第三节三角函数图象与性质
[知识能否忆起]
1．周期函数
(1)周期函数的定义：
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
＋kπ，k∈Z
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
单调性
2kπ(k∈Z)上递增；
2kπ(k∈Z)上递减
[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增；[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减
kπ(k∈Z)上递增
最值
x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称
中心
(kπ，0)(k∈Z)
(k∈Z)
(k∈Z)
对称轴
方程
x＝＋kπ(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
周期
2π
2π
π
[小题能否全取]
1．函数y＝tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D ∵x－≠kπ＋，∴x≠kπ＋，k∈Z.
2．(教材习题改编)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )
A．y＝cos 2x B．y＝sin 2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin
解析：选B 选项A、D中的函数均为偶函数，C中函数的最小正周期为，故选B.
3．函数y＝|sin x|的一个单调增区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 作出函数y＝|sin x|的图象观察可知，函数y＝|sin x|在上递增．
4．比较大小，sin________sin.
解析：因为y＝sin x在上为增函数且－>－，故sin>sin.
答案：>
5．(教材习题改编)y＝2－3cos的最大值为________．此时x＝________.
解析：当cos＝－1时，函数y＝2－3cos取得最大值5，此时x＋＝π＋2kπ，从而x＝π＋2kπ，k∈Z.
答案：5 π＋2kπ，k∈Z
1.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再根据三角函数的单调区间，求出x所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内．
注意区分下列两种形式的函数单调性的不同：
(1)y＝sin；(2)y＝sin.
2．周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域内的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数．如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期．
三角函数的定义域与值域
典题导入
[例1] (1)(2013·湛江调研)函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________．
(2)函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为( )
A．[－1,1] B.
C. D.
[自主解答] (1)要使函数有意义必须有
即
解得(k∈Z)，
∴2kπ0，ω>0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx＋φ看作是一个整体，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)求得函数的增区间，由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)求得函数的减区间．
(2)形如y＝Asin(－ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数，可先利用诱导公式把x的系数变为正数，得到y＝－Asin(ωx－φ)，由－＋2kπ≤ωx－φ≤＋2kπ(k∈Z)得到函数的减区间，由＋2kπ≤ωx－φ≤＋2kπ(k∈Z)得到函数的增区间．
(3)对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)等，函数的单调区间求法与y＝Asin(ωx＋φ)类似．
以题试法
2．(1)函数y＝|tan x|的增区间为________．
(2)已知函数f(x)＝sin x＋cos x，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是( )
A．a0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )
A. B．(0,0)
C. D.
解析：(1)选A 对于选项A，注意到y＝sin＝cos 2x的周期为π，且在上是减函数．
(2)选C 由条件得f(x)＝sin，又函数的最小正周期为1，故＝1，∴a＝2π，故f(x)＝sin.将x＝－代入得函数值为0.
1．函数y＝ 的定义域为( )
A.
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D．R
解析：选C ∵cosx－≥0，得cos x≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
2．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
解析：选D ∵y＝sin＝－cos x，∴T＝2π，在上是增函数，图象关于y轴对称，为偶函数．
3．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象的一条对称轴方程是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
解析：选C 由T＝π＝得ω＝1，所以f(x)＝sin，则f(x)的对称轴为2x－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，所以x＝为f(x)的一条对称轴．
4．(2012·山东高考)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
A．2－ B．0
C．－1 D．－1－
解析：选A 当0≤x≤9时，－≤－≤，－≤sin ≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－，其和为2－.
5．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若f＝－2，则f(x)的一个单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由f＝－2，得f＝－2sin＝－2sin＝－2，所以sin＝1.因为|φ|<π，所以φ＝.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
6．已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )
A. B.
C．2 D．3
解析：选B ∵x∈，则ωx∈，要使函数f(x)在上取得最小值－2，则－ω≤－或ω≥，得ω≥，故ω的最小值为.
7．函数y＝cos的单调减区间为________．
解析：由y＝cos＝cos得
2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
故kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数的单调减区间为(k∈Z)
答案：(k∈Z)
8．已知函数f(x)＝5sin (ωx＋2)满足条件f(x＋3)＋f(x)＝0，则正数ω＝________.
解析：f(x＋3)＋f(x)＝0?f(x＋6)＝f(x)，故f(x)以6为最小正周期，故＝6.又ω>0，∴ω＝.
答案：
9．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为________．
解析：∵y＝cos x的对称中心为(k∈Z)，
∴由2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，得φ＝kπ－(k∈Z)．
∴当k＝2时，|φ|min＝.
答案：
10．设f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(x)的值域及取最大值时x的值．
解：(1)由1－2sin x≥0，根据正弦函数图象知：定义域为
.
(2)∵－1≤sin x≤1，∴－1≤1－2sin x≤3，
∵1－2sin x≥0，∴0≤1－2sin x≤3，
∴f(x)的值域为[0，]，当x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值．
11．已知函数f(x)＝2sin(π－x)cos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)∵f(x)＝2sin(π－x)cos x＝2sin xcos x＝sin 2x，
∴函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵－≤x≤，
∴－≤2x≤π，则－≤sin 2x≤1.
所以f(x)在区间上的最大值为1，最小值为－.
12．(2012·北京高考)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间．
解：(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，
故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
因为f(x)＝
＝2cos x(sin x－cos x)
＝sin 2x－cos 2x－1
＝sin－1，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)函数y＝sin x的单调递增区间为(k∈Z)．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间为和(k∈Z)．
1． (2012·新课标全国卷)已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则 φ＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由于直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π，所以ω＝1，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
又0<φ<π，所以φ＝.
2．函数y＝f(cos x)的定义域为(k∈Z)，则函数y＝f(x)的定义域为________．
解析：由2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
得－≤cos x≤1.
故所求函数的定义域为.
答案：
3． (2012·汕头模拟)已知a>0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间．
解：(1)∵x∈，∴≤2x＋≤π，
∴－≤sin≤1，
又∵a>0，－5≤f(x)≤1，
∴即
(2)f(x)＝－4sin－1，
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ得
－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ得
＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，
单调递减区间为(k∈Z)．
1．(2012·湖南高考)函数f(x)＝sin x－cos的值域为( )
A．[－2,2] B．[－， ]
C．[－1,1] D.
解析：选B 因为f(x)＝sin x－cos x＋sin x＝＝sin，所以函数f(x)的值域为[－， ]．
2．(2012·温州模拟)已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)为偶函数(0<φ<π)，其图象与直线y＝2某两个交点的横坐标分别为x1，x2，若|x2－x1|的最小值为π，则该函数的一个递增区间可以是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由函数为偶函数知φ＝＋kπ(k∈Z)，又因为0<φ<π所以φ＝，从而y＝2cos ωx.又由条件知函数的最小正周期为π，故ω＝2，因此y＝2cos 2x.经验证知A满足条件．
3．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，给出以下四个论断：
①它的最小正周期为π；
②它的图象关于直线x＝成轴对称图形；
③它的图象关于点成中心对称图形；
④在区间上是增函数．
以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．
答案：①②?③④(或①③?②④)
4．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；
(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．
解：∵由f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，∴ω＝2.
∴f(x)＝sin(2x＋φ)．
(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)．
∴sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)，展开整理得sin 2xcos φ＝0，
由已知上式对?x∈R都成立，
∴cos φ＝0，∵0<φ<，∴φ＝.
(2)f(x)的图象过点时，sin＝，即sin＝.
又∵0<φ<，∴<＋φ<π.
∴＋φ＝，φ＝.
∴f(x)＝sin.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的递增区间为，k∈Z.
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