数学：“两角差的余弦公式”教学设计
浙江省台州第一中学 胡小莉 浙江省台州市教育局教研室 李昌官
一、教学内容解析
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三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇点上，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材．两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，公式的发现和证明是本节课的重点，也是难点．
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由于和与差内在的联系性与统一性，我们可以在获得其中一个公式的基础上，通过角的变换得到另一个公式．我们可以用“随机、自然进入”的方式选择其中的一个作为突破口．教材选择两角差的余弦公式作为基础，其基本出发点是使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力．
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教材没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果．这样的安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、思维发展．
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由于本节课可以从不同的角度提出不同的问题，并且可以用不同的途径与方法解决问题，因此本节课为学生的思维发展提供了很好的空间和平台，教师要注意引导学生用观察、联想、对比、化归等方法分析、处理问题，寻找解决问题的思路．
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二、教学目标解析
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1．掌握两角差的余弦公式，并能简单运用这个公式求解教材上的练习和习题．
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2．全体学生能理解“探求结果，证明结果”这一常用的探究的步骤；多数学生能在两角差余弦公式的探究过程中体会以退求进、割补思想、分类讨论、观察联想等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性．
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3．能理解怎样运用向量解决问题，充分认识和感受向量的工具价值；课堂上能乐于思考和主动探究，并有愉悦的情感体验．
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三、教学问题诊断分析
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1．按常规，学生很可能想到先探究两角和的正弦公式，怎样想到先研究两角差的余弦公式是一个难点(但非重点)，教学时可以直接提出研究两角差的余弦公式，但这样探究会显得预设太多，而生成不足，也不够自然，不利于学生思维的发展．
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2．两角和正弦余弦公式的猜想与发现也是一个难点．因为学生可能不明白为什么要添辅助线和如何添辅助线，也不会想到用“割补法”求正弦线、余弦线．
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3．尽管教材在前面的习题中，已经为用向量法证明两角差的余弦公式做了铺垫，但多数学生仍难以想到．教师需要在引导学生仔细观察cos(+）=coscos－sinsin或cos(－）=coscos+sinsin的构成要素和结构特征的基础上，联想到单位圆上点的坐标特点和向量的数量积公式，努力使数学思维显得自然、合理．
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4．用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误，教学时需要引导学生搞清楚两角差与相应向量的夹角的联系与区别．
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四、教学支持条件分析?
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1．学生认知基础：学生对用举反例推翻猜想、以退求进、单位圆、割补法、用向量解决三角问题已经有一定的基础，但还远未达到综合运用这些方法自主探究和证明两角差余弦公式的水平．
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2．教学设备：整节课借助多媒体进行辅助教学，但关键的探究过程和推理过程要借助黑板．在当、、+都是锐角时得到两角和的正弦、余弦公式后，设计多媒体软件取任意角进行验证．
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五、教学过程设计
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(一)提出问题??????
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问题1：观察诱导公式，，，．我们会发现：当角变成+或者+时，其正弦、余弦的三角函数值都与角的正弦、余弦有关，那大家有没有想过当角变成或者+时，其正弦、余弦与、的正弦、余弦又有怎样的联系呢？
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?[设计意图]引导学生从联系的角度与变换的角度自然地提出接近研究水平的问题，增强学生的问题意识．不直接提出先研究cos(-)，是为了使探究更真实、更自然；不用教材上的实际问题情境而改为开门见山直奔主题，是为了不让学生在情境的理解上花过多的时间，同时离本节课的主题更近．
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(二)探究问题
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1．明确探究的思路与步骤
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问题2：我们应该用怎样的思路和方法进行探究？
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学生可能会说：把探究分为两个步骤，一是探求表示结果；二是对结果的正确性加以证明．
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[设计意图]引导学生搞清楚探究的大背景、大思路，学会从宏观到微观、理性地、有条理地思考和探究问题，避免盲目性．
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2．猜想结果
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问题3：同学们第一反应这个结果可能是什么？
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如果有学生提出sin(+)=sin+sin，cos(+)=cos+cos，则引导学生取特殊值进行验证，同时分析错误的原因：正弦、余弦函数名与角之间并不是相乘关系，因此类比乘法分配律在思维方法上是错误的．
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[设计意图]让学生体验如何用反例进行反驳，同时搞清错误的原因，避免以后犯类似的错误．
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问题4：对这个问题，老师也曾猜想， ,其中都是常数．但最后发现都不成立．那我们该怎么办呢？
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引导学生以退求进，先讨论、、+都是锐角的情况．
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[设计意图]进一步强化学生的猜想与探究意识，同时让学生感受或学会思维受阻时如何“拐弯”．
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问题5：当、、+都是锐角时，我们又该怎么办？
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引导学生在直角三角形或单位圆中构造这些角进行讨论．
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问题6：怎样用、的三角函数来表示sin(+)，cos(+)?
