立体几何初步 1．理解平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图、能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能根据图形想象它们的位置关系． 2．了解空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系． 3．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握三垂线定理及其逆定理． 4．掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念；掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理． 5．了解多面体、凸多面体、正多面体的概念． 6．了解棱柱，棱锥的概念；了解棱柱，棱锥的性质；会画其直观图． 7．了解球的概念；掌握球的性质；掌握球的表面积、体积公式． 本章的定义、定理、性质多，为了易于掌握，可把主要知识系统化．首先，归纳总结，理线串点，可分为四块：A、平面的三个基本性质，四种确定平面的条件；B、两个特殊的位置关系，即线线，线面，面面的平行与垂直．C、三个所成角；即线线、线面、面面所成角；D、四个距离，即两点距、两线距、线面距、面面距． 其次，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、距离等均与线面垂直密切相关，把握其中的线面垂直，也就找到了解题的钥匙． 再次，要加强数学思想方法的学习，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，化空间图形为平面图形解决，化几何问题为坐标化解决，自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果． 第1课时 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的 在同一个平面内，那么这条直线上的 都在这个平面内 (证明直线在平面内的依据)． 公理2 如果两个平面有 个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是 (证明多点共线的依据)． 公理3 经过不在 的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)． 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面． 推论2 经过两条 直线，有且只有一个平面． 推论3 经过两条 直线，有且只有一个平面． 例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于O，AC、BD交于点M． 求证：点C1、O、M共线． 证明： A1A∥CC1确定平面A1C A1C面A1C O∈面A1C O∈A1C 面BC1D∩直线A1C＝O O∈面BC1D O在面A1C与平面BC1D的交线C1M上 ∴C1、O、M共线 变式训练1：已知空间四点A、B、C、D不在同一平面内，求证：直线AB和CD既不相交也不平行． 提示：反证法． 例2. 已知直线与三条平行线a、b、c都相交．求证：与a、b、c共面． 证明：设a∩l＝A b∩l＝B c∩l＝C a∥b a、b确定平面α lβ A∈a, B∈b b∥cb、c确定平面β 同理可证lβ 所以α、β均过相交直线b、l α、β重合 cα a、b、c、l共面 变式训练2：如图，△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线AB、BC、CA分别交平面α于P、Q、R点．求证：P、Q、R共线． 证明：设平面ABC∩α＝l，由于P＝AB∩α，即P＝平面ABC∩α＝l， 即点P在直线l上．同理可证点Q、R在直线l上． ∴P、Q、R共线，共线于直线l． 例3. 若△ABC所在的平面和△A1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证： (1) AB和A1B1、BC和B1C1分别在同一个平面内； (2) 如果AB和A1B1，BC和B1C1分别相交，那么交点在同一条直线上． 证明：(1) ∵AA1∩BB1＝0，∴AA1与BB1确定平面α，又∵A∈a，B∈α，A1∈α，B1∈α，∴ABα，A1B1α，∴AB、A1B1在同一个平面内 同理BC、B1C1、AC、A1C1分别在同一个平面内 (2) 设AB∩A1B1＝X，BC∩B1C1＝Y，AC∩A1C1＝Z，则只需证明X、Y、Z三点都是平面A1B1C1与ABC的公共点即可． 变式训练3：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB中点，F为AA1中点， 求证：(1) E、C．D1、F四点共面； (2) CE、D1F、DA三线共点． 证明(1) 连结A1B 则EF∥A1B A1B∥D1C ∴EF∥D1C ∴E、F、D1、C四点共面 (2) 面D1A∩面CA＝DA ∴EF∥D1C 且EF＝D1C ∴D1F与CE相交 又D1F面D1A，CE面AC ∴D1F与CE的交点必在DA上 ∴CE、D1F、DA三线共点． 例4.求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内． 证明：(1) 若a、b、c三线共点P，但点pd，由d和其外一点可确定一个平面α 又a∩d＝A ∴点A∈α ∴直线aα 同理可证：b、cα ∴a、b、c、d共面 (2)若a、b、c、d两两相交但不过同一点 ∵a∩b＝Q ∴a与b可确定一个平面β 又c∩b＝E ∴E∈β 同理c∩a＝F ∴F∈β ∴直线c上有两点Ｅ、Ｆ在β上 ∴cβ 同理可证：dβ 故a、b、c、d共面 由(1) (2)知：两两相交而不过同一点的四条直线必共面 变式训练4：分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线，为什么? 解：假设AC、BD不异面，则它们都在某个平面内，则A、B、C、D.由公理1知,.这与已知AB与CD异面矛盾，所以假设不成立,即AC、BD一定是异面直线。 1．证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面． 2．证明点、线共面问题有两种基本方法：①先假定部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；②分别用部分点、线确定两个(或多个)平面，再证这些平面重合． 3．证明多线共点，只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过交点． 第2课时 空间直线 1．空间两条直线的位置关系为 、 、 ． 2．相交直线 一个公共点，平行直线 没有公共点， 异面直线：不同在任 平面，没有公共点． 3．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 ． 4．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角 ． 5．异面直线的判定定理 过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线) 6．异面直线的距离：和两条异面直线 的直线称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在 的长度，叫两异面直线的距离． 例1. 如图，在空间四边形ABCD中，AD＝AC＝BC＝BD＝a，AB＝CD＝b，E、F分别是AB、CD的中点． (1) 求证：EF是AB和CD的公垂线； (2) 求AB和CD间的距离． 证明：(1) 连结CE、DE  AB⊥面CDE ∴AB⊥EF 同理CD⊥EF ∴EF是AB和CD的公垂线 (2) △ECD中，EC＝＝ED ∴EF＝ 变式训练1：在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝，求AD、BC所成角的大小． 解：设BD的中点G，连接FG，EG。在△EFG中 EF＝ FG＝EG＝1 ∴∠EGF＝120° ∴AD与BC成60°的角。 例2. S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC， 且ASB＝BSC＝CSA＝，M、N分别是AB和SC的中点． 求异面直线SM与BN所成的角． 证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN 则QN∥SM ∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角 连结BQ，设SC＝a，在△BQN中 BN＝ NQ＝SM＝a BQ＝ ∴COS∠QNB＝ ∴∠QNB＝arc cos 变式训练2：正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点． (1) 求异面直线SC和AB的距离； (2) 求异面直线SA和EF所成角． 