概率
（一）事件与概率
1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别。
2．了解互斥事件、对立事件的意义及其运算公式.
（二）古典概型
①1.理解古典概型及其概率计算公式.
②2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
（三）随机数与几何概型
①1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.
②2.了解几何概型的意义.
概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意基本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律．纵观近几年高考，概率的内容在选择、填空解答题中都很有可能出现。
第1课时 随机事件的概率
1．随机事件及其概率
(1) 必然事件：在一定的条件下必然发生的事件叫做必然事件．
(2) 不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件叫做不可能事件．
(3) 随机事件：在一定的条件下，也可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件．
(4) 随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件，这时就把这个常数叫做事件的概率，记作．
(5) 概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，它的取值范围是，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0．
2．等可能性事件的概率
(1) 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件．
(2) 等可能性事件的概率：如果一次试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率是．如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率：
例1． 1) 一个盒子装有5个白球3个黑球，这些球除颜色外，完全相同，从中任意取出两个球，求取出的两个球都是白球的概率；
(2) 箱中有某种产品a个正品，b个次品，现有放回地从箱中随机地连续抽取3次，每次1次，求取出的全是正品的概率是（ ）
A． B． C． D．
(3) 某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是多少？
解：（1）从袋内8个球中任取两个球共有种不同结果，从5个白球中取出2个白球有种不同结果，则取出的两球都是白球的概率为
（2） （3）
变式训练1. 盒中有1个黑球9个白球，它们除颜色不同外，其它没什么差别，现由10人依次摸出1个球，高第1人摸出的是黑球的概率为P1，第10人摸出是黑球的概率为P10，则 （ ）
A． B．
C．P10＝0 D．P10＝P1
解：D
例2. 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球，两甲、乙两袋中各任取2个球.
(1) 若n＝3，求取到的4个球全是红球的概率；
(2) 若取到4个球中至少有2个红球的概率为，求n.
解：（1）记“取到的4个球全是红球”为事件.
（2）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B，“取到的4个球只有1个红球”为事件B1，“取到的4个球全是白球”为事件B2，由题意，得
所以
，化简，得7n2－11n－6＝0，解得n＝2，或（舍去），故n＝2.
变式训练2：在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于 （ ）
A． B．
C． D．
解：A
例3. 袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1) 取出3个小球上的数字互不相同的概率；
(2) 计分介于20分到40分之间的概率.
解：（1）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，
则
（2）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)＝P(“＝3”或“＝4”)＝P(“＝3”)＋P(“＝4”)＝
变式训练3：从数字1，2，3，4，5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，计算：
① 这个三位数字是5的倍数的概率；
②这个三位数是奇数的概率；
③这个三位数大于400的概率.
解：⑴ ⑵ ⑶
例4. 在一次口试中，要从20道题中随机抽出6道题进行回答，答对了其中的5道就获得优秀，答对其中的4道就可获得及格．某考生会回答20道题中的8道题，试求：
（1）他获得优秀的概率是多少？
（2）他获得及格与及格以上的概率有多大？
解：从20道题中随机抽出6道题的结果数，即是从20个元素中任取6个元素的组合数．由于是随机抽取，故这些结果出现的可能性都相等．
(1)记“他答对5道题”为事件，由分析过程已知在这种结果中，他答对5题的结果有种，故事件的概率为
(2)记“他至少答对4道题”为事件，由分析知他答对4道题的可能结果为种，故事件的概率为：
答：他获得优秀的概率为，获得及格以上的概率为
变式训练4：有5个指定的席位，坐在这5个席位上的人都不知道指定的号码，当这5个人随机地在这5个席位上就坐时.
