第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数
[知识能否忆起]
1．任意角
(1)角的分类：
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
(2)终边相同的角：
终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．
(3)弧度制：
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．
④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
⑤弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2.
2．任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数定义：
设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
3．三角函数线
设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线.
三角函数线
有向线段MP为正弦线
有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线
[小题能否全取]
1．－870°的终边在第几象限( )
A．一 B．二
C．三 D．四
解析：选C 因－870°＝－2×360°－150°.－150°是第三象限角．
2．已知角α的终边经过点(，－1)，则角α的最小正值是( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵sin α＝＝－，且α的终边在第四象限，
∴α＝π.
3．(教材习题改编)若sin α<0且tan α>0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选C 由sin α<0，知α在第三、第四象限或α终边在y轴的负半轴上，由tan α>0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．
4．若点P在角的终边上，且P的坐标为(－1，y)，则y等于________．
解析：因tan＝－＝－y，∴y＝.
答案：
5．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．
解析：弧长l＝3π，圆心角α＝π，
由弧长公式l＝α·r得r＝＝＝4，面积S＝lr＝6π.
答案：4 6π
1.对任意角的理解
(1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°～90°的角”不等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°<α0)，则tan α的最小值为( )
A．1 B．2
C. D.
(2)(2012·大庆模拟)已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为( )
A. B.
C. D.
[自主解答] (1)根据已知条件得tan α＝＝t＋≥2，当且仅当t＝1时，tan α取得最小值2.
(2)由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin ＝，故α＝2kπ－(k∈Z)，所以α的最小正值为.
[答案] (1)B (2)D
由题悟法
定义法求三角函数值的两种情况
(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．
以题试法
2．(1)(2012·东莞调研)已知角α的终边与单位圆的交点P，则tan α＝( )
A. B．±
C. D．±
(2)(2012·潍坊质检)已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cos α＝－，则m等于( )
A．－ B.
C．－4 D．4
解析：(1)选B 由|OP|2＝x2＋＝1，
得x＝±，tan α＝±.
(2)选C 由题意可知，cos α＝＝－，
又m<0，解得m＝－4.
扇形的弧长及面积公式
典题导入
[例3] (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．
(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？
[自主解答] (1)设圆心角是θ，半径是r，
则?(舍)，
故扇形圆心角为.
(2)设圆心角是θ，半径是r，
则2r＋rθ＝40.
S＝θ·r2＝r(40－2r)＝r(20－r)
＝－(r－10)2＋100≤100，
当且仅当r＝10时，Smax＝100.
所以当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大．
若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．
解析：设圆半径为R，则圆内接正方形的对角线长为2R，
∴正方形边长为R，∴圆心角的弧度数是＝.
答案：
由题悟法
1．在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
2．记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S是扇形面积．
以题试法
3．若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取到最小值？
解：设扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l，根据已知条件lR＝S扇，则扇形的周长为：l＋2R＝＋2R≥4，当且仅当＝2R，即R＝时等号成立，此时l＝2，α＝＝2，
因此当扇形的圆心角为2弧度时，扇形的周长取到最小值．
1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．
故A、B不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的.
即为－×2π＝－.
2．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1或4 B．1
C．4 D．8
解析：选A 设扇形的半径和弧长分别为r，l，则易得
解得或故扇形的圆心角的弧度数是4或1.
3．已知角α和角β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－，则sin α＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D 因为角α和角β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋(k∈Z)，又β＝－，所以α＝2kπ＋(k∈Z)，即得sin α＝.
4．设θ是第三象限角，且＝－cos，则是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选B ∵θ是第三象限角，∴为第二或第四象限角．又∵＝－cos，∴cos＜0，知为第二象限角．
5．(2012·宜春模拟)给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④，其中符号为负的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
解析：选C sin(－1 000°)＝sin 80°>0；cos(－2 200°)
＝cos(－40°)＝cos 40°>0；tan(－10)＝tan(3π－10)<0；
＝，sin>0，tan<0，∴原式>0.