答案：(1)  (2) 45° 例3. 如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P 分别为A1B1、BB1、CC1的中点． (1) 求异面直线D1P与AM，CN与AM所成角； (2) 判断D1P与AM是否为异面直线？若是，求其距离． 解：(1) D1P与AM成90°的角 CN与AM所成角为arc cos. (2) 是．NP是其公垂线段, D1P与AN的距离为1. 变式训练3：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中， ∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点， 若BC＝CA＝CC1，求NM与AN所成的角． 解：连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG， 易证∠GNA就是BM与AN所成的角． 设：BC＝CA＝CC1＝2，则AG＝AN＝，GN＝B1M＝， cos∠GNA＝。 例4．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底 面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM＝EF． (1) 证明MF是异面直线AB与PC的公垂线； (2) 若PA＝3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值． （1）证明：∵EF∥CD AM∥CD ∴ AM∥EF，又AM＝EF ∴ AMFE为平行四边形 ∵ AB⊥PA，AB⊥AD ∴ AB⊥面PAD ∴ AB⊥AE，又AE∥MF，∴ AB⊥MF 又∵AE⊥PD CD⊥AE ∴ AE⊥面PCD ∴ AE⊥PC ∴ MF⊥PC ∴ MF为AB与PC的公垂线． (2) 设AB＝1，则PA＝3，建立如图所示坐标系．由已知得＝(0，，)， ＝(1，0，0) 面MFEA的法向量为＝(0，1，－3)，＝(1，1，0)，cos<，>＝．∴ AC与面EAM所成的角为－arc cos，其正弦值为． 变式训练4：如图，在正方体中， E、F分别是、CD的中点． （１）证明； （２）求与所成的角。 （1）证明：因为AC1是正方体，所以AD⊥面DC1 又DF1DC1，所以AD⊥D1F. （2）取AB中点G，连结A1G，FG， 因为F是CD的中点，所以GF∥AD， 又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1， 故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。 设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。 因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE, ∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°, 即直线AE与D1F所成的角为直角。 1．求两条异面直线所成角的步骤：(1)找出或作出有关角的图形；(2)证明它符合定义； (3)求角． 2．证明两条直线异面的常用方法：反证法、定义法(排除相交或平行)、定理法． 3．求异面直线间距离的方法：作出公垂线段，向量法． 第3课时 直线和平面平行 1．直线和平面的位置关系 、 、 ． 直线在平面内，有 公共点． 直线和平面相交，有 公共点． 直线和平面平行，有 公共点． 直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外． 2．直线和平面平行的判定定理 如果平面外 和这个平面内 平行，那么这条直线和这个平面平行． (记忆口诀：线线平行 线面平行) 3．直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面 ，经过 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．(记忆口诀：线面平行 线线平行) 例1．如图，P是ABC所在平面外一点，MPB， 试过AM作一平面平行于BC，并说明画法的理论依据． 解：在平面PBC内过M点作MN∥BC，交PC于N点， 连AN则平面AMN为所求 根据线面平行的性质定理及判定定理 变式训练1：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B和AC上的点，且A1M＝AN． 求证：MN∥平面BB1C1C． 证明：在面BA1内作MM1∥A1B1交BB1于M1 在面AC内作NN1∥AB交BC于N1 易证MM1 NN1即可 例2. 设直线a∥，P为内任意一点，求证：过P且平行a的直线必在平面内． 证明：设a与p确定平面β，且α∩β＝a' ，则a'∥a 又a∥l l∩a'＝p ∴a与a'重合 ∴lα 变式训练2：求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行． 解：已知α∩β＝l a∥α a∥β 求证：a∥l 证明：过a作平面γ交平面α于b，交平面β于C， ∵a∥α，∴a∥b 同理，∵a∥β ∴a∥c ∴b∥c 又∵bβ 且cβ ∴b∥β 又平面α经过b交β于l ∴b∥l且a∥b ∴a∥l 例3. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧菱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点． ( 1 ) 证明：PA∥平面EDB； ( 2 ) 求EB与底面ABCD所成的角的正切值． (1 ) 证明：提示，连结AC交BD于点O，连结EO． ( 2) 解：作EF⊥DC交DC于F，连结BF． 设正方形ABCD的边长为a．∵ PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC． ∴ EF∥PD，F为DC的中点．∴EF⊥底面ABCD， BF为BE在底面ABCD内的射影， ∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角． 在Rt△BCF中，BF＝ ∵ EF＝PD＝，∴ 在Rt△EFB中， tan∠EBF＝．所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为． 变式训练3：如图，在四面体中截面EFGH平行于对棱 AB和CD，试问：截面在什么位置时，其截面的面积最大？ 解：易证截面EFGH是平行四边形 设AB＝a CD＝b ∠FGH＝α(a、b为定值，α为异面直线AB与CD所成的角) 又设FG＝x GH＝y 由平几得   ∴＝1 ∴y＝(a－x) ∴S□ EFGH＝FG·GH·sinα＝x·(a－x)sinα ＝x(a－x) ∵x＞0 a－x＞0 且x＋(a－x)＝a为定值 ∴当且仅当 x＝a－x 即x＝时(S□ EFGH)max＝ 例4．已知：ABC中，ACB＝90°，D、E分别为AC、AB的中点，沿DE将ADE折起使A到A'的位置，若平面A'DE⊥面BCDE，M是A'B的中点，求证：ME∥面A'CD． 证明：取A'C的中点N，连MN、DN， 则MN BC，DE BC ∴MN DE ∴ME∥ND 又ME面A'CD ND面A'CD ∴ME∥面A'CD 变式训练4： (2005年北京)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点． ( 1 ) 求证：AC⊥BC1； (2) 求证：AC1∥平面CDB1； (3) 求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值． 解：（1）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5． ∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1； （2）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1 ∴DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1； （3）∵DE∥AC1，∴CED为AC1与B1C所成的角，在△CED中，ED＝AC1＝，CD＝AB＝，CE＝CB1＝2，∴cos∠CED =  ∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为． 1．证明直线和平面平行的方法有：(1)依定义采用反证法；(2)判定定理；(3)面面平行性质；(4)向量法． 2．辅助线(面)是解、证有关线面问题的关键，要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作用． 