第一节数列的概念与简单表示法
[知识能否忆起]
1．数列的定义、分类与通项公式
(1)数列的定义：
①数列：按照一定顺序排列的一列数．
②数列的项：数列中的每一个数．
(2)数列的分类：
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
an＋1>an
其中
n∈N*
递减数列
an＋10.
4．(教材习题改编)已知数列{an}的通项公式是an＝则a4·a3＝________.
解析：a4·a3＝2×33·(2×3－5)＝54.
答案：54
5．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋，且a2＝，
a4＝，则a8＝________.
解析：由已知得解得
则an＝n＋，故a8＝.
答案：
1.对数列概念的理解
(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．
(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．
2．数列的函数特征
数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．
由数列的前几项求数列的通项公式
典题导入
[例1] (2012·天津南开中学月考)下列公式可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( )
A．an＝1 B．an＝
C．an＝2－ D．an＝
[自主解答] 由an＝2－可得a1＝1，a2＝2，
a3＝1，a4＝2，….
[答案] C
若本例中数列变为：0,1,0,1，…，则{an}的一个通项公式为________．
答案：
an＝
由题悟法
1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．
以题试法
1．写出下面数列的一个通项公式．
(1)3,5,7,9，…；
(2)，，，，，…；
(3)3,33,333,3 333，…；
(4)－1，，－，，－，，….
解：(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.
(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝.
(3)将数列各项改写为，，，，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，….
所以an＝(10n－1)．
(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，
所以an＝(－1)n·，也可写为
an＝
由an与Sn的关系求通项an
典题导入
[例2] 已知数列{an}的前n项和Sn，根据下列条件分别求它们的通项an.
(1)Sn＝2n2＋3n；(2)Sn＝3n＋1.
[自主解答] (1)由题可知，当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋3×1＝5，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1.
当n＝1时，4×1＋1＝5＝a1，故an＝4n＋1.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.
当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，
故an＝
由题悟法
已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：
(1)先利用a1＝S1求出a1；
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．
以题试法
2．(2012·聊城模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，则＝( )
A. B.
C. D．30
解析：选D 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，则a5＝＝.
数列的性质
典题导入
[例3] 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－21n＋20.
(1)n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
(2)n为何值时，该数列的前n项和最小？
[自主解答] (1)因为an＝n2－21n＋20＝2－，可知对称轴方程为n＝＝10.5.又因n∈N*，故n＝10或n＝11时，an有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.
(2)设数列的前n项和最小，则有an≤0，由n2－21n＋20≤0，解得1≤n≤20，故数列{an}从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小．
在本例条件下，设bn＝，则n为何值时，bn取得最小值？并求出最小值．
解：bn＝＝＝n＋－21，
令f(x)＝x＋－21(x>0)，则f′(x)＝1－，由f′(x)＝0解得x＝2或x＝－2(舍)．而4<2<5，故当n≤4时，数列{bn}单调递减；当n≥5时，数列{bn}单调递增．而b4＝4＋－21＝－12，b5＝5＋－21＝－12，所以当n＝4或n＝5时，bn取得最小值，最小值为－12.
由题悟法
1．数列中项的最值的求法
根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数an＝f(n)，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值．
2．前n项和最值的求法
(1)先求出数列的前n项和Sn，根据Sn的表达式求解最值；
(2)根据数列的通项公式，若am≥0，且am＋1<0，则Sm最大；若am≤0，且am＋1>0，则Sm最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.
以题试法
3．(2012·江西七校联考)数列{an}的通项an＝，则数列{an}中的最大值是( )
A．3 B．19
C. D.
解析：选C an＝，由基本不等式得，≤，由于n∈N*，易知当n＝9或10时，an＝最大．
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a2等于( )
A．4 B．2
C．1 D．－2
解析：选A 由题可知Sn＝2(an－1)，
所以S1＝a1＝2(a1－1)，解得a1＝2.
又S2＝a1＋a2＝2(a2－1)，解得a2＝a1＋2＝4.
2．按数列的排列规律猜想数列，－，，－，…的第10项是( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选C 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{an}的通项公式，an＝(－1)n＋1，故a10＝－.
3．数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an＝( )
A．2n－1 B．n2
C. D.
解析：选D 设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，
当n≥2时，an＝＝.
4．已知数列{an}满足a1>0，＝，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．不确定
解析：选B ∵＝<1.又a1>0，则an>0，
∴an＋10，解得n>6或n<1(舍)．
故从第7项起各项都是正数．
11．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn.求数列{an}与{bn}的通项公式．
解：∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋2n)－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n，
当n＝1时，a1＝S1＝4也适合，
∴{an}的通项公式是an＝4n(n∈N*)．
∵Tn＝2－bn，
∴当n＝1时，b1＝2－b1，b1＝1.
