反证法 1960年9月周总理接见英国记者，当记者提到“一个国家向外扩张，是由于人口过多”时，周总理指出：“我们不同意这种看法。英国人口在第一次大战前是4500万，不算太多，但英国在一个很长的时期内曾是‘日不落’的殖民帝国。美国面积略小于中国，而美国人口只有中国的1/3，但美国的军事基地遍于全球，美国驻外军人达150万。中国人口虽多，却没有一兵一卒驻在外国领土上，更没在外国建立军事基地。可见一个国家是否向外扩张，并不取决于它的人口多少，而取决于它的社会制度。” 周总理用的就是反证驳斥法，你说人口多要扩张，我说人口少照样扩张，可见不在人口多少，而在制度不同。 反证法推证问题模式框图
①反证法的理论根据是：原命题为真，则它的逆否命题也为真.在直接证明原命题有困难时，就可转化为证明它的逆否命题成立. ②用反证法证明命题的一般步骤是 第一步：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； 第二步：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； 第三步：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 例1?用反证法证明若
，则
证明：假设
不大于
， 则或者
，或者
，因为
，
所以



这些都与已知条件
矛盾 所以
若
为实数，且

求证：
中至少有一个大于0. 证明：假设
都小于0，则


与假设矛盾。 由以上两个例题可以看出：反证法证明命题，作出假设后，可把假设当成已知条件之一，和原来的条件合并在一起，作为推理的基础进行推理，导出矛盾，推理时，导致的矛盾可以是多种多样的，可以是与已知条件矛盾，可以是与公理定理矛盾，可以是自相矛盾，也可以是与假设矛盾。 例3? 求证：在一个三角形内不可能有两个角是直角 已知：在△ABC中 求证：不可能有A=90°，B=90° 证明：假设有可能A=90°，B=90° 则A+B+C=90°+90°+C＞180° 这与A+B+C=180°矛盾 ∴假设错误，故三角形内不可能有两个角是直角. 评析? 这是采用否定叙述的命题，直接证明困难，不等式对于我们来说就不如等式问题容易理解和运用，因此，用反证法把不等式问题转化为等式问题，从而问题得证. 例4证明：
是无理数。 证明：假设
不是无理数，
为有理数，故可设：






综上，
不是有理数，故
是无理数。 练习：已知
是一组勾股数, 求证:
不可能都是奇数. 课时小结 本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用。对于反证法的熟练掌握还需在今后随着学习的深入，逐步加强和提高。 什么样的命题宜用反证法进行证明，这还需要不断的探索和总结，总的来说不易用直接证法去证明的命题可尝试反证法． 对于结论是否定形式的命题，宜用反证法． 对于证明结论是“惟一”或“必然”的命题，宜用反证法． 对于证明结论是“至少……”，或“至多……”的命题，宜用反证法． 有些命题的证明，可利用的公理、定理较少或者难以与已知条件相沟通，宜用反证法 ．

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