随机事件的概率
一、基础训练题
1、事件A的概率满足（ ）
A． B．
C． D．
2、气象站在天气预报时说，明天本地区降雨的概率为90%，你认为下列解释正确的是（ ）
A．本地区有90%的地方下雨 B．本地区有90%的时间下雨
C．明天出行不带雨具，一定被淋雨 D．明天出行不带雨具，有90%的可能被淋雨
3、甲、乙两人对局，甲获胜的概率为0.30，两人对成平局的概率为0.25，则甲不输的概率为 ，乙不输的概率为 。
二、知识点讲解
1、随机事件的含义
在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件。
在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件。
在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件。
2、频率与概率
在相同条件S下重复次试验，观察某一事件A是否出现，称次试验中事件A出现的次数，为事件A出现的频数，称事件A出现的次数与试验总次数的比例为事件A出现的频率。
对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某一常数上，把这个常数记作，称为事件A的概率，简称为A的概率。
3、事件的关系及运算
（1）事件B包含事件A：如果事件A发生则事件B一定发生，这时称事B包含事件A（或事件A包含于事件B），记作，不可能事件记作，任何事件包含不可能事件。
（2）两个事件相等：如果事件C发生，那么事件D一定发生，反过来也成立，这时我们说这两个事件相等，记作。一般地，若，那么称事件A与事件B相等，记作
（3）事件A与事件B的并事件（或和事件）：若某事件发生，当且仅当事件A发生或者事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作。
（4）事件A与事件B发生的交事件（或积事件）：若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作。
（5）互斥事件：若事件为不可能事件（即），那么称事件A与事件B互斥。其含义是：事件A与事件B在一次试验中不会同时发生。
（6）对立事件：若为不可能事件，为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件。其含义是：事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生。
4、概率的基本性质
（1）事件A发生的概率的范围：；
（2）必然事件的概率为1；
（3）不可能事件的概率为0；
（4）概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则
三、典型例题解析
例1、某篮球运动员在最近几场比赛中罚球投篮的结果如下表：
投篮次数
8
10
12
9
10
16
进球次数
6
8
9
7
7
12
进球频率
计算表中进球的频率（保留到小数点后两位）
这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？
例2、一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数
5544
9607
13520
17190
男婴数
2883
4970
6994
8892
男婴出生频率
填写上表中的男婴出生频率（结果保留到小数点后三位）；
这一地区男婴出生的概率约是多少
四、巩固与提高
1、如果事件A、B互斥，那么（ ）
A．是必然事件 B．是必然事件
C． D．
2、一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
3、抽查10件产品，设，则=（ ）
A． B．
C． D．
4、某种彩色电视机的一等品率为90%，二等品率为8%，次品率为2%，某人买了一台该种彩色电视机，求：
（1）这台电视机是正品（一等品或二等品）的概率；
（2）这台电视机不是一等品的概率。
古典概型
一、基础训练题
1、高二（5）班有4个学习小组，从中抽两个组进行作业检查，在这个试验中，基本事件的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2、掷两枚均匀硬币，出现一个正面一个反面的概率
二、知识点讲解
1、古典概型的定义
若一个随机试验满足：
（1）所有可能结果只有有限个；
（2）每个可能结果出现的可能性相等（等可能性）
则称此概率模型为古典概型。
2、古典概型的概率计算
若试验只有个等可能结果（基本事件总数），其中事件A包含的基本事件数为K，则事件A出现的概率为：
注：基本事件的特点：（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。
每个基本事件出现的概率是：
三、典型例题解析
例1、一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球
（1）共有多少个基本事件？
（2）摸出的两只球都是白球的概率是多少？
例2、豌豆的高矮性态的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D，决定矮的基因记为d，设第一子代的一对基因为Dd，若第二子代的D、d基因的遗传是等可能的，求第二子代为高茎的概率（只要有基因D，则其就是高茎，只有两上基因全是d时，才显现矮茎）。
例3、用三种不同颜色给三个矩形随机涂色，每个矩形涂只一种颜色，求：（1）3个矩形颜色都相同的概率；（2）3个矩形颜色都不相同的概率
四、巩固与提高
1、掷一颗骰子，出现点数是1或3的概率是
2、将一枚质地均匀的硬币连掷4次，出现“2次正面朝上，2次反面朝上”的概率是
3、现有语文、数学、英语、历史、政治和物理共6本书，从中任取一本，取出的是文科书的概率是
4、从甲、乙、丙、丁四人中选两名代表，甲被选中的概率是
5、掷两枚骰子，出现点数之和等于8的概率是 。
几何题型
一、基础训练题
1、某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，假定电台每小时报时一次，则他等待的时间短于10min的概率为
