第2章 圆锥曲线与方程
（1）椭圆
1．椭圆定义：一个动点P，平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数
（=2（为常数）2＞）的点的轨迹叫做椭圆．
⑴若2＞，则动点P的轨迹是椭圆
⑵若2=，则动点P的轨迹是线段F1F2
⑶若2＜，则动点P无轨迹
2．椭圆的标准方程：焦点在轴上时，方程为
焦点
焦点在轴上时，方程为
焦点
注:
椭圆的一般方程：
3．椭圆的性质：
(1)范围：，
(2)对称性：关于轴、轴、原点对称
(3)顶点坐标、焦点坐标是
(4)长轴长2、短轴长2、焦距2c、长半轴、短半轴、半焦距
(5)椭圆的，准线方程是，准线到中心的距离为.
通径的长是，通径的一半(半通径)：，焦准距（焦点到对应准线的距离）．
(6)离心率，离心率越大，椭圆越扁
(7)焦半径：若点是椭圆上一点，是其左、右焦点，
焦半径的长：和．
4．椭圆的的内外部：
（1）点在椭圆的内部
（2）点在椭圆的外部
5．椭圆系方程：
与椭圆共焦点的椭圆系方程可设为：是（）．
与椭圆有相同离心率的椭圆系方程可设为：或.
第2章 圆锥曲线与方程 （2）双曲线
1．双曲线定义：在平面内，到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|) （为常数）的点的轨迹叫做双曲线．
⑴若2＜，则动点P的轨迹是双曲线．
⑵若2=，则动点P的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线（在直线F1，F2上）．
⑶若2＞，则动点P无轨迹．
2．双曲线的标准方程：
焦点在轴上时，方程为 焦点
焦点在轴上时，方程为 焦点
注:（类比勾股定理）
双曲线的一般方程：
注：方程（均不为0）表示双曲线的条件：
方程变形：，考察二次项系数的正负，若与异号，表示双曲线；
若同号且,则表示椭圆；若同号且=，则表示圆．
3．双曲线的性质：
(1)范围：或，．
(2)对称性：关于轴、轴、原点对称．
(3)顶点坐标：双曲线和轴有两个交点，焦点坐标是．
(4)实轴长2、虚轴长2、焦距2；实半轴、虚半轴、半焦距．
(5)双曲线的准线方程是，准线到中心的距离为，
焦准距：（焦点到对应准线的距离）．
通径的长是，通径的一半(半通径)：．
(6) 渐近线方程是
① 双曲线渐近线方程：令，即;
② 渐近线是 (或)的双曲线设为．
(λ≠0),k是待定系数．
③（焦渐距）焦点到渐近线的距离恒为．
(7) 等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． 定义式：．
注：①等轴双曲线的渐近线方程为： ．②渐近线互相垂直．
③等轴双曲线可设为：．（时焦点在轴，时焦点在轴上）
(8) 离心率是 （）越大，开口越开阔；越小，开口越扁狭．
(9) 半径：若点是双曲线上一点，是其左、右焦点， ，
即焦半径：点在左支上 和．
点在右支上 和．
4．双曲线的内外部
(1) 在双曲线的内部．
(2) 在双曲线的外部．
5．双曲线系方程
(1) 双曲线共焦点的双曲线系方程是（）
(2) 双曲线共渐近线的双曲线系方程可设为．
（当时焦点在轴，当时焦点在轴上）．
第2章 圆锥曲线与方程 （3）抛物线
1．抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．
2．抛物线四种标准方程的几何性质：
标准方程
图形
顶点
对称轴
焦点
准线
离心率
轴
轴
轴
轴
3．抛物线的几何性质：
(1)范围
因为p>0，由方程可知x≥0，所以抛物线在轴的右侧，
当的值增大时，||也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向．
(3)顶点（0，0），离心率：，焦点，准线，焦准距p．
(4) 焦半径：抛物线 上一点到焦点的距离
抛物线 上一点到焦点的距离
抛物线 上一点到焦点的距离
(5) 焦点弦：抛物线的焦点弦，,,则．
4．焦点弦的相关性质：焦点弦，,，焦点
(1)以抛物线的焦点弦为直径的圆和抛物线的准线相切
(2) ，
证明：①若斜率不存在，则直线的方程为，，∴
②若斜率存在，记为（），则的方程为
由得 ∴，．
(3)
(4)通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．抛物线的通径长：2p．
5．弦长公式：,是抛物线上两点，则
6．二次函数的图象是抛物线：
（1）顶点坐标为；（2）对称轴；
（3）开口方向：，向上，
，向下，
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系
——二次方程
时，两根为二次函数的图像与轴的两个焦点，也是二次不等式解集的端点值
②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
例如：二次方程
两根都大于
一根大于一根小于
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