三垂线定理练习课二
? ?
教学目标
1．进一步理解、巩固并应用三垂线定理及其逆定理；
2．应用上一节课上所讲的两个基本题来解有关的综合题；
3．通过解综合题提高学生解综合题的能力．
教学重点和难点
教学的重点是进一步掌握三垂线定理及其逆定理，并能灵活的应用它们来解有关的题．教学的难点是在空间图形中有许多平面时，如何选好“基准平面”和“第一垂线”．
教学设计过程
师：上一节我们应用三垂线定理及其逆定理讲了四个例题．其中大多是基本题．今天我们一方面要在应用这些基本题的基础上解有关的综合题；另外我们再来解其它的综合题来提高我们的解综合题的能力．现在看例1．
例1? 如图1，已知：PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，求证：
△ABC是锐角三角形．
师：这一题证法很多，所以我们要多想几种证法．
所以? ∠BAC是锐角．
同理可证∠ABC，∠ACB都是锐角．
师：我们能不能直接用三垂线定理来证？
生：由已知可得PA⊥平面PBC．在直角三角形PBC中，作PD⊥BC于D，因为∠PBC，∠PCB都是锐角，所以垂足D一定在斜边BC内部，连PD，则PD⊥BC（三垂线定理）．对于△ABC来说，因垂足D在BC边内部，所以∠ABC，∠ACB都是锐角，同理可证∠BAC也是锐角．
师：能不能用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ来证明△ABC为锐角三角形？
生：因AP⊥平面PBC，所以∠ABP是线面角，相当于θ1，∠PBC相当于θ2，因θ1，θ2都是锐角．所以cosθ1＞0，cosθ2＞0，cosθ＝cosθ1·cosθ2＞0，所以θ为锐角。即∠ABC是锐角，同理可证∠BAC，∠ACB都是锐角．
师：我们用了三种方法来证明△ABC是锐角三角形，现在我们换一个角度来研究这个基本图形另外一个性质．看例2．
例2? 如图2，已知：PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC．PH⊥平面ABC于H．求证：H点是△ABC的垂心．
师：垂心是三角形三边垂线（高线）的交点，要证H是△ABC的垂心，只要证AH⊥BC即可．
生：因为? PA⊥BP，
PA⊥CP，
所以? PA⊥平面PBC．
故? PA⊥BC．
对于平面ABC来说，PH是垂线，
PA是斜线，AH是PA在平面ABC内的射线．
因为? PA⊥BC，所以? AH⊥BC．
同理可证BH⊥AC，CH⊥AB．
故H是△ABC的垂心．
师：由例2的演变可得例3，现在我们来看例3．
例3? 如图3，△ABC中，∠BAC是锐角，PA⊥平面ABC于A，AO⊥平面PBC于O．求证：O不可能是△PBC的垂心．
师：要证明O不可能是△PBC的垂心，用什么方法？
生：用反证法．
师：为什么想到用反证法？
生：因为直接证不好证．
师：对，因为直接来证不好利用条件，而用反证法，假设O是△PBC的垂心，则这样证明的思路就“活了”，就可利用已知条件，现在我们用反证法来证明．
生：假设O是△PBC的垂心，则BO⊥PC．
对平面PBC来说，AO是垂线，AB是斜线，BO是AB在平面PBC内的射影．
因为? BO⊥PC，所以? AB⊥PC．
又因为? PA⊥平面ABC，PA⊥AB，
所以AB⊥平面PAC，AB⊥AC，∠BAC是直角，与已知∠BAC是锐角相矛盾．所以假设不能成立，所以O不可能是△PBC的垂心．
师：分析例3我们可以看出例3是由例2演变而来．也就是说在PA⊥AB，PA⊥ACO是△PBC的垂心条件下一定可以推导出AB⊥AC．是例2的逆命题再加以演变而得．现在我们来看例4．
例4? 如图4，已知：∠AOB在平面α内，∠AOB＝60°，PO是平面α的一条斜线段，∠POA＝∠POB＝45°，PP′⊥平面α于P′，且PP′＝3．求：
（1）PO与平面α所成的角的正弦；
（2）PO的长．
师：我们如何利用上节课所讲的两个基本题来解这题．
生：因∠POA＝∠POB，所以OP′是∠AOB的平分线，∠POP′相当于θ1，θ2＝30°，θ＝45°，由cosθ1·cos30°＝cos
师：在我们脑中如果“储存”许多基本题，那么在我们解有关综合题时，就能“得心应手”．所以在平时我们一定要注意对基本题的理解、掌握，解这题的思路就是一个典型．下面我们来看例5．
（1）直线MN是异面直线A1B和B1D1的公垂线；
（2）若这个正方体的棱长为a，求异面直线A1B和B1D1的距离．
师：我们是在讲三垂线定理及其逆定理应用时讲这个例题的．所以我们想法用三垂线定理或它的逆定理来证明这一题．要用三垂线定理首先要确定对于哪一个平面来用三垂线定理．
生：对于平面A1B1C1D1来用三垂线定理．
师：这时MN是平面A1B1C1D1的斜线，我们如何作平面A1B1C1D1的垂线呢？
生：作MP⊥A1B1于P，又因为D1A1⊥平面A1ABB1，所以A1D1⊥PM，故PM⊥平面A1B1C1D1．
师：对于平面A1B1C1D1来说，MP是垂线，MN是斜线，NP是MN在平面A1B1C1D1上的射影．我们要证MN⊥B1D1，只要证PN⊥B1D1即可．在正方形A1B1C1D1中，我们知道A1C1⊥B1D1，所以现在只要证PN∥A1Q1即可．我们如何利用已知条件来证PN∥A1O1．
＝O1N∶NB1，所以PN∥A1O1，所以PN⊥B1D1，故MN⊥B1D1．同理可证MN⊥A1B，所以MN是异面直线A1B和B1D1的公垂线．
师：已知正方体的棱长为a，在直角三角形MNP中，如何求出MN的长？
师：这是一道很好、很典型的题，它很巧妙、很直接地求出异面直线A1B，B1D1的公垂线及这两异面直线的距离．这一道题我们的先人们是如何想出来的？这一问题我们利用课外活动时间来进行探索．
今天就讲这五个例题，讲这五个例题的目的一是进一步应用三垂线定理及其逆定理，二是应用上节课刚讲过的基本题来解较综合的题．
作业
补充题
1．已知：正方形ABCD的边长为10，O为正方形中心，PO⊥平
2．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，PC⊥△ABC所在平面，D为AB上一点，PA，PD，PB与平面ABC分别成60°，45°，30°的角，求证：D是AB的中点．
3．将正方形ABCD沿对角线BD折起来，使A点在平面BCD的射影O恰好在BD上，又CD的中点为E，求证：AE⊥CD．
〔提示：对于平面BCD来说，AO是垂线，OE是斜线AE在平面上的射影〕
AB＝13，AC＝15，A1B＝5，A1C＝9．试比较∠BAC与∠BA1C的大小．〔提示：用余弦定理可得∠BAC＝∠BA1C〕
5．已知：矩形ABCD所在平面为α，点P∈α，但P BC．作PQ⊥平面α，问：点P在什么位置时，∠QCB分别是（1）直角，（2）锐角，（3）钝角，并加以证明．
〔提示：利用cosθ1·cosθ2＝cosθ公式〕
【点此下载】