2、向边长2的正方形内投飞镖，求买镖落在中央边长为1的正方形的概率为
3、在400ml自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为
二、知识点讲解
1、几何概型
（1）如右图，线段AB在线段CD内，现随机地向线段CD上掷一点M，假设是M点必落在CD上，且落在CD上的任何位置机会相等，从而点M落在AB上的概率与AB在CD的位置无关，与AB和CD的长度比成比例，具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型。
（2）设在空间上有一区域G，又区域g包含在
区域G内（如右图），而区域G与g都是可以度量
的（可求面积或体积），现随机地向G投掷一点M，
假设点M必落在G中，且落在G中任何位置机会相等，则点M落在区域g内的概率与g的位置和形状无关，只与g和G的度量（面积或体积）的比成比例，具有这种性质的随机试验（掷点）称为几何概型。
2、几何概型的概率计算
P（A）=
3、随机模拟方法（此处用均匀随机数）
三、典型例题解析
例1、在，在线段
AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长
的概率。
例2、如图所示，在墙上挂着一块边长为16cm的
正方形木板，上面画了大小两个同心圆，半径分
别为2cm、4cm，某人站在5m之外向此板投镖，
设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：
（1）投中大圆内的概率是多少？
（2）投中小圆与大圆形成的圆环的概率是多少？
（3）投中大圆之外的概率是多少？
例3、在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 ml，含有麦锈病种子的概率是多少？
四、巩固与提高
1、在区间上任取一数，则这个数大于或等于1.5的概率为
2、在面积为S的的边AB上任取一点P，则的面积大于的概率是
3、在区间上任取两数，组成有序数对，记事件A为
“”，则P（A）=
4、在长为10cm线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则正方形的面积介于36cm2与81 cm2之间的概率是
5、在两根相距6米的木杆上系一根绳子，并在绳子上接一盏灯，则灯与两端的距离都大于2米的概率是
6、在直角坐标系内，射线OT落在600角的经边上，任作一条射线OA，求射线OA落在内的概率。
7、从（0，1）中随机地取两个数，求下列情况下的概率
（1）两数之和小于1.2;
（2）两数平方和小于
数据的搜集
一、基础训练题
1、为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析。在这个问题中，5000名学生成绩的全体是
A．总体 B．个体 C．从总体中抽取的一个样本 D．样本的容量
2、某影院有50排座位，每排有60个座号，一次报告会坐满了听众，会后留下座号为18的所有听众50人进行座谈，这是运用了 抽样。
3、现有大花龟56只，金钱龟42只，从中用分层抽样的方法抽取一个容量为14的样本，则大花龟应抽取 只。
二、知识点讲解
（一）基本概念
1、总体：在统计中，我们把所要考察的对象的全体叫总体。
2、个体：总体中每一个考察对象叫个体。
3、样本：从总体中所抽取的一部分个体叫总体的一个样本。
4、样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。
5、普查：收集总体中每个个体的数据。
6、抽样调查：从总体中收集部分个体的数据
（二）抽样方法
1、简单随机抽样的含义
2、系统抽样的含义
3、分层抽样的含义
三、典型例题解析
例1、假设要从100名学生中随机抽取15人参加一项科技活动，请分别用抽签法和随机数法抽出人选，写出抽取过程。
例2、某工厂有1003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样进行具体实施。
四、巩固与提高
1、在简单随机抽样中，某一个体A被抽中的可能性。
（A）与第几次抽样有关，第一次抽中的可能性要大些；
（B）与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等；
（C）与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些；
（D）与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不一样。
2、有40件产品，编号从1至40，现在从中抽取4件检验，用系统抽样方法确定所抽的编号为（ ）
A．5，10，15，20 B．2，12，22，32
C．2，14，26，38 D．5，8，31，36
3、在抽样过程中，每次抽取的个体不再放回总体的为不放回抽样，那么分层抽样、系统抽样、简单随机抽样三种抽样中，为不放回抽样的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4、某学校共有初中生900人，其中初一学生300人，初二学生200人，初三学生400人，现采用分层抽样的方法抽取容量为45的样本，那么初一、初二、初三各年级抽取的人数分别为（ ）
A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20
5、从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（ ）
A．不全相等 B．均不相等 C．都相等 D．无法确定
6、某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽取一个容量为 的样本，样本中A 种型号产品有16件，那么此样本容量
数字特征
基础训练题
我校篮球队12名队名员的年龄情况如下表：
年龄（单位：岁）
18
19
20
21
22
人数
1
4
3
2
2
这几名队员年龄的众数是
这几名队员年龄的中位数是
这几名队员年龄的平均数是
