数系的扩充与复数的引入
[知识能否忆起]
一、复数的有关概念
1．复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a＋bi为纯虚数．
2．复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．
3．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＋d＝0(a，b，c，d∈R)．
4．复数的模：向量OZ―→的长度叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
二、复数的几何意义
复数z＝a＋bi―→复平面内的点Z(a，b)―→平面向量 .
三、复数的运算
1．复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：＝＝
＝(c＋di≠0)．
2．复数加法、乘法的运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)；z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)已知a∈R，i为虚数单位，若(1－2i)(a＋i)为纯虚数，则a的值等于( )
A．－6 B．－2
C．2 D．6
解析：选B 由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数，得由此解得a＝－2.
2．(2011·湖南高考)若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－1
解析：选D 由(a＋i)i＝b＋i，得－1＋ai＝b＋i，根据两复数相等的充要条件得a＝1，b＝－1.
3．(2012·天津高考)i是虚数单位，复数＝( )
A．1－i B．－1＋i
C．1＋i D．－1－i
解析：选C ＝＝＝＝1＋i.
4．若复数z满足＝2i，则z对应的点位于第________象限．
解析：z＝2i(1＋i)＝－2＋2i，因此z对应的点为(－2,2)，在第二象限内．
答案：二
5．若复数z满足z＋i＝，则|z|＝________.
解析：因为z＝－i＝1－3i－i＝1－4i，则|z|＝.
答案：
1.复数的几何意义
除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意
(1)|z|＝|z－0|＝a(a>0)表示复数z对应的点到原点的距离为a；
(2)|z－z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
2．复数中的解题策略
(1)证明复数是实数的策略：①z＝a＋bi∈R?b＝0(a，b∈R)；②z∈R?z＝.
(2)证明复数是纯虚数的策略：①z＝a＋bi为纯虚数?a＝0，b≠0(a，b∈R)；
②b≠0时，z－＝2bi为纯虚数；③z是纯虚数?z＋＝0且z≠0.
复数的有关概念
典题导入
[例1] (1)(2012·陕西高考)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2012·郑州质检)如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于( )
A．－ B.
C. D．2
[自主解答] (1)若复数a＋＝a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0，ab＝0；而ab＝0时a＝0或b＝0，a＋不一定是纯虚数，故“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
(2)＝＝，
依题意有2－2b＝4＋b，解得b＝－.
[答案] (1)B (2)A
由题悟法
处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z＝a＋bi(a，b∈R)由它的实部与虚部唯一确定，故复数z与点Z(a，b)相对应．
以题试法
1．(2012·东北模拟)已知＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为( )
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
解析：选D 依题意得x＝(1＋i)(1－yi)＝(1＋y)＋(1－y)i；又x，y∈R，于是有解得x＝2，y＝1.
x＋yi＝2＋i，因此x＋yi的共轭复数是2－i.
复数的几何意义
典题导入
[例2] (2012·山西四校联考)已知复数z的实部为－1，虚部为2，则(i为虚部单位)在复平面内对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[自主解答] 选C 依题意得＝＝＝，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是，位于第三象限．
由题悟法
复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．
以题试法
2．(1)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
(2)(2012·连云港模拟)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．
解析：(1)复数6＋5i对应的点为A(6,5)，复数－2＋3i对应的点为B(－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2,4)，故点C对应的复数为2＋4i.
(2)由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，＝(1，－1)，
根据＝λ＋μ得
(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，
∴解得
∴λ＋μ＝1.
答案：(1)C (2)1
复数的代数运算
典题导入
[例3] (1)(2012·山东高考)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为( )
A．3＋5i B．3－5i
C．－3＋5i D．－3－5i
(2)(2011·重庆高考)复数＝( )
A．－－i B．－＋i
C.－i D.＋i
[自主解答] (1)z＝＝＝＝3＋5i.
(2)＝＝
＝＝＝－i.
[答案] (1)A (2)C
由题悟法
1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．
2．记住以下结论，可提高运算速度：
①(1±i)2＝±2i；②＝i；③＝－i；④＝b－ai；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
以题试法
3．(1)(2012·山西四校联考)设复数z的共轭复数为，若z＝1－i(i为虚数单位)，则＋z2的值为( )
A．－3i B．－2i
C．i D．－i
(2)i为虚数单位，4＝________.
解析：(1)依题意得＋z2＝＋(1－i)2＝－2i＝i－2i＝－i.
(2)4＝4＝i4＝1.
答案：(1)D (2)1
1．(2012·江西高考)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为( )
A．0 B．－1
C．1 D．－2
解析：选A ∵z＝1＋i，∴＝1－i，∴z2＋2＝(z＋)2－2z＝4－4＝0，∴z2＋2的虚部为0.
2．(2012·北京高考)在复平面内，复数对应的点的坐标为( )
A．(1,3) B．(3,1)
C．(－1,3) D．(3，－1)
解析：选A 由＝＝＝1＋3i得，该复数对应的点为(1,3)．
3．(2012·长春调研)若复数(a＋i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是( )
A．1 B．－1
C. D．－
解析：选B 因为复数(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a2－1,2a)，又因为该点在y轴负半轴上，所以有解得a＝－1.
