（k+1）x+kx2≥1+（k+1）x ∴当n=k+1时，（1+x）n≥1+nx成立 由（1）（2）可知，当x≥－1时，对n∈N*，（1+x）n≥1+nx 当－2＜x＜－1时，当n=1时，（1+x）n=1+x；当n≥2时，|1+x|＜1 ∴|1+x|n＜1而1+nx＜1－n≤－1， ∴（1+x）n＞1+nx 综上，得（1+x）n≥1+nx正确 例5 设函数f（x）=－ax，其中a＞0，求a的范围，使函数f（x）在区间［0，+∞）上是单调函数 分析：要使f（x）在［0，+∞）上是单调函数，只需f′（x）在［0，+∞）上恒正或恒负即可 解：f′（x）=－a 当x＞0时，  因为a＞0，所以当且仅当a≥1时，f′（x）= －a在［0，+∞）上恒小于0，此时f（x）是单调递减函数 点评：要使f（x）在（a，b）上单调，只需f′（x）在（a，b）上恒正或恒负，即f′（x）＞0（或＜0）单调递增（或减） 例6 已知函数f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值 （1）讨论f（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值； （2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程 解：（1）f′（x）=3ax2+2bx－3， 依题意，f′(1)=f′(－1)=0，即 解得a=1，b=0 ∴f（x）=x3－3x，f′（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1） 令f′（x）=0，得x=－1，x=1 若x∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则f′（x）＞0，故 f（x）在（－∞，－1）上是增函数， f（x）在（1，+∞）上也是增函数 若x∈（－1，1），则f′（x）＜0，故f（x）在（－1，1）上是减函数 所以f（－1）=2是极大值，f（1）=－2是极小值 （2）曲线方程为y=x3－3x，点A（0，16）不在曲线上 设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0=x03－3x0 因f′（x0）=3（x02－1），故切线的方程为y－y0=3（x02－1）（x－x0） 注意到点A（0，16）在切线上，有 16－（x03－3x0）=3（x02－1）（0－x0）， 化简得x03=－8，解得x0=－2 所以切点为M（－2，－2），切线方程为9x－y+16=0 点评：本题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力 例7 用总长148 m的钢条制作一个长方体容器的框架如果所制作容器的底面的一边比另一边长05 m，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积 解：设容器底面短边长为x m，则另一边长为（x+05） m，高为 =32－2x（m） 设容积为y m3，则y=x（x+05）（32－2x）（0＜x＜16）， 整理，得y=－2x3+22x2+16x 所以y′=－6x2+44x+16 令y′=0，即－6x2+44x+16=0， 所以15x2－11x－4=0 解得x=1或x=－（不合题意，舍去） 从而在定义域（0，16）内只有x=1处使得y′=0 由题意，若x过小（接近0）或过大（接近16）时，y值很小（接近0） 因此，当x=1时，y有最大值且ymax=－2+22+16=18， 此时，高为32－2×1=12 答：容器的高为12 m时，容积最大，最大容积为18 m3 例8 烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境已知落在地面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，现有两座烟囱相距20，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最小 解：不失一般性，设烟囱A的烟尘量为1，则烟囱B的烟尘量为8并设AC= ， 于是点C的烟尘浓度为， 其中为比例系数  令，有， 即 解得在（0，20）内惟一驻点 由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（0，20）内取得， 