等比数列(第1课时)
一、课标解读
1、理解等差数列的概念，等比中项概念，能利用定义判定等比数列；
2、掌握等比数列的通项公式及推导公式；能类比指数函数利用等比数列的通项公式研究等比数列的性质，能熟练运用通项公式求有关的量：。
二、命题趋向
等比数列是最基本的数列模型，是高考重点考查的对象，各种题型均有，客观题突出“小而巧”，主要考查等比数列的性质的灵活运用以及对概念的理解；主观题一般“大而全”，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查。与等比数列有关的试题，与函数、不等式、数学归纳法、解析几何、导数等综合比较多。此外，高考试题中经常以等比数列为背景，命制出开放试题、研究型、探索性的推理题等新颖试题。
三、知识整理
等差数列
等比数列
定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做这个等差数列的公差，用字母表示。
用递推公式表示为：
或：
通 项公 式
推广公式：
性质
（1）等差中项：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列，那么A叫做与的等差中项，且
（2）若 ，则
，
特例：若，则
（3）单调性：当时，为递增数列；
当时，为递减数列；
当时，为常数数列。
（4）若，是等差数列，则
仍是等差数列；
（5）每隔相邻的项抽出来的项按原来的顺序排列构成的新数列仍是等差数列。
证 明
（1）利用定义：证明为常数；
（2）利用等差中项：
两 者关 系
（1）怎样的数列既是等差数列，又是等比数列?
（2）若数列是等差数列，则且是 数列；若是等比数列，则且是 数列。
四、基本题型
题型一、深刻理解等比数列的概念
例1、（1）①公差为0的等差数列是等比数列；②公比为的等比数列一定是递减数列；③ 三数成等比数列的充要条件是；④三数成等差数列的充要条件是。
以上四个命题中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）（07年重庆）设是公比的等比数列，若和是方程的两根，则 。
练习1、（05年全国Ⅱ18）已知是各项均为正数的等差数列，成等差数列，又，求证：是等比数列。
题型二、通项公式的基本运算
例2、（06全国）已知为等比数列，，求的通项公式。
练习2、（1）设是公比的等比数列，且，则等于（ ）
A、 B、 C、 D、
（2）等比数列中，，则 。
（3）在等比数列中，，则 。
（4）（05江苏3）在各项均为正数的等比数列中，，前三项和为21，则
等于（ ）
A、33 B、72 C、84 D、189
题型三、等比中项及等比数列性质的运用
例3、（1）若成等比数列，则函数的图象与轴交点的个数是（ ）
A、0 B、1 C、2 D、0或2
（2）在各项均为正数的等比数列中，若，则
。
（3）（05全国Ⅱ）在和之间插入三个数，使这三个数成等比数列，则插入的这三个数的乘积为 。
练习3、（1）在等比数列中，已知，则（ ）
A、10 B、25 C、50 D、75
（2）（07福建）等比数列中，，则等于（ ）
A、4 B、8 C、16 D、32
（3）（06重庆）在等比数列中，若，且，则的值为（ ）
A、2 B、4 C、6 D、8
（4）（07天津）设等差数列的公差不为0，，若是与的等比中项，则（ ）
A、2 B、4 C、6 D、8
五、方法点拨
1、解题时，要抓住首项和公比；
2、等比数列的性质在解题中有着十分重要的作用，应熟练掌握，灵活运用；
3、注意设元技巧：（1）三数成等差数列： 三数成等比数列：
（2）四数成等差数列： 四数成等比数列：
4、解决与等比数列有关问题时常用的数学思想
（1）方程思想：知三求一；
（2）分类讨论思想
六、巩固练习
1、（04北京）在函数中，若成等比数列，且，则有最 值（填“大”或“小”），且该值为 。
2、若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则 。
3、由正数组成的等比数列中，若，则 。
4、（06北京）如果成等比数列，那么（ ）
A、 B、 C、 D、
5、设数列满足，且，则（ ）
A、 B、 C、 D、
6、有四个数，前三个成等比数列，其积是216，后三个数成等差数列，其和是12，求这四个数。
7、（07天津）在数列中，。
（1）证明数列是等比数列； （2）求数列的前项的和。
8、（08湖北21）已知数列和满足，
，其中为实数，为正整数。
（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；
（2）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论。
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