第4课时 直线和平面垂直 1．直线和平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面的 直线垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直． 2．直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3．直线和平面垂直性质 若a⊥，b则 若a⊥，b⊥则 若a⊥，a⊥则 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条． 4．点到平面距离 过一点作平面的垂线 叫做点到平面的距离． 5．直线到平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离叫做直线到平面距离． 例1. OA、OB、OC两两互相垂直，G为ABC的垂心．求证：OG平面ABC． 证明：∵OA、OB、OC两两互相垂直 ∵OA⊥平面OBC ∴OA⊥BC 又G为△ABC的垂心 ∴ AG⊥BC, ∴ BC⊥面OAG ∴BC⊥OG 同理可证：AC⊥OG 又BC∩AC＝C ∴OG⊥平面ABC 变式训练1：如图SA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥SB，且SB∩AE＝E，AF⊥SC，且AF∩SC＝F，求证：(1) BC⊥面SAB；(2) AE⊥面SBC；(3) SC⊥EF． 证明：(1) BC⊥面SAB (2) 由(1)有AE⊥面SBC (3) 由(2)有SC⊥面AEFSC⊥EF 例2 如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC中点． (1) 求证：MN⊥CD； (2) 若PDA＝45°，求证：MN⊥面PCD． 证明：(1) 连AC取中点O，连NO、MO，并且MO交CD于R ∵N为PC中点 ∴NO为△PAC的中位线 NO∥PA 而PA⊥平面ABCD ∴NO⊥平面ABCD ∴MN在平面ABCD的射影为MO，又ABCD是矩形 M为AB中点，O为AC中点 ∴MO⊥CD ∴CD⊥MN (2) 连NR，则∠NRM＝45°＝∠PDA 又O为MR的中点，且NO⊥MR ∴△MNR为等腰三角形 且∠NRM＝∠NMR＝45° ∴∠MNR＝90° ∴MN⊥NR 又MN⊥CD ∴MN⊥平面PCD 变式训练2：PD垂直于平面ABCD所在平面，PB⊥AC，PA⊥AB． 求证：① ABCD是正方形；② PC⊥BC． 证明：略 例3．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分别为CD、PB的中点． (1) 求证：EF⊥平面PAB； (2) 设AB＝BC，求AC与平面AEF所成的角的大小． 证明：连结EP．∵PD⊥底面ABCD，DE在 平面ABCD中，∴PD⊥DE，又CE＝ED，PD＝AD＝BC， ∴Rt△BCE≌Rt△PDE，∴PE＝BE ∵F为PB中点，∴EF⊥PB． 由垂线定理得PA⊥AB，∴在Rt△PAB中，PF＝AF，又PE＝BE＝EA，∴△EFP≌△EFA， ∴EF⊥FA． ∵ PB、FA为平面PAB内的相交直线，∴EF⊥平面PAB． (2) 解：不防设BC＝1，则AD＝PD＝1，AB＝，PA＝，AC＝．∴△PAB为等腰直角三角形．且PB＝2，Ｆ是其斜边中点，BF＝1，且AF⊥PB．∵PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直．∴PB⊥平面AEF．连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH⊥平面AEF． ∠GAH为AC与平面AEF所成的角． 由△EGC∽△BGA可知EG＝GB，EG＝EB，AG＝AC＝． 由△EGH∽△BGF可知GH＝BF＝ ∴sin∠GAH＝ ∴AC与面AEF所成的角为arc sin． 变式训练3：如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BAD＝BDC＝90°，AB＝AD＝3，BC＝2CD．求： (1) 求AC的长； (2) 求证：平面ABC⊥平面ACD； (3) 求D点到平面ABC的距离d． 解：(1)  (2)略． (3)因VA－DBC＝(DC×BD)×OA＝6， 又VD－ABC＝(AB×AC)×d＝d， VA－BCD＝VD－ABC，则d＝6，解得d＝. 例4：如图，棱长为4的正方体AC1，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1＝4CP． (1) 求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小； (2) 设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1HAP； (3) 求点P到平面ABD1的距离． 答案： (1) ∠APB＝arctan (2) AP在面AC上的射影为AC 又AC⊥BD ∴PA⊥BD 而BD∥B1D1 ∴B1D1⊥AP 而B1D1在平面D1AP上的射影为D1H ∴D1H⊥AP (3) 面ABD1⊥面BC1 过P作PM⊥BC1于M 则PM＝ 变式训练4：三棱锥V－ABC的三条侧棱VA、VC两两垂直，顶点V在底面内的射影是H． (1) 求证H是△ABC的垂心； (2) ． (1) 证明：连结AH交BC于D点，连接CH交AB于E点， ∵VA⊥VB，VA⊥VC，VB∩VC＝V， ∴VA⊥VBC面，又BCVBC面，∴BC⊥VA． ∵VH⊥ABC面，BCABC面， ∴BC⊥VH，又VA∩VH＝A，∴BC⊥VHA面． 又ADVHA面，∴AD⊥BC，同理可得CE⊥AB， ∴H是△ABC的垂心． (2) 连接VE，在Rt△VEC中，VE2＝EH×EC AB2×VE2＝AB2×EH×EC， 即． 线面垂直的判定方法：(1) 线面垂直的定义； (2)判定定理； (3) 面面垂直的性质； (4) 面面平行的性质：若∥，a⊥则a ⊥ 第5课时 三垂线定理 1．和一个平面相交，但不和这个平面 的直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做 ． 2．射影(1) 平面外一点向平面引垂线的 叫做点在平面内的射影； (2) 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的 ． 斜线上任意一点在平面上的射影一定在 ． 垂线在平面上的射影只是 ． 直线和平面平行时，直线在平面上的射影是和该直线 的一条直线． 3．如图，AO是平面斜线，A为斜足，OB⊥，B 为垂足，AC，∠OAB＝，BAC＝， ∠OAC＝，则cos＝ ． 4．直线和平面所成的角 平面的斜线和它在这个平面内的 所成 的 叫做这条直线和平面所成角． 斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中 ． 5．三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的 垂直，那么它也和 垂直． 逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这条 垂直． 例1. 已知RtABC的斜边BC在平面内，A到的距离2，两条直角边和平面所成角分别是45°和30°．求：(1) 斜边上的高AD和平面所成的角； (2) 点A在内的射影到BC的距离． 答案：(1) 60° (2) 变式训练1：如图，道旁有一条河，河对岸有电塔AB，塔顶A到道路距离为AC，且测得∠BCA＝30°，在道路上取一点D，又测得CD＝30m，∠CDB＝45°．求电塔AB的高度． 解：BC＝30，AB＝BC tan30°＝10 例2．如图，矩形纸片A1A2A3A4，B、C、B1、C1 分别为A1 A4、A2A3的三等分点，将矩形片沿 BB1，CC1折成三棱柱，若面对角线A1B1BC1； 求证：A2CA1B1． 解：取A2B1中点D1 ∵A2C1＝B1C1 ∴C1D1⊥A2B1 又A1A2⊥面A2B1C1 ∴C1D1⊥A1A2 ∴C1D1⊥面A1A2B1B ∴BD1是BC1在面A2B上的射影 由A1B1⊥BC1 ∴BD1⊥A1B1 取A1B中点D 同理可证A2D是A2C在面A2B上的射影 ∵A2DBD1 ∴A2DBD1是平行四边形 由BD1⊥A1B1 ∴A1B1⊥A2D ∴A2C⊥A1B1 变式训练2：如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长，设这条最短路线与CC1交点N，求： (1) PC和NC的长； (2) 平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)大小． 