解三角形 （一）正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. (二) 应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明． 第1课时 三角形中的有关问题 变式训练1：(1)
的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且
，则
（ ） A．
B．
C．
D．
解：B 提示：利用余弦定理 （2）在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ） A.
B.
C.
D.
解：C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解 （3）在△ABC中，已知
，
，则
的值为（ ） A
B
C
或
D
解：A 提示:在△ABC中，由
知角B为锐角 （4）若钝角三角形三边长为
、
、
，则
的取值范围是 ． 解：
提示：由
可得 （5）在△ABC中，
= ． 解：
提示：由面积公式可求得
，由余弦定理可求得
例3. 已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C． 解：由sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，得sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0， 所以sinB(sinA－cosA)＝0 ∵B∈(0, π), ∴sinB≠0, ∴cosA＝sinA，由A∈(0, π)，知A＝
从而B＋C＝
，由sinB＋cos2C＝0得sinB＋cos2(
－B)＝0 cos＝(
－2B)＝cos[2π－(
＋2B)]＝cos(
＋2B)＝－sin2B 得sinB－sin2B＝0，亦即sinB－2sinBcosB＝0，由此各cosB＝
，B＝
，C＝
∴A＝
B＝
C＝
变式训练3：已知△ABC中，2
（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圆半径为
. （1）求∠C； （2）求△ABC面积的最大值. 解：（1）由2
（sin2A－sin2C）=（a－b）·sinB得 2
（
－
）=（a－b）
. 又∵R=
，∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.∴cosC=
=
. 又∵0°＜C＜180°，∴C=60°. （2）S=
absinC=
×
ab=2
sinAsinB=2
sinAsin（120°－A） =2
sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+
sin2A =
sin2A－
cos2A+
=
sin（2A－30°）+
. ∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=
. 第2课时 应用性问题 1．三角形中的有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等）； ２．正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等； ３．实际问题中有关术语、名称． （1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角 （2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角． 例1．(1)某人朝正东方走
km后，向左转1500，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好
km，那么
等于 （ ） （A）
（B）
（C）
或
（D）3 解：C 提示：利用余弦定理 （2）甲、乙两楼相距
，从乙楼底望甲楼顶的仰角为
，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为
，则甲、乙两楼的高分别是 （ ） A
B
C
D
解：A （3）一只汽球在
的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A点处的俯角为
，汽球向前飞行了
后，又测得A点处的俯角为
，则山的高度为（ ）[来源:] A
B
C
D
解： B （4）已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A向北偏东
方向，B向西偏北
方向，若A的航行速度为25 nmi/h，B的速度是A的
，过三小时后，A、B的距离是 ． 解：90.8 nmi (5) 货轮在海上以40km/h的速度由B到C航行， 航向为方位角
，A处有灯塔， 其方位角
，在C处观测灯塔A的 方位角
，由B到C需航行半小时， 则C到灯塔A的距离是 解：
km 提示：由题意知
，利用余弦定理或解直角三角形可得 变式训练1：如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30
，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1
）？ 解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10×cos120°=700. 于是,BC=10
. ∵
, ∴sin∠ACB=
, ∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41° ∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援. 例2. 在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南
方向300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北
的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？ 解：设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km) 若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则
由余弦定理知
由于PO=300,PQ=20t
故

即
解得
答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时． 变式训练2：如图所示,海岛A周围38海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在B处测得岛A在船的南偏东
方向上，船航行30海里后，在C处测得岛A在船的南偏东
方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？ 解：由题意得，在△ABC中，BC=30，
，
[来源: ] 所以
，由正弦定理可知：

所以
， 于是A到BC所在直线的距离为

所以船继续向南航行无触礁危险。 例3. 如图所示，公园内有一块边长
的等边△ABC形状的三角地， 现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上， E在AC上. （1）设AD
，ED
，求用
表示
的函数关系式； （2）如果DE是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE的位置 应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的 位置又在哪里？请给予证明. 解：（1）在△ABC中，D在AB上，

S△ADE=
S△ABC

，在△ADE中，由余弦定理得：

（2）令
，则
则
令
， 则

；



有最小值
，此时DE∥BC，且

有最大值
，此时DE为△ABC 的边AB或AC的中线上. 变式训练3：水渠道断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为
，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角
应该是多少？ 解：设
，则
， 所以
设两腰与下底之和为
， 则



当且仅当
时，上式取等号，即当
时，上式取等号
，所以下角
时，梯形两腰及下底之和达到最小． 例4. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？ 解：设
，在△AOB中，由余弦定理得：

于是，四边形OACB的面积为 S=S△AOB+ S△ABC


因为
，所以当
，
，即
时， 四边形OACB面积最大． 变式训练4：如图所示，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东
的C处，12时20分测得船在海岛北偏西
的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？ 解：轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟， 而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB，设EB=
，则 则BC=4
，由已知得
在△AEC中，由正弦定理得：