在惟一驻点处，浓度最小，即在AB间距A处处的烟尘浓度最小 例9 已知抛物线y=－x2+2，过其上一点P引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l的方程 解：设切点P（x0，－x02+2）（x0＞0），由y=－x2+2得y′=－2x， ∴k1=－2x0 ∴l的方程为y－（－x02+2）=－2x0（x－x0），令y=0，得x=令x=0，得y=x02+2， ∴三角形的面积为 S=··（x02+2）= ∴S′= 令S′=0，得x0= （∵x0＞0） ∴当0＜x0＜时，S′＜0; 当x0＞时，S′＞0 ∴x0=时，S取极小值∵只有一个极值， ∴x=时S最小，此时k1=－，切点为（，） ∴l的方程为y－=－ （x－），即2x+3y－8=0 例10 利用导数求和： （1）Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1（x≠0,n∈N *） （2）Sn=C+2C+3C+…+nC （n∈N *） 解:（1）当x=1时，Sn=1+2+3+…+n= （n+1）, 当x≠1时，∵x+x2+x3+…+xn=, 两边对x求导，得 Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1=()= （2）∵（1+x）n=1+Cx+C x2+…+C xn, 两边对x求导，得 n（1+x）n－1=C+2Cx+3Cx2+…+nC x n－1 令x=1,得n·2n－1=C +2C+3C+…+nC, 即Sn=C+2C +3C +…+nC=n·2n－1 小结： 在求函数的极值和最值时，要注意极值和最值的区别能列表的应采用列表的方法，在处理应用问题时，一方面正确列出函数关系式，按函数求极值、最值的步骤进行另一方面在解题时还要随时利用应用题本身的特点，以及目标函数的取值范围确定驻点 学生练习 1某物体作s=2（1－t）2的直线运动，则t=08 s时的瞬时速度为 A4 B－4 C－48 D－08 解析：s′=－4（1－t），∴当t=08 s时，v=－08 答案：D 2函数f（x）=x3－6bx+3b在（0，1）内有极小值，则 Ab＞0 Bb＜ C0＜b＜ Db＜1 解析：f′（x）=3x2－6b，令f′（x）=0，得x=±b ∵f（x）在（0，1）内有极小值，∴0＜b＜1∴0＜b＜ 答案：C 3函数f（x）=ax+loga（x+1）在［0，1］上的最大值与最小值之和为a，则a的值为 A B C2 D4 解析：f′（x）=axlna+logae ∵x∈［0，1］， ∴当a＞1时，axlna+logae＞0∴f（x）为增函数 当0＜a＜1时，axlna+logae＜0，∴f（x）为减函数 ∴f（0）+f（1）=a∴a= 答案：B 4若曲线f（x）=x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y=0，则点P的坐标为 A（1，3） B（－1，3） C（1，0） D（－1，0） 解析：f′（x）=4x3－1=3，∴x=1 答案：C 5已知曲线y=x3+，则过点P（2，4）的切线方程是__________ 解析：y′=x2，当x=2时，y′=4 ∴切线的斜率为4 ∴切线的方程为y－4=4（x－2）， 即y=4x－4 答案：4x－y－4=0 6设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为______________ 解析：设底面边长为x，则高为h=， ∴S表=3×·x+2×x2=+x2 ∴S′=－+x令S′=0，得x= 答案：  7已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则f（2）=______ 解析：f′（x）=3x2+2ax+b，由题意得 ∴ ∴或 ∴f（2）=11或f（2）=18 答案：11或18 8直线y=a与函数f（x）=x3－3x的图象有相异三个交点，求a的取值范围 解：∵f′（x）=3x2－3=3（x－1）（x+1），由f′（x）＞0得单调增区间为（－∞，－1），（1，+∞）;由f′（x）＜0得单调减区间为（－1，+1）检验知x=1时，f（1）=－2是极小值;当x=－1时，f（－1）=2是极大值，结合图象知： 当－2＜a＜2时，y=a与y=x3－3x的图象有三个相异交点 9当0＜x＜时，证明： x＜sinx＜x 