1.3.3利用导数研究函数的最值
自主学习
一、知识再现：
求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)
(2)求方程f′(x)=0的根
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值
二、新课探究
1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭
区间上的函数的图象．图中与是
极小值，是极大值．函数在上的最大值
是，最小值是．
一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．
说明：⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；
⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
⑶函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求在内的极值；
⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值
三、例题解析：
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最大值和最小值
练习：函数，在［－1，1］上的最小值为( )
A.0 B.－2 C.－1 D.13/12
例2求函数在区间上的最大值与最小值
解：先求导数，得
令＝0即解得
导数的正负以及，如下表
X
-2
（-2,-1）
-1
（-1,0）
0
（0,1）
1
（1,2）
2
y/
－
0
＋
0
－
0
＋
y
13
↘
4
↗
5
↘
4
↗
13
从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小
值4
练习：求在区间上的最小值。
例3 已知,∈(0,+∞).是否存在实数
,使同时满足下列两个条件：（1）)在（0，1）上是减
函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）的最小值是1，若存在，求
出，若不存在，说明理由.
课堂巩固：
作业：
1.函数上的最大值，最小值分别是（ ）
A．1，－1 B．1，－17 C．3，－17 D．9，－19
2.函数的最小值是（ ）
A 0 B -1 C 1 D 2
3.已知为常数）在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为 .
4.函数在上的最大值是________；最小值是_______.
归纳反思：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【点此下载】