离散型随机变量的均值
一、教学背景：
1．教材地位分析：
均值是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习均值将为今后学习概率统计知识做铺垫．同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用．在高考中涉及到的问题背景有：产品检验、取卡片、射击、投篮、选题、摸球、信息、路线等问题。 从近几年高考试题看，离散型随机变量的均值问题为主要考点，属于基础题或中档题的层面，对于普通高中的普通班学生是要尽量拿满分的．
2．学生现实分析：
本节课面向的是普通班学生，基础较为薄弱，学生对前面的离散型随机变量及其分布列，二项分布及其应用等知识有一定的理解，同时也具备一定的从特殊到一般的归纳能力，但对归纳的概念是模糊的，而且学生自主探究、总结归纳问题的能力还不够理想，把实际问题抽象成数学问题的能力也有所欠缺，需要在老师的引导下进行学习．
二、教学重点、难点：
1．重点：离散型随机变量均值的概念、实际含义及其线性性质．
2．难点：离散型随机变量均值及线性性质的实际应用．
三、教学目标：
1．[知识与技能目标] 通过实例，让学生理解离散型随机变量均值的概念及线性性质，了解其实际含义．会计算简单的离散型随机变量的均值，并解决一些实际问题．
2．[过程与方法目标]经历概念的建构这一过程，让学生进一步体会从特殊到一般的思想，培养学生归纳、概括等合情推理能力．通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力并发展学生的数学应用意识．
3．[情感与态度目标]通过创设情境激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境．
四、教学方法：
1．教法选择：采用“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”——科研式教学模式，主要运用启发式、探究式教学方法，以启发、引导为主，采用设疑的方式逐步让学生进行探究式学习．.
2．学法指导：“学之道在于悟，教之道在于度．”学生是学习的主体，在整个教学过程中将充分发挥学生的主体性．通过创设情境，让学生经历分析、思考、归纳的过程，建构新的知识，再通过对比、应用，使构建的知识体系更完善，进一步提高学生的分析问题、解决问题的能力．而在这一过程中，师生交流、生生交流，从而形成民主、和谐、互动的气氛．
五、教学的基本流程设计及过程：
（一）、问题情境、分析探索（5分钟）
教学环节
教学过程
设计意图
问题情境
春节将至，羊村到处张灯结彩，洋溢着喜庆的氛围．喜羊羊为了满足节日需求开了家《喜羊羊糖果店》，店里的糖果五彩缤纷漂亮极了．这时美羊羊走进糖果店，她指着A、B、C三种颜色各异、单价分别为18 、24、36 （糖果中每一颗糖果的质量都相等）的3种糖果说：能将这三种糖果混合买吗？喜羊羊按3：2：1的比例混合后，如何对混合糖果定价才合理？喜羊羊迷惑了~~~
问题所涉及的是学生生活中常见的一种商业现象，采用卡通形象作背景，可激发学生的兴趣和求知欲望，同时这样的问题培养了学生用数学解决生活问题的思维方式，学会用数学的视野关注身边的数学．
分
析
探
索
设问1：羊村长提议对混合糖果定价为大家觉得可以吗？ 若不可以你觉得应该怎样定价？为什么？
分析：不可以，因为各种糖果所占的比例不同．应该定价为： ．
它是三种糖果价格的一种加权平均,这里的权数分别是
引导让学生思考权数和加权平均的概念．
教师启发学生思考、讨论得出：权数就是从混合糖果中任取一颗糖果，取到每种糖果的概率．
设问2：假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记为这颗糖果的单价（）你能写出的分布列吗？
分析：随机变量的可能取值为：18、24、36，而
所以的分布列为：
每千克混合糖果的合理价格可以表示为：
归纳：每千克混合糖果的定价公式：取值乘以取该值的概率之和，这就是混合糖果的合理价格，也就是在混合糖果中，任取一颗糖果，它的每千克的价格的平均值．
进一步巩固分布列的相关的知识，为回答下一个问题作铺垫．
教师引导学生写出的分布列，由学生归纳出每千克混合糖果的定价公式: 取值乘以取该值的概率之和．
设问3：美羊羊买了1kg这种混合糖果，她要付多少钱？而她买的糖果的实际价值刚好是23元吗？
分析： 美羊羊要付23元，她买的糖果的实际价格不一定是23元，必须根据所买的1kg混合糖果中各种糖果所占的比例而定．
归纳：这里每买1kg这种混合糖果实际价格即为样本平均值，是随着样本的不同而变化的，而23这一价格为随机变量的均值，是常数．
使学生理解样本平均值与随机变量均值的联系与区别．这里每买1kg这种混合糖果实际价格即为该样本平均值，是随着样本的不同而变化的，而23这一价格为随机变量的均值，是常数．
（二）、概念建构、初步理解（8分钟）
概
念
构
建
1、离散型随机变量均值的定义
一般地,若离散型随机变量X的概率分布为