解：将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面 AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置， 连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线 设PC＝x，则P1C＝x，在Rt△MAP1中，由勾股定理得x＝2 ∴PC＝P1C＝2 ∵ ∴NC＝ (2) 连接PP1，则PP1就是平面NMP与平面ABC的交线，作NH⊥PP1于H，又CC1⊥平面ABC，连结CH，由三垂线定理得CH⊥PP1 ∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成的平面角(锐角) 在Rt△PHC中 ∵∠PCH＝∠PCP1＝60° ∴CH＝＝1 在Rt△PHC中 tanNHC＝ 故平面NMP与平面ABC所成二面角大小为arctan 例3.如图在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中， 点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点． (1) 试确定点F的位置，使得D1E面AB1F； (2) 当D1E面AB1F时，求二面角C1－EF－A大小． 解：(1) 连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A1内的射影 ∵AB1⊥A1B ∴D1E⊥AB1 于是D1E⊥平面AB1F D1E⊥AF 连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影 ∴D1E⊥AFDE⊥AF ∵ABCD是正方形，E是BC的中点 ∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF 即当点F是CD的中点时，D1E⊥面AB1F (2) 当D1E⊥平面AB1F时，由(1) 知点F是CD的中点，又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD连AC，设AC与EF交点H，则CH⊥EF，连C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影 ∴C1H⊥EF 即∠C1HC是二面角C1－EF－C的平面角 在Rt△C1HC中 ∵C1C＝1 CH＝AC＝ ∴tan∠C1HC＝ ∴∠C1HC＝arctan 2 ∴∠AHC1＝π－arctan2 变式训练3：正方体ABCD－A1B1C1D1中棱长a，点P在AC上，Q在BC1上，AP＝BQ＝a， (1) 求直线PQ与平面ABCD所成角的正切值； (2) 求证：PQ⊥AD． (1) 解：过Q作QM∥CC1交BC于M 则QM⊥面ABCD ∴∠QPM就是所求角 ∵即 ∴  ∴ ∴PM∥AB 在Rt△PQM中 PM＝ QM＝ ∴tan∠QPM＝＝＝＋1 (2) 由(1) 可知PM⊥BC PQ在面ABCD内的射影是PM. ∴PQ⊥BC 又AD∥BC ∴PQ⊥AD 例4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动． (1) 证明：D1E⊥A1D； (2) 当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； (3) AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为． (1) 证明：∵ AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E． (2) 设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC＝CD1＝，AD1＝，＝··＝，而＝·AE·BC＝． ∴＝·DD1＝·h ∴×1＝×h， ∴h＝ (3) 过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1－EC－D的平面角．设AE＝x，则BE＝2－x 在Rt△D1DH中，∵∠DHD1＝，∴DH＝1 ∵在Rt△ADE中，DE＝，∴在Rt△DHE中，EH＝x，在Rt△DHC中，CH＝，CE＝，则x＋＝，解得x＝2－． 即当x＝2－时，二面角为D1－EC－D的大小为． 变式训练4：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且PD＝a，PA＝PC＝a． (1) 求证：PD⊥面ABCD； (2) 求直线PB与AC所成角； (3) 求二面角A－PB－D大小． 证明：(1) ∵PC＝a PD＝DC＝a ∴PD2＋DC2＝PC2 ∴△PDC是直角三角形 ∴PD⊥DC 同理PD⊥DA 又∵DA∩DC＝D ∴PD⊥平面ABCD (2) 连BD ∵ABCD是正方形 ∴AC⊥BD 又∵PD⊥平面ABCD AC⊥PB(三垂线定理) ∴PB与AC所成角为90° (3) 设AC∩BD＝0 作AE⊥PB于E，连OE ∵AC⊥BD PD⊥平面ABCD AC面ABCD ∴PD⊥AC ∴AC⊥平面PDB 又∵OE是AE在平面PDB内的射影 ∴OE⊥PB ∴∠AEO就是二面角A－PB－O的平面角 又∵AB＝a PA＝ PB＝ ∵PD⊥面ABCD DA⊥AB ∴ PA⊥AB 在Rt△PAB中 AE·PB＝PA·AB ∴AE＝ AO＝ ∴sin∠AEO＝ ∴∠AEO＝60° 1．求直线和平面所成的角的一般步骤是一找(作)，二证，三算．寻找直线在平面内的射影是关键，基本原理是将空间几何问题转化为平面几何问题，主要转化到一个三角形内，通过解三角形来解决． 2．三垂线定理及逆定理，是判定两条线互相垂直的重要方法，利用它解题时要抓住如下几个环节：一抓住斜线，二作出垂线，三确定射影． ３．证明线线垂直的重要方法：三垂线定理及逆定理；线⊥面线⊥线；向量法． 第6课时 平面与平面平行 1．两个平面的位置关系： 2．两个平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条 直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (记忆口诀：线面平行，则面面平行) 3、两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的 平行． (记忆口诀：面面平行，则线线平行) 4．两个平行平面距离 和两个平行平面同时 的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的 ，两个平行面的公垂线段的 ，叫做两个平行平面的距离． 例1．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1中点． (1) 求证：平面AMN∥平面EFDB； (2) 求异面直线AM、BD所成角的余弦值． 解：(1) 易证EF∥B1D1 MN∥B1D1 ∴EF∥MN AN∥BE 又MN∩AN＝N EF∩BE＝E ∴面AMN∥面EFDB (2) 易证MN∥BD ∴∠AMN为AM与BD所成角 易求得 cos∠AMN＝ 变式训练1：如图，∥，AB交、于A、B， CD交、 于C、D，ABCD＝O，O在两平面之间， AO＝5，BO＝8，CO＝6．求CD． 解：依题意有AC∥DB  即 ∴OD＝ ∴CD＝＋6＝ 例2 . 已知平面∥平面，AB、CD是夹在平面和平面间的两条线段，点E、F分别在AB、CD上，且．求证：EF∥∥． 证明：1°若AB与CD共面，设AB与CD确定平面γ，则α∩γ＝AC β∩γ＝BD ∵α∥β ∴AC∥BD 又∵ ∴EF∥AC∥BD ∴EF∥α∥β 2°若AB与CD异面，过A作AA'∥CD 在AA'截点O，使 ∴EO∥BA' OF∥A'D ∴平面EOF∥α∥β ∴EF与α、β无公共点 ∴EF∥α∥β 变式训练2：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点． 求证：(1) APMN； (2) 平面MNP∥平面A1BD． 证明：(1) 连BC1 易知AP在BCC1B1内射影是BC1 BC1⊥MN ∴AP⊥MN (2) ∵面MNP∥面A1BD 例3.已知a和b是两条异面直线． (1) 求证：过a和b分别存在平面α和β，使α∥β； (2) 求证：a、b间的距离等于平面α与β的距离． (1) 在直线a上任取一点P，过P作b'∥b，在直线b上取一点Q 过Q作a'∥a 设a, b'确定一个平面α a', b确定平面β a'∥a aα ∴a'∥α 同理b∥α 又a'、bβ ∴α∥β 因此，过a和b分别存在两个平面α、β (2) 设AB是a和b的公垂线，则AB⊥b，AB⊥a ∴AB⊥a' a'和b是β内的相交直线，∴AB⊥β 同理AB⊥α 因此，a, b间的距离等于α与β间的距离． 变式训练3：如图，已知平面α∥平面β，线段PQ、PF、QC分别交平面α于A、B、C、点，交平面β于D、F、E点，PA＝9，AD＝12，DQ＝16，△ABC的面积是72，试求△DEF的面积． 解：平面α∥平面β，∴AB∥DF，AC∥DE， ∴∠CAB＝∠EDF．在△PDF中，AB∥DF，DF＝AB＝AB，同理DE＝AC． S△DEF＝DF·DE sin∠EDF＝S△ABC＝96． 