(1) 求5个人中恰有3人坐在指定的席位上的概率；
(2) 若在这5个人侍在指定位置上的概率不小于，则至多有几个人坐在自己指定的席位上？
解：（1）
（2）由于3人坐在指定位置的概率<，故可考虑2人坐在指定位置上的概率，设5人中有2人坐在指定位置上为事件B，则，又由于坐在指定位置上的人越多其概率越少，而要求概率不小于，则要求坐在指定位置上的人越少越好，故符合题中条件时，至多2人坐在指定席位上．
1．实际生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件及随机事件．随机事件在现实世界中是广泛存在的．在一次试验中，事件是否发生虽然带有偶然性，当在大量重复试验下，它的发生呈现出一定的规律性，即事件发生的频率总是接近于某个常数，这个常数就叫做这个事件的概率．
2．如果一次试验中共有种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A的概率从集合的角度看，一次试验中等可能出现的所有结果组成一个集合I，其中事件A包含的结果组成I的一个子集A，因此从排列、组合的角度看，m、n实际上是某些事件的排列数或组合数．因此这种“古典概率”的问题，几乎使有关排列组合的计算与概率的计算成为一回事．
3．利用等可能性的概率公式，关键在于寻找基本事件数和有利事件数．
第2课时 互斥事件有一个发生的概率
1． 的两个事件叫做互斥事件．
2． 的互斥事件叫做对立事件．
3．从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此 ．事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
4．由于集合是可以进行运算的，故可用集合表示的事件也能进行某些运算．设A、B是两个事件，那么A+B表示这样一个事件：在同一试验中，A或B中 就表示A+B发生．我们称事件A+B为事件A、B的和．它可以推广如下：“”表示这样一个事件，在同一试验中，中 即表示发生，事实上，也只有其中的某一个会发生．
5．如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于 ．即P(A+B)＝ ．
6.由于是一个必然事件，再加上，故，于是 ，这个公式很有用，常可使概率的计算得到简化．当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化去求其对立事件的概率．
例1. 某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21, 0.23, 0.25, 0.28，计算这个射手在一次射击中：①射中10环或7环的概率；②不够7环的概率.
解：① 0.49；② 0.03．
变式训练1. 一个口袋内有9张大小相同的票，其号数分别是1，2，3，，9，从中任取2张，其号数至少有1个为偶数的概率等于 （ ）
A． B．
C． D．
解：D
例2. 袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：
（1）3只全是红球的概率．
（2）3只颜色全相同的概率．
（3）3只颜色不全相同的概率．
（4）3只颜色全不相同的概率．
解：(1)记“3只全是红球”为事件A．从袋中有放回地抽取3次，每次取1只，共会出现种等可能的结果，其中3只全是红球的结果只有一种，故事件A的概率为．
(2) “3只颜色全相同”只可能是这样三种情况：“3只全是红球”(事件A)；“3只全是黄球”(设为事件B)；“3只全是白球”(设为事件C)．故“3只颜色全相同”这个事件为A+B+C，由于事件A、B、C不可能同时发生，因此它们是互斥事件．再由于红、黄、白球个数一样，故不难得，
故．
(3) 3只颜色不全相同的情况较多，如是两只球同色而另一只球不同色，可以两只同红色或同黄色或同白色等等；或三只球颜色全不相同等．考虑起来比较麻烦，现在记“3只颜色不全相同”为事件D，则事件为“3只颜色全相同”，显然事件D与是对立事件．
(4) 要使3只颜色全不相同，只可能是红、黄、白各一只，要分三次抽取，故3次抽到红、黄、白各一只的可能结果有种，故3只颜色全不相同的概率为
．
变式训练2. 从装有２个红球和２个黑球的口袋内任取２个球，那么互斥而不对立的两个事件是 （ ）
A．至少有1个黑球与都是黑球
B．至少有1个黑球与至少有1个红球
C．恰有1个黑球与恰有2个黑球
D．至少有1个黑球与都是红球
解：C
例3. 设人的某一特征（如眼睛大小）是由他的一对基因所决定的，以d表示显性基因，r表示隐性基因，则具有dd基因的人为纯显性，具有rr基因的人是纯隐性，具有rd基因的人为混合性，纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的一某一特征，孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母都是混合性，问：①1个孩子有显性决定特征的概率是多少？②2个孩子至少有一个显性决定特征的概率是多少？
解：①；②
变式训练3. 盒中有6只灯泡，其中2只是次品，4只是正品，从其中任取两只，试求下列事件的概率：
① 取到两只都是次品；
② 取到两只中正品、次品各1只；
③ 取到两只中至少有1只正品．
解：⑴ ⑵ ⑶
例4. 从男女学生共36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会，如果选得同性委员的概率等于，求男女相差几名？
解: 设男生有名，则女生有36-名，选得2名委员都是男生的概率为：
选得2名委员都是女生的概率为
以上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率是
得：
解得：或
即：男生有15名，女生有21名；或男生有21名，女生有15名．总之，男、女生相差6名．
变式训练4. 学校某班学习小组共10小，有男生若干人，女生若干人，现要选出3人去参加某项调查活动，已知至少有一名女生去的概率为，求该小组男生的人数？
解：6人
1．互斥事件概率的加法公式、对立事件概率的加法公式，都必须在各个事件彼此互斥的前提下使用．
2．要搞清两个重要公式：
的运用前提．
3．在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率．
第3课时 相互独立事件同时发生的概率
1．事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率 ，这样的两个事件叫独立事件．
2．设A，B是两个事件，则A·B表示这样一个事件：它的发生，表示事件A，B ，类似地可以定义事件A1·A2·……An.