4．(2013·萍乡模拟)复数等于( )
A. B．－
C.i D．－i
解析：选B ＝＝＝－.
5．(2012·河南三市调研)已知i为虚数单位，复数z＝，则|z|＋＝( )
A．i B．1－i
C．1＋i D．－i
解析：选B 由已知得z＝＝＝＝i，|z|＋＝|i|＋＝1－i.
6．(2012·安徽名校模拟)设复数z的共轭复数为，若(2＋i)z＝3－i，则z·的值为( )
A．1 B．2
C. D．4
解析：选B 设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入(2＋i)z＝3－i，得(2a－b)＋(2b＋a)i＝3－i，从而可得a＝1，b＝－1，那么z·＝(1－i)(1＋i)＝2.
7．(2013·长沙模拟)已知集合M＝，i是虚数单位，Z为整数集，则集合Z∩M中的元素个数是( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
解析：选B 由已知得M＝{i，－1，－i,2}，Z为整数集，∴Z∩M＝{－1,2}，即集合Z∩M中有2个元素．
8．定义：若z2＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则称复数z是复数a＋bi的平方根．根据定义，则复数－3＋4i的平方根是( )
A．1－2i或－1＋2i B．1＋2i或－1－2i
C．－7－24i D．7＋24i
解析：选B 设(x＋yi)2＝－3＋4i(x，y∈R)，则
解得或
9．在复平面内，复数1＋i与－1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝________.
解析：由题意知A(1,1)，B(－1,3)，
故||＝＝2.
答案：2
10．已知复数z＝1－i，则＝________.
解析：＝＝z－1－＝(－i)－＝－i－＝－2i.
答案：－2i
11．设复数z满足|z|＝5且(3＋4i)z是纯虚数，则＝________.
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则有＝5.
于是(3＋4i)z＝(3a－4b)＋(4a＋3b)i.
由题设得得b＝a代入得a2＋2＝25，a＝±4，∴或
∴＝4－3i或＝－4＋3i.
答案：±(4－3i)
12.＝________.
解析：＝＝－1－3i.
答案：－1－3i
13．(2011·上海高考改编)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.
解析：(z1－2)(1＋i)＝1－i?z1＝2－i.
设z2＝a＋2i，a∈R.
则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)
＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.
答案：4＋2i
14．若复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则的虚部为________．
解析：由题意得所以a＝1，所以＝＝＝－i，根据虚部的概念，可得的虚部为－.
答案：－
1．(2012·山东日照一模)在复数集C上的函数f(x)满足f(x)＝则f(1＋i)等于( )
A．2＋i B．－2
C．0 D．2
解析：选D ∵1＋i?R，∴f(1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2.
2．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(1－2i)(a＋i)在复平面内对应的点为M，则“a>”是“点M在第四象限”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C z＝(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i，若其对应的点在第四象限，则a＋2>0，且1－2a<0，解得a>.即“a>”是“点M在第四象限”的充要条件．
3．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝，则的最大值为________．
解析：|z－2|＝＝，
∴(x－2)2＋y2＝3.
由图可知max＝＝.
答案：
4．复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i，与复数12＋16i互为共轭复数，则实数m＝________.
解析：根据共轭复数的定义得
解之得m＝1.
答案：1
5．已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.
∵＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i.
由题意得x＝4，∴z＝4－2i.
∴(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i.
由于(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，
∴解得2(否则，若α＋β≤，则有0<β<α＋β≤，00，ω>0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为，.
(1)求A和ω的值；
(2)已知α∈，且sin α＝，求f(α)的值．
解：(1)∵函数f(x)在某一周期内的图象的最高坐标为，
∴A＝2，得函数f(x)的周期T＝2＝π，
∴ω＝＝2.
(2)由(1)知f(x)＝2sin.
∵α∈，且sin α＝，
∴cos α＝＝，
∴sin 2α＝2sin αcos α＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝－.
∴f(α)＝2sin＝2
＝2＝.
18．(本小题满分12分)(2012·天津高考)已知函数f(x)＝sin＋sin＋2cos2x－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)＝sin 2x·cos ＋cos 2x·sin ＋sin 2x·cos－cos 2x·sin ＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，又f＝－1，f＝，f＝1，故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.
19．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C.
(1)求角B的大小；
(2)设m＝(sin A，cos 2A)，n＝(4k,1)(k>1)，且m·n的最大值是5，求k的值．
解：(1)因为(2a－c)cos B＝bcos C，所以在△ABC中，由正弦定理，得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
所以2sin Acos B＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
即2sin Acos B＝sin A.
又在△ABC中，sin A>0，B∈(0，π)，所以cos B＝.所以B＝.
(2)因为m＝(sin A，cos 2A)，n＝(4k,1)(k>1)，
所以m·n＝4ksin A＋cos 2A＝－2sin2A＋4ksin A＋1，
即m·n＝－2(sin A－k)2＋2k2＋1.
又B＝，所以A∈.所以sin A∈(0,1]．
所以当sin A＝1时，m·n的最大值为4k－1.
又m·n的最大值是5，所以4k－1＝5.所以k＝.
20．(本小题满分12分)已知复数z1＝sin 2x＋ti，z2＝m＋(m－cos 2x)i(i为虚数单位，t，m，x∈R)，且z1＝z2.
(1)若t＝0且0
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