X
…
…
…
…
则称
为随机变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
用文字语言描述抽象的数学公式即：离散型随机变量的均值即为随机变量取值与相应概率分别相乘后相加．
从以上分析，由学生归纳出离散型随机变量均值的定义．归纳是一种重要的推理方法，由具体结论归纳概括出定义能使学生的感性认识升华到理性认识，培养学生从特殊到一般的认知方法．用文字语言描述抽象的数学公式，可加深对公式的理解．
初
步
理
解
练习一：
1、离散型随机变量的概率分布列为：
1
100
0.01
0.99
求可能取值的算术平均数．
（2）求的均值．
解：
解：
结论：
①、随机变量相应数值的算术平均数并不能真正体现的均值．因为取值100的概率比取值1的概率大得多．
②、随机变量取值的算术平均数即为当的概率等于的概率时的均值．
2、喜羊羊知道了A、B、C三种糖果的单价分别为18 、24、36 ，混合糖果的价格为23，并且知道A糖果占的比例为，求B、C糖果所占的比例．
分析：记为这颗糖果的单价（），所求的问题转化为已知的分布列为：
P
,则=_________ =________ ．
弄清数学概念、理解数学概念是学生学好数学的基础和前提，为了加深学生对概念的理解，设置以下2道练习．
其中练习1是为了让学生进一步理解均值是反映随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数．
练习2是为了进一步巩固分布列的性质以及均值的含义．
（三）、简单应用、关注性质（13分钟）
简
单
应
用
例题1：
喜羊羊糖果店为了吸引更多顾客，开设了有奖游戏：随机抛掷一个骰子，所得骰子的点数可得相应的糖果数，求抛掷一次骰子得糖果的个数的均值．
分析：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6
其分布列为
X
1
2
3
4
5
6
P
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
所以随机变量X的均值为E（X）=1× 1/6+2× 1/6
+3×1/6+4× 1/6+5× 1/6+6× 1/6=3.5
步骤：(1)列出相应的分布列
(2)利用公式
结论：
若
变式：
为了加大奖励，喜羊羊将所得点数的2倍加1作为奖励糖果个数，即，求的数学均值？
X
1
2
3
4
5
6
Y
3
5
7
9
11
13
P
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
所以随机变量的均值为
E（Y） =3×1/6+5×1/6+7×1/6+9× 1/6+11×1/6+13× 1/6=8
=2E(X)+1
设为离散型随机变量，若，其中、为常数，则你能猜想出结果吗?
活跃课堂气氛，激发学生的学习兴趣又提炼了求均值的步骤，有助于学生对生活中蕴含的数学模式进行思考和作出判断．
先分析变量和的关系，再从实例中体会并猜想出离散型随机变量均值的线性性质．注重学生思维习惯的养成，培养学生从特殊到一般的认知方法．
关
注
性
质
2、离散型随机变量均值的线性性质
（先猜想再证明）
证明：设离散型随机变量X的概率分布为
…
…
…
…
所以Y的分布列为
练习二：
例题2：
糖果屋里，懒羊羊也想买前面说到的混合糖果（将单价分别为18，24，36 的3种糖果按3：2：1的比例混合，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等），但他想买几份500g装的，若要将混合糖果按500g包装销售，另加包装费2元，喜羊羊该怎样定价呢？
分析：设每包糖果的价格为，则,
上述可知，根据随机变量均值的线性性质，
对离散型随机变量均值的线性性质先猜想，进而给出证明，培养学生理论来源于实践的思想，扎实严谨的科学态度，形成完整的数学知识结构．
练习2是离散型随机变量线性性质的直接运用，加强对公式的理解，提高公式的运用能力．
例题2通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力并发展学生的数学应用意识及战胜困难的意志品质．
（四）、课堂练习、巩固提升（12分钟）
课
堂
练
习
巩
固
提
升
练习三：
1、喜羊羊糖果屋要举行促销活动，需从5名男生和2名女生中选出2人作为促销员，若用随机变量X表示选出的促销员中女生的人数，则数学均值_____(由2009年上海高考题改编)
分析：随机变量X的取值为0，1，2
、、
变式：
现要给女生定制服，每位女生3套，问制服的套数的数学均值是______
2、糖果屋的一边好不热闹，原来又有游戏在进行：交10元，可参加一次抽奖活动．一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有3、4、5、6元钱；抽奖人所得的奖励是有放回的从盒子抽两次（每次抽一张）得到卡片的钱数之和，求抽奖人获利的数学均值.