3．两个相互独立事件A，B同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)
＝ 一般地，如果事件相互独立，那么：P(A1·A2……An)＝ .
4．n次独立重复试验中恰好发生次的概率：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是．
例1. 如图所示，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统、，当元件A、B、C都正常工作时，系统正常工作，当元件A正常工作且元件B、C至少有1个正常工作时系统正常工作，已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.8、0.9、0.9，分别求系统、正常工作时的概率．
解：分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C，
由已知条件
(Ⅰ)因为事件A、B、C是相互独立的，所以，系统正常工作的概率
故系统正常工作的概率为0.648.
(Ⅱ)系统正常工作的概率
故系统正常工作的概率为0.792．
变式训练1. 有甲、乙两地生产某种产品，甲地的合格率为90%，乙地的合格率为92%，从两地生产的产品中各抽取1 件，都抽到合格品的概率等于 （ ）
A．112% B．9.2% C．82.8% D．0.8%
解：C
例2. 箱内有大小相同的20个红球，80个黑球，从中任意取出1个，记录它的颜色后再放回箱内，进行搅拌后再任意取出1个，记录它的颜色后又放回，假设三次都是这样抽取，试回答下列问题：
①求事件A：“第一次取出黑球，第二次取出红球，第三次取出黑球”的概率；
②求事件B：“三次中恰有一次取出红球”的概率.
解：（① ；②
变式训练2：从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1 个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则等于 （ ）
A．2个球不都是红球的概率
B．2个球都是红球的概率
C．至少有1个红球的概率
D．2个球中恰好有1个红球的概率
解：C
例3. 两台雷达独立工作，在一段时间内，甲雷达发现飞行目标的概率是0.9，乙雷达发现目标的概率是0.85，计算在这一段时间内，下列各事件的概率：
（1）甲、乙两雷达均未发现目标；[来源: ]
（2）至少有一台雷达发现目标；
（3）至多有一台雷达发现目标
解：①0.015; ②0.985; ③0.235
变式训练3：甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率为，甲、乙、丙三人都做对的概率是，甲、乙、丙三人全做错的概率是．
（1）求乙、丙两人各自做对这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三人中恰有一人做对这一道题的概率．
解： ①,或,；②
例4. 有三种产品，合格率分别为0.90，0.95和0.95，各取一件进行检验．
（1）求恰有一件不合格的概率；
（2）求至少有两件不合格的概率．（精确到0.01）
解:设三种产品各取一件，抽到的合格产品的事件分别为A、B和C
(Ⅰ)因为事件A、B、C相互独立，恰有一件不合格的概率为
答：恰有一件不合格的概率为0.176.
(Ⅱ)解法一：至少有两件不合格的概率为
答：至少有两件不合格的概率为0.012.
解法二：三件都合格的概率为：
由(Ⅰ)可知恰好有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为
答：至少有两件不合格的概率为0.012.
变式训练4. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.①分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；②从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.