6．已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B 由已知得(sin θ－cos θ)2>1,1－2sin θcos θ>1，sin θcos θ<0，且sin θ>cos θ，因此sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．
7．在直角坐标系中，O是原点，A(，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为__________．
解析：依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，
设点B坐标为(x，y)，所以x＝2cos 120°＝－1，y＝2sin 120°＝，即B(－1，)．
答案：(－1，)
8．若β的终边所在直线经过点P，则sin β＝________，tan β＝________.
解析：因为β的终边所在直线经过点P，所以β的终边所在直线为y＝－x，则β在第二或第四象限．
所以sin β＝或－，tan β＝－1.
答案：或－ －1
9.如图，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1)交于第二象限的点A，则cos α－sin α＝________.
解析：由题图知sin α＝，又点A在第二象限，故cos α＝－.∴cos α－sin α＝－.
答案：－
10．一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.
解：设圆的半径为r cm，
弧长为l cm，
则解得
∴圆心角α＝＝2.
如图，过O作OH⊥AB于H.则∠AOH＝1弧度．
∴AH＝1·sin 1＝sin 1(cm)，
∴AB＝2sin 1(cm)．
11.如图所示，A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为，△AOB为正三角形．
(1)求sin∠COA；
(2)求cos∠COB.
解：(1)根据三角函数定义可知sin∠COA＝.
(2)∵△AOB为正三角形，∴∠AOB＝60°，
又sin∠COA＝，cos∠COA＝，
∴cos∠COB＝cos(∠COA＋60°)
＝cos∠COAcos 60°－sin∠COAsin 60°
＝·－·＝.
12．(1)设90°<α<180°，角α的终边上一点为P(x，)，且cos α＝x，求sin α与tan α的值；
(2)已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ，cos θ.
解：(1)∵r＝，∴cos α＝，
从而x＝，
解得x＝0或x＝±.
∵90°<α<180°，
∴x<0，因此x＝－.
故r＝2，sin α＝＝，
tan α＝＝－.
(2)∵θ的终边过点(x，－1)，
∴tan θ＝－，
又tan θ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.
当x＝1时，sin θ＝－，cos θ＝；
当x＝－1时，sin θ＝－，cos θ＝－.
1．(2013·聊城模拟)三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sin A－cos B，cos A－sin C)，则＋＋的值是( )
A．1 B．－1
C．3 D．4
解析：选B 因为三角形ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A>90°－B，则sin A>sin (90°－B)＝cos B，sin A－cos B>0，同理cos A－sin C<0，所以点P在第四象限，＋＋＝－1＋1－1＝－1.
2．(2012·山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．
解析：设A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧P长为2，∠ABP＝＝2.
设P(x，y)，则x＝2－1×cos＝2－sin 2，y＝1＋1×sin＝1－cos 2，
∴的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)．
答案：(2－sin 2,1－cos 2)
3．(1)确定的符号；
(2)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m(00，tan 5<0，cos 8<0，∴原式大于0.
(2)若0<α<，则如图所示，在单位圆中，OM＝cos α，MP＝sin α，
∴sin α＋cos α＝MP＋OM>OP＝1.
若α＝，则sin α＋cos α＝1.
由已知00.
1．已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π]内，α的取值范围是( )
A.∪ B.∪
C.∪ D.∪
解析：选B 由已知sin α－cos α>0，tan α>0故∪.
2．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
解：∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，
∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，
则x＝4t，y＝－3t，
r＝＝＝5|t|，
当t>0时，r＝5t，
sin α＝＝＝－，
cos α＝＝＝，
tan α＝＝＝－；
当t<0时，r＝－5t，sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－，
tan α＝＝＝－.
综上可知，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－；
或sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
3．已知0<α<，求证：
(1)sin α＋cos α>1；
(2)sin α<αOP，
∴cos α＋sin α>1.
(2)连接PA，则S△OPA
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