例4.如图，平面∥平面，ABC．A1B1C1分别在、内，线段AA1、BB1、CC1交于点O，O在、之间，若AB＝2AC＝2，∠BAC＝60°，OA:OA1＝3:2． 求A1B1C1的面积． 解：∵α∥β AA1∩BB1＝O ∴AB∥A1B1 同理AC∥A1C1 BC∥B1C1 ∴△ABC∽△A1B1C1 S△ABC＝AB·AC·sin60°＝  ∴ ∴＝ 变式训练4：如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E是PD的中点． （1）证明：PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC； （2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的正切值． （1）证：因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°， 所以AB＝AD＝AC＝a， 在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2知PA⊥AB， 同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD． 因为＝＋＋＝2＋＋ ＝(＋)＋(＋)＝＋ ∴ 、、共面． PB平面EAC，所以PB∥平面EAC． （2） 解：作EG∥PA交AD于G，由PA∥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角． 又E是PD的中点，从而G是AD的中点，EG＝a，AG＝a，GH＝AG sin 60°＝a， 所以tanθ＝． 1．判定两个平面平行的方法：(1)定义法；(2)判定定理． 2．正确运用两平面平行的性质． 3．注意线线平行，线面平行，面面平行的相互转化：线∥线线∥面面∥面． 第7课时 两个平面垂直 1．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为 二面角，则这两个平面互相垂直． 2．两个平面垂直的判定：如果一个平面 有一条直线 另一个平面，则这两个平面互相垂直． 3．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面 的垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面． 4．异面直线上两点间的距离公式：EF＝，其中：d是异面直线a、b的 ，θ为a、b ，m、n分别是a、b上的点E、F到 AA'与a、b的交点A，A'的距离． 例1 如图所示，在四面体S－ABC中，SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°． 求证：平面ABC⊥平面BSC． 证明：略 变式训练1：如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC． ⑴ 求证：AB⊥BC； ⑵ 若设二面角S－BC－A为45°， SA＝BC，求二面角A－SC－B的大小． 证明：(1) 作AH⊥SB于H，则AH⊥平面SBC ∴AH⊥BC， 又SA⊥BC ∴BC⊥平面SAB ∴BC⊥AB (2) ∠SBA是二面角S－BC－A的平面角，∠SBA＝45°，作AE⊥SC于E，连结EH，EH⊥SC，∠AEH为所求二面角的平面角，∠AEH＝60° 例2.在120°的二面角P－a－Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B，已知点A和点B到棱a的距离分别是2和4，且线段AB＝10，求： (1) 直线AB和棱a所成的角； (2) 直线AB和平面Q所成的角． 答案：(1) arc sin (2) arc sin 变式训练2：已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，点E为AB中点，点F为PD中点． （1） 证明：平面PED⊥平面PAB； （2） 求二面角P－AB－F的平面角的余弦值． （1）证明：连BD．∵AB＝AD，∠DAB＝60°， ∴△ADB为等边三角形，∴E是AB中点．∴AB⊥DE，∵PD⊥面ABCD，AB面ABCD，∴AB⊥PD． ∵DE面PED，PD面PED，DE∩PD＝D， ∴AB⊥面PED，∵AB面PAB．∴面PED⊥面PAB． （2）解：∵AB⊥平面PED，PE面PED，∴AB⊥PE．连结EF，∵ EF面PED，∴AB⊥EF． ∴ ∠PEF为二面角P－AB－F的平面角． 设AD＝2，那么PF＝FD＝1，DE＝． 在△PEF中，PE＝，EF＝2，PF＝1 ∴cos∠PEF＝ 即二面角P－AB－F的平面角的余弦值为． 例3.如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P－CD－B为45°． ⑴ 求证：AF∥平面PEC； ⑵ 求证：平面PEC⊥平面PCD； ⑶ 设AD＝2，CD＝2，求点A到面PEC的距离． 证明：(1) 取PC的中点G，易证EG∥AF，从而AF∥平面PEC (2) 可证EG⊥平面PCD (3) 点A到平面PEC的距离即F到平面PEC的距离，考虑到平面PEC⊥平面PCD，过F作FH⊥PC于Ｈ，则FH即为所求，由△PFH～△PCD得FH＝1 变式训练3：如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD． ⑴ 证明：AB⊥平面VAD； ⑵ 求面VAD与面VDB所成的二面角的大小． （1）证明： 平面VAD⊥平面ABCD AB⊥AD AB⊥平面VAD AB平面ABCD AD＝平面VAD∩平面ABCD （2）解：取VD的中点E，连结AE、BE． ∵△VAD是正三角形，∴AE⊥VD，AE＝AD． ∵AB⊥平面VAD，∴AB⊥AE． 又由三垂线定理知BE⊥VD． 于是tan ∠AEB＝＝, 即得所求二面角的大小为arc tan 例4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，AB⊥BC，CB＝3，AB＝4，∠A1AB＝60°. ⑴ 求证：平面CA1B⊥平面A1ABB1； ⑵ 求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值； (3) 求点C1到平面A1CB的距离．[来源: ] 证( 1) 因为四边形BCC1B1是矩形， 又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面A1ABB1． （2）过A1作A1D⊥B1B于D，连结DC， ∵BC⊥平面A1ABB1，∴BC⊥A1D． ∴ A1D⊥平面BCC1B1， 故∠A1CD为直线A1C与平面BCC1B1所成的角， 在矩形BCC1B1中，DC＝，因为四边形A1ABB1是菱形． ∠A1AB＝60°，CB＝3，AB＝4，∴ A1D＝2 ∴ tan∠A1CD＝． （3）∵ B1C1∥BC，∴B1C1∥平面A1BC． ∴ C1到平面A1BC的距离即为B1到平面A1BC的距离． 连结AB1，AB1与A1B交于点O，∵四边形A1ABB1是菱形，∴B1O⊥A1B． ∵ 平面CA1B⊥平面A1ABB1，∴B1O⊥平面A1BC， ∴ B1O即为C1到平面A1BC的距离． ∵B1O＝2 ∴ C1到平面A1BC的距离为2． 变式训练4：如果在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD． ⑴ 若G为AD边的中点，求证BG⊥平面PAD； ⑵ 求证AD⊥PB； ⑶ 求二面角A－BC－P的大小； ⑷ 若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F， 使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论． 答案 (1) 略 (2) 略 (3) 45° (4) F为PC的中点 在证明两平面垂直时，一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加，在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后再转化为线线垂直．“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化是解决这类问题的关键． 第8课时 空间的角 1．两异面直线所成的角：直线a、b是异面直线，经过空间一点O分别引直线a' a，b' b，把直线a'和b'所成的 或 叫做两条异面直线a、b所成的角，其范围是 ． 2．直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 角，叫做这条斜线和平面所成的角． 规定： ① 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 角；② 一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是 角． 