当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝(2－bn)－(2－bn－1)，
∴2bn＝bn－1.
∴数列{bn}是公比为，首项为1的等比数列．
∴bn＝n－1.
12．(2012·福州质检)数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝an＋cn(n∈N*，常数c≠0)，且a1，a2，a3成等比数列．
(1)求c的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)由题知，a1＝2，a2＝2＋c，a3＝2＋3c，
因为a1，a2，a3成等比数列，所以(2＋c)2＝2(2＋3c)，
解得c＝0或c＝2，又c≠0，故c＝2.
(2)当n≥2时，由an＋1＝an＋cn得
a2－a1＝c，
a3－a2＝2c，
…
an－an－1＝(n－1)c，
以上各式相加，得an－a1＝[1＋2＋…＋(n－1)]c＝c，
又a1＝2，c＝2，故an＝n2－n＋2(n≥2)，
当n＝1时，上式也成立，
所以数列{an}的通项公式为an＝n2－n＋2(n∈N*)．
1．(2013·嘉兴质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N*)，则a10＝( )
A．64 B．32
C．16 D．8
解析：选B 因为an＋1an＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，两式相除得＝2.又a1a2＝2，a1＝1，所以a2＝2，
则···＝24，即a10＝25.
2．数列{an}中，Sn为{an}的前n项和，n(an＋1－an)＝an(n∈N*)，且a3＝π，则tan S4等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B 法一：由n(an＋1－an)＝an得
nan＋1＝(n＋1)an，
可得3a4＝4a3，已知a3＝π，则a4＝π.
又由2a3＝3a2，得a2＝π，
由a2＝2a1，得a1＝，故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝π，
tan S4＝tanπ＝.
法二：∵由n(an＋1－an)＝an，
得nan＋1＝(n＋1)an即＝，
∴＝＝＝…＝＝.
∴an＝n，
∴S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋2＋3＋4)＝π，tan S4＝tanπ＝.
3．(2012·甘肃模拟)已知数列{an}中，a1＝1，且满足递推关系an＋1＝(n∈N*)．
(1)当m＝1时，求数列{an}的通项公式an；
(2)当n∈N*时，数列{an}满足不等式an＋1≥an恒成立，求m的取值范围．
解：(1)∵m＝1，由an＋1＝(n∈N*)，得
an＋1＝＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴数列{an＋1}是以2为首项，公比也是2的等比数列．
于是an＋1＝2·2n－1，∴an＝2n－1.
(2)∵an＋1≥an，而a1＝1，知an≥1，
∴≥an，即m≥－a－2an，
依题意，有m≥－(an＋1)2＋1恒成立．
∵an≥1，∴m≥－22＋1＝－3，即满足题意的m的取值范围是[－3，＋∞)．
1．下列说法中，正确的是( )
A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列
C．数列的第k项为1＋
D．数列0,2,4,6,8，…可记为{2n}
解析：选C ∵数列的通项公式为an＝＝1＋，∴ak＝1＋.故C正确；由数列的定义可知A、B均错；D应记作{2(n－1)}．
2．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为( )
A．5 B.
C. D.
解析：选B a1＝－a2＝－2，a2＝2，a3＝－2，a4＝2，…，知a2n＝2，a2n－1＝－2，故S21＝10×＋a1＝5＋－2＝.
3．如图关于星星的图案中，第n个图案中星星的个数为an，则数列{an}的一个通项公式是( )
A．an＝n2－n＋1 B．an＝
C．an＝ D．an＝
解析：选C 从图中可观察星星的构成规律，n＝1时，有1个；n＝2时，有3个；n＝3时，有6个；n＝4时，有10个，…
故an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
4．已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝，则其通项公式为________．
解析：两边取倒数，得＝＝2＋，故有－＝2.故数列是首项为＝，公差为2的等差数列，所以＝＋2(n－1)＝，故an＝.
答案：
5．已知数列{an}满足：a1＝1，(n－1)an＝n×2nan－1(n∈N，n≥2)，则数列{an}的通项公式为________．
解析：当n≥2，有(n－1)an＝n×2nan－1，故＝×2n，则有＝×2n－1，＝×2n－2，…，＝×22.上述n－1个式子累乘，得＝×××…×＝n×2n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＝n×2.又因为a1＝1，所以an＝n×2，而当n＝1时，a1＝1×20＝1，也满足上式，故数列{an}的通项公式为an＝n×2.
答案：an＝n×2
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