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引导学生构造如下直角三角形，并用割、补的方法得到
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sin(+)==sincos+cossin，
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cos(+)==coscos－sinsin．
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?[设计意图]让学生感受如何化陌生问题为熟悉问题，如何通过作辅助线，用“割补法”寻找量与量之间的联系．
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问题7：那上面两个式子是否对任意角、都成立呢？
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引导学生再用非锐角的特殊角或任意角进行验证，而教师借助事先设计的多媒体软件，由学生提出任意角进行验证．
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3．证明结果
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问题8：数学是严谨的，数学结论必须经过严格的逻辑证明．现在初步结果已经出来，目标和方向已经明确．请大家仔细观察上面两式的构成要素和结构特征，看看从中会得到什么样的启发？产生怎样的联想？或有什么新的发现？
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[设计意图] 让学生通过观察，联想到,终边与单位圆的交点分别为A(cos,sin),B(cos,sin),同时发现的右边与向量数量积公式的坐标表示十分相近，进而联想到=
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．这样有助于强化“为什么想到”和“怎样想到”，凸显数学思维的自然性与合理性，并突破思维难点，同时再现“有心栽花花不开，无心插柳柳成荫”这种真实的探究过程．
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问题9：如何证明？
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[设计意图]引导学生关注两个向量的夹角与是的联系与区别，并通过观察和讨论搞清楚，增强学生用数形结合、分类讨论的方法解决问题的意识，感受数学思维的严谨性．
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问题10：时间关系，我们把两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式的证明与探究留给大家课外去完成．刚才我们经历了完整、曲折的探索过程，回顾来看，大家有什么启发和感悟？教材为什么要先提出求cos(-)？
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[设计意图]引导学生从探究思路、数学思想方法、所用到的数学知识等方面进行回顾与反思，强化学生的思维发展，突出向量的工具价值．
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问题11：两角差的余弦公式有什么特点：
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引导学生总结公式的特点：左边是两角差的余弦，右边同名三角函数的积的和．
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(三)巩固应用
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例1 利用差角余弦公式求cos15°的值．
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引导学生用15°=45°-30°，和15°=60°-45°两种方法求解．
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[巩固练习]求值：
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(1)cos15°cos105°+sin15°sin105°=???????? ．
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(2)cos(+21°)cos(-24°)+sin(+21°)sin(-24°)=???????? ．
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例2 已知是第三象限角，求cos(-)的值．
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[设计说明]如果学生基础比较好，这两个例题可以让学生独立完成．同时在完成例2后提出，如果去掉这一条件，又该怎么办？
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(四)回顾小结
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1．学生小结：
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引导学生从学到了什么知识、怎么获得这些知识和有什么感悟与体会三方面进行小结．
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2．教师小结：
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(1)本节课所走过的路：
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(2)两位数学大家的名言很好地概括了本节课的探究思路与学习感悟：
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G·波利亚：“在你证明一个数学定理之前，你必须猜想到这个定理；在你搞清证明细节之前，你必须猜想出证明的主导思想．”
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高斯所说：“一个人在无结果地深思一个真理后能够用迂回的方法证明它，并且最后找到了它的最简明而又最自然的证法，那是极其令人高兴的．”“假如别人和我一样深刻和持续地思考数学真理，他会作出同样的发现．”衷心祝愿大家通过数学学习变得更加聪明、更加富有创造力．
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[设计意图]让学生对探究的过程与思路、方法有一个清晰的认识，进一步达到“教思维”的目的．
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(五)课外作业：
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1．教材习题第2，3，4题中试根据自己的情况选做2题．
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2．试自主探究公式，并加以证明．
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3．(选做题)课本P138页习题B组第4题．
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