其范围是 ． 公式：cosθ＝cosθ1cosθ2，其中，θ1是 ，θ2是 ，θ是 ． 3．二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角． 4．二面角的平面角：以二面角的棱上 一点为端点，在两个面内分别作 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，其范围是 ． 例1. 如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点． （1）求EF与平面PAD所成角的大小； （2）求EF与CD所成角的大小； （3）若∠PDA＝45°，求：二面角F—AB—D的大小． 解：(1)易知EF∥平面PAD，故EF与平面PAD成角为0°； (2)易知EF⊥CD，故EF与CD成角为90°； (3)取AC中点为0，则∠FEO为所求二面角的平面角，易求得∠FEO＝45°． 变式训练1：如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，若二面角C1 —BD—C的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成 的角的大小． 答案：arccos 例2. 在等腰梯形ABCD中，AB＝20，CD＝12，它的高为2，以底边的中垂线MN为折痕，将梯形MBCN折至MB1C1N位置，使折叠后的图形成120°的二面角，求： ⑴ AC1的长； ⑵ AC1与MN所成的角； ⑶ AC1与平面ADMN所成的角． 答案：(1) 16 (2) arcsin (3) arcsin 变式训练2：已知四边形ABCD内接于半径为R的⊙O，AC为⊙O的直径，点S为平面ABCD外一点，且SA⊥平面ABCD，若∠DAC＝∠ACB＝∠SCA＝30°，求： ⑴ 二面角S－CB－A的大小； ⑵ 直线SC与AB所成角的大小． 答案：(1) arctan (2) arccos 例3. △ABC和△DBC所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°．求： ⑴ AD与平面DBC所成的角； ⑵ 二面角A－BD－C的正切值． 解：(1) 作AE⊥BC交BC的延长线于E， 由面ABC⊥面BCD知AE⊥向BCD，∠ADE即为所求，求得∠ADE＝45° (2) 作EF⊥BO于F，∠AFE即为所求，求得tan∠AFE＝2 变式训练3：正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC中点． ⑴ 求证：平面BEC1⊥平面ACC1A1； ⑵ 求证：AB1∥平面BEC1； ⑶ 若，求二面角E－BC1－C的大小． 答案：(1) 略 (2) 略 (3) 45° 例4: 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝a，AA1＝2AB，M为CC1上的点.(1) 当M在C1C上的什么位置时，B1M与平面AA1C1C所成的角为30°； (2) 在(1)的条件下，求AM与A1B所成的角. 解(1) 取A1C1的中点N1，连结B1N1，N1M， 由已知易知B1N1⊥平面A1C1CA. ∴∠B1MN1为B1M与平面A1C1CA所成的角， 设C1M＝x，B1N1＝a. sin < B1MN1＝, 解得x＝a， 则C1M＝C1C, ∴M为C1C的中点. (2) arccos 变式训练4：已知正方形ABCD，E、F分别是边AB、 CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图所示，记二 面角A—DE—C的大小为，若△ACD 为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G 是否在直线EF上，证明你的结论，并求角的余弦值． 解：点A在平面BCDE内的射影在直线EF上， 过点A作AG⊥平面BCDE，垂足为G， 连结GC、GD． ∵△ACD为正三角形， ∴AC＝AD，∴GC＝GD， ∴G在CD的垂直平分线上，又∵EF是CD的垂直平分线， ∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，过G作GH⊥ED，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE．∴∠AHG是二面角A—DE—C的平面角，即∠AHG＝， 设原正方形ABCD的边长为2a，由直角三角形的射影定理， 可得AH＝，GH＝， ∴． 1．两异面直线所成角的作法： ① 平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线； ② 补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的是容易作出两条异面直线所成的角． 2．作出直线和平面所成角的关键是作垂线，找射影． 3．平面角的作法： ① 定义法；② 三垂线法；③ 垂面法． 4．二面角计算，一般是作出平面角后，通过解三角形求出其大小，也可考虑利用射影面积公式 S'＝Scosθ来求． 5．空间角的计算有时也可以利用向量的求角公式完成． 第9课时 空间距离 1．点与点的距离：两点间 的长． 2．点与线的距离：点到直线的 的长． 3．平行线间的距离：从两条平行线中一条上 一点向另一条引垂线，这点到 之间的线段长． 4．点与面的距离：点到平面的 的长． 5．平行于平面的直线与平面的距离：直线上 一点到平面的 的长． 6．两个平行平面间的距离：从其中一个平面上 一点向另一个平面引垂线，这点到 之间的线段长． 7．两条异面直线的距离：与两条异面直线都 的直线夹在两 间线段的长． 例1. 已知正六边形ABCDEF的边长为a，PA⊥平面AC，PA＝a．求： ⑴ P到直线BC的距离； ⑵ P到直线CD的距离． 答案：(1)  (2) 2a 变式训练1： 已知平面外不共线的三点A、B、C到α的距离相 等．求证：存在△ABC的一条中位线平行α或在α内． 提示：分A、B、C在的同侧与异侧讨论 例2．如图， 直线l上有两定点A、B， 线段AC⊥l，BD⊥l， AC＝BD＝a，且AC与BD成120°角，求AB与CD间的距离． 解：在面ABC内过B作BE⊥l于B，且BE＝AC， 则ABEC为矩形． ∴AB∥CE，∴AB∥平面CDE． 则AB与CD的距离即为B到DE的距离． 过B作BF⊥DE于F，易求得BF＝，∴AB与CD的距离为． 变式训练2：ABCD是边长为a的正方形，M、N分别为DA、BC边上的点，且MN∥AB交AC于O点，沿MN折成直二面角． ⑴ 求证：不论MN怎样平行移动(AB∥MN)，∠AOC的大小不变； ⑵ 当MN在怎样的位置时，点M到平面ACD的距离最大？ 并求出这个最大值．[来源: ] 解(1) 120°； (2) 当且仅当MA＝MD时，点M到平面ACD的距离最大，最大值为a． 设MD＝x，M到AD的距离h即是M到平面ACD的距离： h＝≤＝≤a(当x＝时两不等式同取等号) 例3. 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，GC＝2，求点B到平面EFG的距离． 解：连结AC、BD、AC∩BD＝0， ∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EF∥BD， ∴B到平面EFG的距离即0到平面EFG的距离，AC∩EF＝K，连结KG， ∵EF⊥KC，∴EF⊥平面KGC，过O作OH⊥KG于H，则OH⊥平面EFG， ∴OH即为O到平面EFG的距离，KC＝AC＝3，KG＝，OK＝AC＝，由Rt△OHK∽Rt△CKG得OH＝． 变式训练3：正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，Ｅ、F分别是BB1、CD的中点. ⑴ 求证：AD⊥D1F； ⑵ 求证：AE与D1F所成的角； ⑶ 求点F到平面A1D1E的距离． 答案：(1) 略 (2) 90° (3)将F移至AB中点研究． 例4．在正北方向的一条公路上，一辆汽车由南向北行驶，速度为100千米/小时，一架飞机在一定高度上的一条直线上飞行，速度为100千米/小时，从汽车里看飞机，在某个时刻看见飞机在正西方向，仰角为30°，在36秒后，又看见飞机在北偏西30°、仰角为30°处，求飞机飞行的高度. 解：如图A、C分别是汽车、飞机开始时的位置， B、D分别是经过36秒后的位置，ABEF是水平面， CFED是矩形，且CD＝×100＝(千米)， AB＝×100＝1千米，CF(或DE)则为飞机的飞行高度，设其为x千米，在Rt△CFA中，AF＝x；在Rt△DEB中，BE＝x. 作EG⊥AB于G，EH⊥AF于H，则EG＝AH＝x，EH＝AG＝1＋，FH＝x. 在Rt△FHE中，EF2＝FH2＋EH2，即()2＝(x) 2＋(1＋)2，∴ x＝1. 故飞机飞行的高度为1千米． 