解：①,,；②
1．当且仅当事件与事件互相独立时，才有 ，故首先要搞清两个事件的独立性．
2．独立重复试验在概率论中占有相当重要地地位，这种试验的结果只有两种，我们主要研究在n次独立重复试验中某事件发生k次的概率：，其中P是1 次试验中某事件发生的概率，其实正好是二项式的展开式中的第k+1项，很自然地联想起二项式定理．
第4课时 离散型随机变量的分布列
1．如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做 ，随机变量通常用希腊字母，等表示．
2．如果随机变量可能取的值 ，那么这样的随机变量叫做离散型随机变量．
3．从函数的观点来看，P(＝xk)＝Pk，k＝1， 2， …，n，…称为离散型随机变量的概率函数或概率分布，这个函数可以用 表示，这个 叫做离散型随机变量的分布列．
4．离散型随机变量分布列的性质
(1) 所有变量对应的概率值（函数值）均为非负数，即 ．
(2) 所有这些概率值的总和为 即 ．
(3) 根据互斥事件的概率公式，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的
5．二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率 ，有了这个函数，就能写出它的分布列，由于是二项式展开式的通项，所以称这个分布为二项分布列，记作
例1. 袋子中有1个白球和2个红球．
⑴ 每次取1个球，不放回，直到取到白球为止．求取球次数的分布列．
⑵ 每次取1个球，放回，直到取到白球为止．求取球次数的分布列．
⑶ 每次取1个球，放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次．求取球次数的分布列．
⑷ 每次取1个球，放回，共取5次．求取到白球次数的分布列．
解： ⑴
＝
＝
所求的分布列是
1
2
3
⑵每次取到白球的概率是，不取到白球的概率是，所求的分布列是
1
2
3
…
…
P
…
…
⑶
1
2
3
4
5
P
⑷
∴ P＝(＝k)＝C5k()k·()5－k，
其中
∴所求的分布列是
0
1
2
3
4
5
P
变式训练1. 是一个离散型随机变量，其分布列为
-1
0
1
则q ＝ （ ）
A．1 B．
C． D．
解：D
例2. 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码，求的分布列．
解：随机变量的取值为3，4，5，6从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为，事件“”包含的基本事件总数为，事件“”包含的基本事件总数为；事件“”包含的基本事件总数为；事件包含的基本事件总数为；从而有
∴随机变量的分布列为：
3
4
5
6
变式训练2：现有一大批种子，其中优质良种占30%，从中任取2粒，记为2粒中优质良种粒数，则的分布列是 .
解：
0
1
2
P
0.49
0.42
0.09
例3. 一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有部电话占线，试求随机变量的概率分布.
解：
0
1
2
3
4
0.09
0.3
0.37
0.2
0.04
变式训练3：将编号为1，2，3，4的贺卡随意地送给编号为一，二，三，四的四个教师，要求每个教师都得到一张贺卡，记编号与贺卡相同的教师的个数为，求随机变量的概率分布. 解：
0
1
2
4
P
1．本节综合性强，涉及的概念、公式较多，学习时应准确理解这些概念、公式的本质内涵，注意它们的区别与联系．例如，若独立重复试验的结果只有两种（即与，是必然事件），在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率就是二项式展开式中的第项，故此公式称为二项分布公式；又如两事件的概率均不为0，1时，“若互斥，则一定不相互独立”、“若相互独立，则一定不互斥”等体现了不同概念、公式之间的内在联系．
2．运用 P(A·B)＝P(A)·P(B)等概率公式时，应特别注意各自成立的前提条件，切勿混淆不清．例如，当为相互独立事件时，运用公式便错．
3．独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两重结果（即某事件要么发生，要么不发生），并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等．
独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．
4．解决概率问题要注意“三个步骤，一个结合”：
（1）求概率的步骤是：
第一步，确定事件性质，即所给的问题归结为四类事件中的某一种．
第二步，判断事件的运算，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件．
第三步，运用公式求得．
（2）概率问题常常与排列组合问题相结合．
第4课时 离散型随机变量的期望与方差
1．若离散型随机变量的分布列为
.则称 为的数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
2．对于随机变量，称
为的方差．的算术平方根 叫做的标准差．随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的 ．
3．数学期望与方差产生的实际背景与初中平均数及样本方差这两个概念有关．
平均数：
＝＋＋…
样本方差：
＝
以上两式中恰是出现的频率．这与数学期望与方差的定义式一致．
4．数学期望与方差的性质：若（为随机变量），则 ， ．
5．服从二项分布的随机变量的期望与方差：若, 则
例1． 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数．
①求的分布列；
②求的数学期望；
③求“所选3人中女生人数≤1”的概率.