2、一组数据：9.5,9.8,9.9,9.5,9.7,9.8,则这组数据的平均数 ，众数 ，中位数 。
3、已知一个样本1，3，2，5，，它的平均数是3，则这个样本的标准差是 。
二、知识点讲解
（一）反映数据集中趋势的特征数
1、平均数⑴…，的平均数
2、中位数：将一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置上的数据叫做这组数据的中位数。如果数据的个数为偶数，中位数就是处在中间位置上两个数据的平均数。
3、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。一组数据的众数可能不止一个。
4、众数、中位数和平均数都可以作为一组数据的代表数用来表示一组数据的水平
（二）反映数据波动大小的特征数
1、方差：
⑴的方差
⑵
2、标准差：
方差的算术平方根叫做标准差。
三、典型例是题解析
例1、某单位为了研究某高速公路入口的汽车流量问题，某天上午，他们在该入口处，每隔相等的时间，对3分钟内通过的汽车的数量作一次统计，得到如下数据：
记录的次数
第一
第二
第三
第四
第五
第六
第七
第八
3分钟内通过的汽车数量
49
50
64
58
53
56
55
47
⑴求：平均每3分钟通过汽车多少辆；
⑵试估计：这天上午，该入口平均每小时，通过多少辆汽车。
四、巩固与提高
1、甲、乙两名运动员在6次百米跑训练中的成绩如下表：（单位：秒）
甲
10.8
10.9
11.0
10.7
11.2
10.8
乙
10.9
10.9
10.8
10.8
10.5
10.9
请你比较这两组数据中的众数、平均数、中位数。
高三新数学第一轮复习单元测试（10）— 概率与统计
一、选择题：
1．（理）设，则的展开式中的系数不可能是 （ ）
A．10 B．40 C．50 D．80
（文）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是 （ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
2．（理）四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为 （ ）
A．96 B．48 C．24 D．0
（文）．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为 （ ）
A． B． C． D．
3．在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（理）抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这些试验成功，则在10次试验中，成功次数ξ的期望是 （ ）
A． B． C． D．
5．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于 （ ）A． B． C． D．
二、填空题。
7．（理）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种。
（文）某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 分.
8．（理）一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是 。
（文）甲、乙、丙、丁四位同学去书店购买编号为１，２，３，４，…，１０的１０本不同的书，为节约起见，他们约定每人只购买其中５本，再互相传阅，如果任两人均不能买全这１０本书，任３人均能买全这１０本书，其中甲购买数的号码是１，２，３，４，５，乙购买书的号码事５，６，７，８，９，丙购买书的号码是１，２，３，９，１０时，尉缭满足上述要求，丁应买的书的号码是 ．
三、解答题：
9．（12分）（理）袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数.
（I）求袋中所有的白球的个数；（II）求随机变量的概率分布；（III）求甲取到白球的概率.
（文）每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字
（I）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率 （II）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；（III）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。
10．有7个大小相同的球，其中有2个2号球，2个4号球，1，3，5号球各一个，从中任取三个球，表示3个球中球号最大的球的号数。
求=4的概率。（2）求的分布列及期望。
参考答案（10）
一、选择题
1．（理）C（文）C；2．（理）B（文）D；3．B；4．D；5．C；6．A；7．（理）D（文）A；二、填空题
13．（理）600（文）85；14．（理）（文）三、解答题9．解:（理）(I)设袋中原有个白球,由题意知
可得或(舍去)即袋中原有3个白球.
（II）由题意,的可能取值为1,2,3,4,5
所以的分布列为:
1
2
3
4
5
（III）因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件,则
（文）（I）设A表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则答：抛掷2次，向上的数不同的概率为
（II）设B表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”。
向上的数之和为6的结果有、、、、 5种，
答：抛掷2次，向上的数之和为6的概率为
（III）设C表示事件“抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次”，即在5次独立重复试验中，事件“向上的数为奇数”恰好出现3次，。
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