变式训练4：如图，四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形． （1）若点D到平面ABC的距离不小于3，求二面角A—BC—D的取值范围； （2）当二面角A—BC—D的平面角为时，求点C到平面ABD的距离． 解(1)(提示：D到平面ABC的距离d∈[3，] ) (2)取BC中点E，连结EA、ED，则∠AED＝ ∴AD＝AE＝ ∵ 又，设C到平面ABD的距离为h． 则 1．对于空间距离的重点是点到直线、点到平面的距离，对于两异面直线的距离一般只要求会求给出公垂线段时的距离． 2、求点到平面的距离的方法： ⑴ 确定点在平面射影的位置，要注意利用面面垂直求作线面垂直及某些特殊性质． ⑵ 转化法．即化归为相关点到平面的距离或转化为线面距或转化为面面距来求. (3) 等体积法：利用三棱锥的体积公式，建立体积相等关系求出某底上的高，即点面距. 3．距离问题有时也可以利用向量的模的计算解决．具体见第11节的小结4、5两点. 第10课时 棱柱 棱锥 一、棱柱 1．定义：如果一个多面体有两个面互相 ，而其余每相邻两个面的交线互相 ，这样的多面体叫做棱柱，两个互相平行的面叫做棱柱的 ，其余各面叫做棱柱的 ，两侧面的公共边叫做棱柱的 ，两个底面所在平面的公垂线段，叫做棱柱的 ． 2．性质：① 侧棱 ，侧面是 ；② 两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的 多边形；③ 过不相邻的两条侧棱的截面是 四边形． 3．分类：① 按底面边数可分为 ；② 按侧棱与底面是否垂直可分为： 棱柱   4．特殊的四棱柱：四棱柱→平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体． 5．长方体对角线的性质：长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的 ． 二、棱锥 1．定义：如果一个多面体的一个面是 ，其余各面是有一个公共顶点的 ，那么这个多面体叫做棱锥，有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的 ；余下的那个多边形，叫做棱锥的 ．两个相邻侧面的公共边，叫做棱锥的 ，各侧面的公共顶点，叫做棱锥的 ；由顶点到底面所在平面的垂线段，叫做棱锥的 ． 2．性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面 ，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ． 3．正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是 多边形，且顶点在底面的射影是底面的 ，这样的棱锥叫做正棱锥． 4．正棱锥的性质： ① 正棱锥各侧棱 ，各侧面都是 的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高 （它叫做正棱锥的 ）； ② 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个 三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影组成一个 三角形． 例1．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2， 点E为CC1的中点，点F为BD1的中点. ⑴ 证明：EF为BD1与CC1的公垂线； ⑵ 求点F到面BDE的距离. 答案(1)略； (2)  变式训练1：三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝a， BC、AC、AA1长均为a，A1在底面ABC上的射影O在AC上． ⑴ 求AB与侧面AC1所成的角； ⑵ 若O点恰是AC的中点，求此三棱柱的侧面积． 答案(1) 45°；(2)  例2. 如图，正三棱锥P—ABC中，侧棱PA与底面ABC成60°角． （1）求侧PAB与底面ABC成角大小； （2）若E为PC中点，求AE与BC所成的角； （3）设AB＝，求P到面ABC的距离． 解：(1)； (2)取PB中点F，连结EF，则∠AEF为所求的角，求得∠AEF＝； (3)P到平面ABC的距离为． 变式训练2： 四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点， CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝. （1）求证：AO⊥平面BCD； （2）求异面直线AB与CD所成的角； （3）求点E到平面ACD的距离． 答案：(1)易证AO⊥BD，AO⊥OC，∴AO⊥平面BCD； (2)；(3)用等体积法或向量法可求得点E到平面ACD的距离是． 例3. 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB＝2，CD＝1，∠DAB＝45°；侧面PAD是等腰直角三角形，AP＝PD，且平面PAD⊥平面ABCD． ⑴ 求证：PA⊥BD； ⑵ 求PB与底面ABCD所成角的正切值； ⑶ 求直线PD与BC所成的角． 答案：(1)略；(2)；(3)60° 变式训练3：在所有棱长均为a的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点． ⑴ 求证：AD⊥BC1； ⑵ 求二面角A－BC1－D的大小； ⑶ 求点C到平面ABC1的距离． 提示：(1)证AD⊥平面BB1C1C；(2) arc tan；(3) a． 例4．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝1，M为AB的中点，A1D＝3DB1． （1）求证：平面CMD⊥平面ABB1A1； （2）求点A1到平面CMD的距离； （3）求MD与B1C1所成角的大小． 提示(1)转证CM⊥平面A1B； (2)过A1作A1E⊥DM，易知A1E⊥平面CMD，∴求得A1E＝1； (3)异面直线MD与B1C1所成的角为 变式训练4：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝，O为对角线A1C的中点． ⑴ 求OD与底面ABCD所成的角的大小； ⑵ P为AB上一动点，当P在何处时，平面POD⊥平面A1CD？并证明你的结论． 答案(1) 30°；(2) 当P为AB的中点时，平面POD⊥平面A1CD． 柱体和锥体是高考立体几何命题的重要载体，因此，在学习时要注意以下三点． 1．要准确理解棱柱、棱锥的有关概念，弄清楚直棱柱、正棱锥概念的内涵和外延． 2．要从底面、侧面、棱(特别是侧棱)和截面(对角面及平行于底面的截面)四个方面掌握几何性质，能应用这些性质研究线面关系． 3．在解正棱锥问题时，要注意利用四个直角三角形，其中分别含有九个元素(侧棱、高、侧棱与斜高在底面上的射影、侧棱与侧面与底面所成角、边心距以及底面边的一半)中的三个，已知两个可求另一个． 第11课时 球 1．球：与定点的距离 或 定长的点的集合． 2．球的性质 (1) 用一个平面去截一个球，截面是 ． (2)球心和截面圆心的连线 于截面． (3) 球心到截面的距离与球半径及截面的半径有以下关系： ． (4) 球面被经过球心的平面截得的圆叫 ．被不经过球心的平面截得的圆叫 ． (5) 在球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长，这个弧长叫 ． 3．球的表面积公式和体积公式：设球的半径为R，则球的表面积S＝ ；球的体积V＝ ． 例1. 如图，A、B、C是半径为1的球面上的三点，B、C两点间的球面距离为，点A与B、C两点的球面距离都为，O为球心，求： (1) 的大小； (2) 球心O到截面ABC的距离．  解：(1) 因为B、C两点的球面距离为，即B、C两点与球心连线所夹圆心角为，点A与B、C两点的球面距离都为，即均为直角，所以 (2) 因为⊿BOC，⊿ABC都是等腰三角形，取BC的中点M，连OM，AM，过O作OH⊥AM于H，可证得OH即为O到截面ABC的距离．  变式训练1： 球面上有三点A、B、C，A和B及A和C之间的球面距离是大圆周长的，B和C之间的球面距离是大圆周长的，且球心到截面ABC的距离是，求球的体积． 解：设球心为O，由已知，易得∠AOB＝∠AOC＝，∠BOC＝，过O作OD⊥BC于D，连AD，再过O作OE⊥AD于E，则OE⊥平面ABC于E，∴OE＝. 在Rt△AOD中，由AD·OE＝AO·ODOA＝R＝1.∴ V球＝πR3＝π． 例2. 如图，四棱锥A－BCDE中，，且AC⊥BC，AE⊥BE． (1) 求证：A、B、C、D、E五点都在以AB为直径的同一球面上； (2) 若求B、D两点间的球面距离．  解：(1) 因为AD⊥底面BCDE，所以AD⊥BC，AD⊥BE，又因为AC⊥BC，AE⊥BE，所以BC⊥CD，BE⊥ED．故B、C、D、E四点共圆，BD为此圆的直径． 取BD的中点M，AB的中点N，连接BD、AB的中点MN，则MN∥AD，所以MN⊥底面BCDE，即N的射影是圆的圆心M，有AM＝BM＝CM＝DM＝EM，故五点共球且直径为AB． (2) 若∠CBE＝90°，则底面四边形BCDE是一个矩形，连接DN，因为：  所以B、D两点间的球面距离是. 