证明：令f（x）=x－sinx，则当０＜x＜时，f′（x）=1－cosx＞０ ∴f（x）在（０，）上单调增加，而f（０）=０ ∴当０＜x＜时，f（x）＞０，即x＞sinx 令g（x）=sinx－x，∴g′（x）=cosx－ 当０＜x＜arccos时，g′（x）＞０，则g（x）单调增加； 当arccos＜x＜时，g′（x）＜０，则g（x）单调减小， 而f（０）=f（）=０ ∴当０＜x＜时，g（x）＞０，即sinx＞x 综上，当０＜x＜时，x＜sinx＜x 10已知二次函数y=f（x）经过点（0，10），导函数f′（x）=2x－5，当x∈（n，n+1］（n∈N*）时，f（x）是整数的个数，记为an求数列{an}的通项公式 解：由f′（x）=2x－5可设f（x）=x2－5x+c（c为常数） 因为f（x）的图象过（0，10），得c=10 故二次函数为f（x）=x2－5x+10=（x－）2+ 又因x∈（n，n－1］（n∈N*）时，f（x）为整数的个数为an f（x）在（1，2］上的值域为［4，6），∴a1=2 f（x）在（2，3］上的值域为［，4］，∴a2=1 当n≥3时，f（x）在（n，n+1］上单调递增，其值域为（f（n），f（n+1）］ ∴an=f（n+1）－f（n）=2n－4 ∴an= 11 已知b＞－1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+bx+c的图象相切 （1）求b与c的关系式（用c表示b）; （2）设函数F（x）=f（x）g（x）在（－∞，+∞）内有极值点，求c的取值范围 解：（1）依题意，令f′（x）=g′（x），得2x+b=1，故x= 由f（）=g（），得（b+1）2=4c ∵b＞－1，c＞0，∴b=－1+2 （2）F（x）=f（x）g（x）=x3+2bx2+（b2+c）x+bc ∴F′（x）=3x2+4bx+b2+c 令F′（x）=0，即3x2+4bx+b2+c=0， 则Δ=16b2－12（b2+c）=4（b2－3c） 若Δ=0，则F′（x）=0有一个实根x0，且F′（x）的变化如下：’ x （－∞，x0） x0 （x0，+∞）  F′（x） + 0 +  于是x=x0不是函数F（x）的极值点 若Δ＞0，则F′（x）=0有两个不相等的实根x1、x2（x1＜x2），且F′（x）的变化如下： x （－∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）  F′（x） + 0 － 0 +  由此，x=x1是函数F（x）的极大值点，x=x2是F（x）的极小值点 综上所述，当且仅当Δ＞0时，函数F（x）在（－∞，+∞）上有极值点 由Δ=4（b2－3c）＞0得b＜－或b＞ ∵b=－1+2，∴－1+2＜－或－1+2＞ 解得0＜c＜7－4或c＞7+4 故所求c的取值范围是（0，7－4）∪（7+4，+∞） 12已知函数f（x）=x4－4x3+ax2－1在［0，1）上单调递增，在［1，2）上单调递减 （1）求a的值 （2）若点A（x0，f（x0））在函数f（x）的图象上，求证：点A关于直线x=1的对称点B也在函数f（x）的图象上 （3）是否存在实数b，使得函数g（x）=bx2－1的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由 （1）解：由函数f（x）=x4－4x3+ax2－1在区间［0，1）上单调递增，在区间［1，2）上单调递减， ∴x=1时取得极大值 ∴f′（1）=0，f′（x）=4x3－12x2+2ax ∴4－12+2a=0∴a=4 （2）证明：点A（x0，f（x0））关于直线x=1的对称点B的坐标为 （2－x0，f（x0））， f（2－x0）=（2－x0）4－4（2－x0）3+4（2－x0）2－1 =（2－x0）2［（2－x0）－2］2－1 =x04－4x03+ax02－1=f（x0）， ∴A关于直线x=1的对称点B也在函数f（x）的图象上 （3）解：函数g（x）=bx2－1的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，等价于方程x4－4x3+4x2－1=bx2－1恰有3个不等实根，即x4－4x3+（4－b）x2=0， ∵x=0是其中一个根， ∴方程x4－4x3+（4－b）x2=0有两个非零不等实根，  ∴b＞0且b≠4 ∴存在b，b＞0且b≠4 课前后备注
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