在△ABC中，由正弦定理得：


在△ABE中，由余弦定理得：

所以船速
答：该船的速度为
km/h 解三角形章节测试题 一、选择题 1．在
中，
，
，
，则
的面积是（　　） A．
　　　　　B．
　　　　 C．
　　　 　D．
2．在
中，若
，则
的值为（　　） A．
　　 　　B．
　　　　 C．
　　　 D．
3．在
中，若
，则这个三角形中角
的值是（　　） A．
或
　　　B．
或
　　　C．
或
　　　D．
或
4．在
中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（　　） A．
，
，
　　　　B．
，
，
　 C．
，
，
　　　　 　D．
，
，
　 5．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程
的根，则第三边长是（　　） A．
　　　　　B．
　　　　 C．
　　　 　D．
6．在
中，如果
，那么角
等于（　　） A．
　　　　　B．
　　　　 C．
　　 　D．
7．在
中，若
，
，此三角形面积
，则
的值是（　　） A．
　　　　　B．
　　　　　C．
　　　　 D．
8．在△ABC中，AB=3，BC=
，AC=4，则边AC上的高为（ ） A．
　 　B．
C．
D．
9．在
中，若
，
，
，则（　　）[来源: ] A．
　 　B．
C．
　 D．
10．如果满足
，
，
的△ABC恰有一个，那么
的取值范围是（　　） A．
　B．
　C．
　D．
或
二、填空题 11．在
中，若
，则最大角的余弦值等于_________________．[来源: ] 12．在
中，
，
，
，则此三角形的最大边的长为____________________． 13．在
中，已知
，
，
，则
__________________． 14．在
中，
，
，
，则
_______________，
_______________． 三、解答题 15．△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长及△ABC的面积． 16．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosB＋ccosC＝acosA，试判断△ABC的形状． 17. 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北端东60°。若此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没有角礁的危险？ [来源: ] 18．如图，货轮在海上以35n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152o的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122o．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32o．求此时货轮与灯塔之间的距离． 19. 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m,速度为180km（千米）/h（小时）飞机先看到山顶的俯角为150，经过420s（秒）后又看到山顶的俯角为450，求山顶的海拔高度（取
＝1.4,
＝1.7）． 20．如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km处和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20 s后监测点C相继收到这一信号．在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1. 5 km/s. （1）设A到P的距离为
km，用
表示B,C到P 的距离，并求
值； （2）求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01 km）.
解三角形章节测试参考答案 1．C 2.B 3.D 4.D 5.B 6.B7.D. 8.B 9 A 10.D　 11．
12、
13、6或3 14、
　 15．在△ABC中，∠BAD＝150o－60o＝90o，∴AD＝2sin60o＝
． 在△ACD中，AD2＝(
)2＋12－2×
×1×cos150o＝7，∴AC＝
． ∴AB＝2cos60o＝1．S△ABC＝
×1×3×sin60o＝
． 16．∵ bcosB＋ccosC＝acosA，由正弦定理得：sinBcosB＋sinCcosC＝sinAcosA， 即sin2B＋sin2C＝2sinAcosA，∴2sin(B＋C)cos(B－C)＝2sinAcosA．∵A＋B＋C＝π， ∴sin(B＋C)＝sinA．而sinA≠0，∴cos(B－C)＝cosA，即cos(B－C)＋cos(B＋C)＝0， ∴2cosBcosC＝0．∵ 0＜B＜π，0＜C＜π，∴B＝
或C＝
，即△ABC是直角三角形． 17、解：过点B作BD⊥AE交AE于D 由已知，AC=8，∠ABD=75°，∠CBD=60° 在Rt△ABD中， AD=BD·tan∠ABD=BD·tan 75° 在Rt△CBD中， CD=BD·tan∠CBD=BD·tan60° ∴AD－CD=BD（tan75°－tan60°）=AC=8,…9分 ∴
∴该军舰没有触礁的危险。 18．在△ABC中，∠B＝152o－122o＝30o，∠C＝180o－152o＋32o＝60o，∠A＝180o－30o－60o＝90o，BC＝
，∴AC＝
sin30o＝
． 答：船与灯塔间的距离为
n mile． 19. 解：如图 ∵
150　
450　　　 ∴
300， AB= 180km（千米）/h（小时）
420s（秒） = 21000(m ) ∴在
中 ∴
∴
∵
， ∴
　　　＝

　　　＝
＝
　　　＝7350 山顶的海拔高度＝10000-7350=2650(米) 20．解：(1)依题意，PA－PB=1. 5 × 8=12 (km)，PC－PB=1.5×20=30（km ）． 因此 PB＝（x一12）km，PC=（18＋x）km. 在△PAB中，AB= 20 km，
同理，在△PAC中，
由于
即
解得
（km）． (2)作PD
a,垂足为D. 在Rt△PDA中， PD =PAcos∠APD=PAcos∠PAB =

（km）． 答：静止目标P到海防警戒线a的距离约为17. 71 km.

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