变式训练2：过半径为R的球面上一点M作三条两两互相垂直的弦MA、MB、MC． (1) 求证：MA2＋MB2＋MC2为定值； (2) 求△MAB，△MAC，△MBC面积之和的最大值． 解： (1) 易求得MA2＋MB2＋MC2＝4R2！ (2) S△MAB＋S△MAC＋S△MBC＝(MA·MB＋MA·MC＋MB·MC)≤(MA2＋MB2＋MC2)＝2R2(当且仅当MA＝MB＝MC时取最大值). 例3.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面（如图），则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ） A． B． C． D． 解：设正四面体为正四面体ABCD，分析截面图可知，截面经过正四面体的一条棱设为CD，又过球心，设截面与棱AB交于E点，则E为AB的中点，易求得截面三角形的面积为， 故选（C）． 变式训练3：已知三棱锥P－ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB. (1) 证明：PC⊥平面PAB； (2) 求二面角P－AB－C的平面角的余弦值； (3) 若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长. 解 (1) 连结CF，∵PE＝EF＝BC＝AC ∴AP⊥PC ∵CF⊥AB, PF⊥AB, ∴AB⊥平面PCF ∵AC平面PCF ∴PC⊥AB ∴PC⊥平面PAB. (2) ∵AB⊥PF, AB⊥CF ∴∠PFC为所求二面角的平面角 设AB＝a, 则PF＝EF＝, CF＝, ∴cos∠PFC＝. (3) 设PA＝x, 球半径为R ∵PC⊥平面PAB，PA⊥PB [来源: ] ∵4πR2＝12π, ∴R＝, 知△ ABC的外接圆为球之小圆，由x2＝x·2R. 得△ABC的边长为2. 1．因为“球”是“圆”在空间概念上的延伸，所以研究球的性质时，应注意与圆的性质类比． 2．球的轴截面是大圆，它含有球的全部元素，所以有关球的计算，可作出球的一个大圆，化“球”为“圆”来解决问题． 3．球心与小圆圆心的连线，垂直于小圆所在的平面，球的内部结构的计算也由此展开． 4．计算球面上A、B两点的球面距离是一个难点，其关键是利用“AB既是小圆的弦，又是大圆的弦”这一事实，其一般步骤是： (1) 根据已知条件求出小圆的半径r和大圆的半径R，以及所对小圆圆心角； (2) 在小圆中，由r和圆心角求出AB； (3) 在大圆中，由AB和R求出大圆的圆心角； (4) 由圆心角和R，求出大圆弧长AB (即球面上A、B两点的距离)． 立体几何初步单元测试 一、选择题 1． 若直线a、b异面，直线b、c异面，则a、c的位置关系是 （ ） A．异面直线 B．相交直线 C．平行直线 D．以上都有可能 2． 设l、m、n表示三条直线，α、β、r表示三个平面，则下面命题中不成立的是 （ ） A．若l⊥α，m⊥α，则l∥m B．若mβ，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n C．若mα，nα，m∥n，则n∥α D．若α⊥r，β⊥r，则α∥β 3． 在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点如果EF与HG交于点M，则（ ） A．M一定在直线AC上 B．M一定在直线BD上 C．M可能在AC上，也可能在BD上 D．M不在AC上，也不在BD上 4． 点P到ΔABC三边所在直线的距离相等，P在ΔABC内的射影为O，则O为ΔABC的（ ） A．外心 B．重心 C．内心 D．以上都不对 5． 已知ABCD为四面体，O为△BCD内一点（如图），则是O为△BCD重心的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件[来源: ] D．既不充分又不必要条件 6． 已知△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°，△ABC所在平面外一点P到此三角形三个顶点的距离都是14，则点P到平面ABC的距离是 （ ） A．7 B．9 C．11 D．13 7． A、B两地在同一纬线上，这两地间的纬线长为(Rcos(，（R是地球半径，(是两地的纬度数），则这两地间的球面距离为 （ ） A．(R B．(Rcos( C．(R(2(R D．(R((R 8． 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM所成的角为 （ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 9．空间四边形ABCD的各边与对角线的长都为1，点P在边AB上移动，点Q在CD上移动，则点P和Q的最短距离为 （ ） A． B． C． D． 10．若四面体的一条棱长为x，其余棱长为1，体积为F(x)，则函数F(x)在其定义域上 （ ） A．是增函数但无最大值 B．是增函数且有最大值 C．不是增函数且无最大值 D．不是增函数但有最大值 二、填空题 11．在长方形ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是 ． 12．正四棱锥S－ABCD的侧棱长为，底面的边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角为 ． 13．已知球的两个平行截面面积分别是5、8，它们位于球心的同侧，且相距为1，那么这个球的半径是 ． 14．已知PA、PB、PC两两垂直且PA＝，PB＝，PC＝2，则过P、A、B、C四点的球的体积为 ． 15．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2cm，高为4cm，过BC作一个截面，截面与底面ABC成60(角，则截面的面积是 ． 三、解答题 16．设P、Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心． (1) 证明：PQ∥平面AA1B1B； (2) 求线段PQ的长． [来源: ] 17．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AA1＝2，AB＝3，AD＝a，求 (1) 异面直线与所成的角； (2) 当为何值时，使？ 18．如图，正方体AC1中，已知O为AC与BD的交点，M为DD1的中点． (1) 求异面直线B1O与AM所成角的大小． (2) 求二面角B1－MA－C的正切值． 19．底面为等腰直角三角形的直三棱柱，，D为上的点，且，求二面角的大小． 20．如图，α⊥β,α∩β＝l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l上的射影为B1，已知AB＝2，AA1＝1，BB1＝，求： （1）直线AB与平面β所成角的大小； （2）二面角A1—AB—B1的大小． 21．直四棱柱A1B1C1D1—ABCD底面是边长为1的菱形，侧棱长为 (1) 求证：平面A1DC1⊥平面BB1DD1； (2) 若异面直线B1D与A1D1所成角为60°，求二面角A1－DB1－C1的平面角的余弦值； (3) 判断∠DB1C1能否为钝角？请说明理由. 立体几何初步单元测试参考答案： 1.D 2. D 3. D 4. C 5. C 6. A 7. C 8. D 9. B 10.D 11.  12.  13. 3 14.  15. . 16．（本题考查证明线面平行的方法）      证法二：连结AD1，AB1，在△AB1D1中，显然P，Q分别是AD1，D1B的中点 ∴PQ∥AB1，且PQ＝AB1 ∵ PQ面AA1B1B，AB1AA1B1B ∴ PQ∥面AA1B1B 证法三：取A1D1的中点R，则PR∥DD1∥BB1，OR∥A1B1，平面PQR∥平面AA1B1B，PQ∥平面AA1B1B (2) 方法一：PQ＝MN＝ 方法二：PQ＝AB1＝ 评注：本题提供了两种解法，方法一，通过平行四边形的对边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”；方法二，通过三角形的中位线与底边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”．本题证法较多． 17．解：以D为坐标原点，以DA为轴，DC为轴，为轴建立空间直角坐标系，则有：  所以，．从而  所以异面直线与所成的角为． (2) 当时，． 18．(1)  方法二：取AD中点N，连结A1N，则A1N是B1O在侧面ADD1A1上的射影. 易证AM⊥A1N ∴AM⊥B1O（三垂线定理） 方法三：建立空间真正坐标系（以A为原点，岔以AB、AD、AA为x轴、y轴、z轴，设正方体棱长为1） 则A(0, 0, 0)，M(0, 1, )，O(，，0)，B1(1, 0, 1)
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