解：①
0
1
2
P[来源:
②E＝1
③
变式训练1：如果袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后放回，连续摸取4次，设为取得红球的次数，则的期望＝ （ ）
A． B．
C． D．
解：B
例2 抛掷两个骰子,当至少有一个5点或6点出现时,就说这次试验成功,求在30次试验中成功次数的期望和方差.
解:,其中.所以
变式训练2：布袋中有大小相同的4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得1分，取到一只黑球得3分，试求得分的概率分布和数学期望．
解：
例3 甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表：
射手甲
击中环数
8
9
10
概率
0.6
0.2
射手乙
击中环数
8
9
10
概率
0.4
0.4
用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平．
解：
∴甲乙两名射手所得环数的平均值相等，但射手甲所得环数比较集中，射手乙所得环数比较分散，射手甲射击水平较稳定．
变式训练3：某商场根据天气预报来决定节日是在商场内还是在商场外开展促销活动，统计资料表明，每年五一节商场内的促销活动可获得经济效益2.5万元，商场外的促销活动如果不遇到有雨天可获得经济效益12万元，如果促销活动遇到有雨天，则带来经济损失5万元，4月30号气象台预报五一节当地有雨的概率是40%，问商场应该采取哪种促销方式？
解：采用场外促销方式
例4 某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，可造成400万元的损失，现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后，此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85．若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，试确定预防方案使总费用最少．（总费用＝采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值）.
解：联合甲、乙，总费用最少为81万元
变式训练4：假设1部机器在1天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时，全天停止工作，若1周的5个工作日里无故障，可获得利润10万元，发生1次故障仍可获得利润5万元；发生2次故障所获利润为0；发生3次或3次以上故障就要亏损2万元，求1周的期望利润是多少？（精确到0.001）.
解：用随机变量表示1周5天内发生故障的天数，则服从地一项分布~B(5,0.2)，
从而，
，P(＝2)＝0.205
P(≥3)＝0.057设为所获得利润，则
E＝10×0.328＋5×0.410＋0×0.205－2×0.057
＝5.215（万元）
1．数学期望与方差，标准差都是离散型随机变量最重要的数字特征，它们分别反映了随机变量取值的平均水平、稳定程度、集中与离散的程度．离散型随机变量的期望与方差都与随机变量的分布列紧密相连，复习时应重点记住以下重要公式与结论：
一般地，若离散型随机变量的分布列为
…
…
…
…
…
…
则期望，
方差，
标准差
若，则，这里
概率章节测试题
一、选择题
1．已知非空集合A、B满足AB，给出以下四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件 ②若xA，则x∈B是不可能事件
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件 ④若xB，则xA是必然事件
其中正确的个数是( )
A、1 B、2 C、3 D、4
2．一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则此射手每次射击命中的概率为（ ）
A. B. C. D.
3．设是离散型随机变量，，，且，现已知：，，则的值为（ ）
(A) (B) (C) ３ (D) 4．福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物，每组福娃都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成．甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（汉沽一中2008~2009届月考文9）.面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为 ( )
A. B. C. D.
6．（汉沽一中2008~2009届月考文9）.面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为 ( )
A. B. C. D.
7．在圆周上有10个等分，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是（ ）
A. B. C. D.
8．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站率为60%，则他在3天乘车中，此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为 （ ）
A． B． C． D．
9．甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格概率为，乙及格概率为，丙及格概率为，则三人中至少有一人及格的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．从集合中随机取出6个不同的数，在这些选法中，第二小的数为的概率是[来源:]
A. B. C. D.
二、填空题
11．已知离散型随机变量的分布列如右表．若，，则 ， ．
12．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为 。
13．6位身高不同的同学拍照，要求分成两排，每排3人，则后排每人均比其前排的同学身材要高的概率是_________.
14．从分别写有的五张卡片中第一次取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片.两次取出的卡片上的数字和恰好等于4的概率是 .