分析：设分别抽到的卡片钱数之和为,抽奖人获利为；则.X的取值为6，7，8，9，10，11，12
答：抽奖人获利的数学均值为-1.
说明：抽奖者若重这种抽奖，平均每抽一次要亏1元．
练习3的第1题是由2009年上海高考题改编，在此可让学生形成高考意识，增强应对高考的信心．
第2题以游戏做背景，通过实际应用，进一步培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力，同时培养学生分析问题，解决问题的能力．这里有学生会问：题目要求的是获利的均值，为什么要先求卡片钱数之和的均值，这也恰恰说明当题目所要求的变量均值比较难求时，可将其转化为容易求的变量均值，再利用线性性质来解决问题．
（五）、归纳小结、布置作业（2分钟）
归
纳
小
结
这节课我们学习了什么知识？
1、离散型随机变量均值的线性定义
X
…
…
一般地,若离散型随机变量的概率分布为：
则称为随机变量的均值或数学期望,数学期望又简称为期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
2、离散型随机变量均值的线性步骤
(1)列出相应的分布列
(2)利用公式计算:
3、离散型随机变量均值的线性性质及应用 ：
采用提问的方式，通过归纳总结，反思深化学生对基础概念、基本理论的理解，同时培养学生宏观掌握知识的能力．除了注重知识，还注重引导学生对解题思路和方法的总结，可切实提高学生分析问题、解决问题的能力，并让学生养成良好的学习数学的方法和习惯．
布
置
作
业
1、课本习题2.3A组2、4
2、（选做题）课本习题2.3 B组2
作业深化学生对概念的理解，强化学生对概念的应用，起到培养学生自学能力的作用．选做题充分兼顾学有余力的同学有更好的发展空间．
课
后
思
考
糖果屋的一边好不热闹，原来又有游戏在进行：交10元，可参加一次抽奖活动．一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有3、4、5、6元钱；抽奖人所得的奖励是无放回的从盒子抽两次（每次抽一张）得到卡片的钱数之和，求抽奖人获利的数学均值.
此题为练习三第2题的变式，让学生通过两道题目的条件、解题过程、解题方法的对比，提高学生自主探究、总结归纳问题的能力
六、评价分析
1、评价学生学习过程
本节课在情境创设，例题设置中注重与实际生活联系，让学生体会数学的应用价值，在教学中注意观察学生是否置身于数学学习活动中，是否精神饱满、兴趣浓厚、探究积极，并愿意与老师、同伴交流自己的想法。
2、评价学生的基础知识、基本技能和发现问题、解决问题的能力
教学中通过学生回答问题，归纳总结等方面反馈学生对知识的理解、运用，教师根据反馈信息适时点拨，同时从新课标评价理念出发，鼓励学生发表自己的观点、充分质疑，并抓住学生在语言、思想等方面的的亮点给予表扬，树立自信心，帮助他们积极向上。
教学设计说明：
1、数学均值概念的教学是本节课的重点，本节突出概念的建构，通过实例，引导学生分析，并归纳出定义；通过练习，加深学生对概念的理解，帮助学生把握概念的本质特征，使学生的思维活起来；通过实例分析，层层递进，让学生归纳出线性性质并加以运用，让学生体会学习均值的实际意义．本节课以现实问题引入，以生活中的实例结束，让学生认识到数学源于生活，又应用于生活，生活中处处有数学．
2、在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法，目的是加强学生对教学过程的参与，充分体现学生的主体性．并注重引导学生用已学的知识、方法解决问题，从而获得知识体系的更新与拓展，在学习过程中培养学生发现问题、分析问题、解决问题的数学能力，调动了学生自主学习的积极性，体验了成功的喜悦．
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