三、解答题
15．将、两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：
（1）共有多少种不同的结果？
（2）两数之和是3的倍数的结果有多少种？
（3）两数之和是3的倍数的概率是多少？
16．甲、乙两人进行摸球游戏，一袋中装有2个黑球和1个红球。规则如下：若一方摸中红球，将此球放入袋中，此人继续摸球；若一方没有摸到红球，将摸到的球放入袋中，则由对方摸彩球。现甲进行第一次摸球。
(1)在前三次摸球中，甲恰好摸中一次红球的所有情况；
（2）在前四次摸球中，甲恰好摸中两次红球的概率；
（3）设是前三次摸球中，甲摸到的红球的次数，
求随机变量的概率分布与期望.
17．某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．
（1）求中三等奖的概率；
（2）求中奖的概率．
18．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入袋或袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是.
（1）求小球落入袋中的概率;
（2）在容器入口处依次放入4个小球,记为落入
袋中小球的个数,试求的概率和的数学期望.
19．某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10环(最高环数)的概率.
20．学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．
(1) 求文娱队的人数；
(2) 写出的概率分布列并计算．
21．有甲、乙、丙三种产品，每种产品的测试合格率分别为0.8，0.8和0.6，从三种产品中各抽取一件进行检验。
（1）求恰有两件合格的概率；
（2）求至少有两件不合格的概率。
22．有一批数量很大的产品，其次品率是10%。
（1）连续抽取两件产品，求两件产品均为正品的概率；
（2）对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过4次，求抽查次数的分布列及期望。
概率章节测试题答案
一、选择题
1．解析：①③④正确，②错误.
答案：C
2．答案：B
3．答案：C
4．答案：C .选C
5．B
6．B
7．答案：C
8．答案：C
9．答案：B
10．答案：B
二、填空题
11．【解析】由题知，，，解得，.
12．解析：如图可设,则,根据几何概率可知其整体事件是其周长，则其概率是
14．答案：
15．解：（1）共有种结果；
（2）共有12种结果；
（3）．
16．解: (1) 甲红甲黑乙红黑均可；甲黑乙黑甲红。。。
（2）。。。。。。
(3) 设的分布是
0
1
2
3
P
E= 。。。。。。
17．解: 设“中三等奖”的事件为A，“中奖”的事件为B，从四个小球中有放回的取两个共有
（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），
（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）16种不同的方法。
（1）两个小球号码相加之和等于3的取法有4种：
（0，3）、（1，2）、（2，1）、（3，0）………
故 ………
（2）两个小球号码相加之和等于3的取法有4种。
两个小球相加之和等于4的取法有3种：（1，3），（2，2），（3，1）
两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：（2，3），（3，2）, ……
由互斥事件的加法公式得
18．解: （1）解法一：记小球落入袋中的概率，则，
由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋，所以
. …
解法二：由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入袋.
，
（2）由题意，所以有
，
.
19．【解析】记这个射手在一次射击中“命中10环或9环”为事件A，“命中10环、9环、8环、不够8环”分别记为B、C、D、E. [来源:]
则，，
∵C、D、E彼此互斥，
∴P（C∪D∪E）=P（C）+P（D）+P（E）=0.28+0.19+0.29=0.76.
又∵B与C∪D∪E为对立事件，
∴P（B）=1－P（C∪D∪E）=1－0.76=0.24.
B与C互斥，且A=B∪C，
∴P（A）=P（B+C）=P（B）+P（C） =0.24+0.28=0.52. …
答：某射手在一次射击中命中9环或10环(最高环数)的概率为0.52.
20．解：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有（7-x）人，那么只会一项的人数是（7-2 x）人．
(I)∵，
∴．………
即．
∴．
∴x=2． ……
故文娱队共有5人．………………
(II) 的概率分布列为
0
1
2
P
，……
，…………
∴ =1．
21．解：（1）设从甲、乙、丙三种产品中各抽出一件测试为事件A，B，C，由已知P（A）=0.8，P（B）=0.8，P（C）=0.6
则恰有两件产品合格的概率为
（2）三件产品均测试合格的概率为
由（1）知，恰有一件测试不合格的概率为
所以至少有两件不合格的概率为
22．解：（1）两件产品均为正品的概率为
（2）可能取值为1，2，3，4[来源:]
；；
所以次数的分布列如下
∴
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