集合
（一）集合的含义与表示
1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.
2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。
（二）集合间的基本关系
1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
2．在具体情境中，了解全集与空集的含义.
（三）集合的基本运算
1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。
2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
3．能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算。
[来源:]
根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.
第1课时 集合的概念
一、集合
1．集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象 就成为一个集合，简称 ．集合中的每一个对象叫做这个集合的 ．
2．集合中的元素属性具有：
(1) 确定性； (2) ； (3) ．
3．集合的表示法常用的有 、 和韦恩图法三种，有限集常用 ，无限集常用 ，图示法常用于表示集合之间的相互关系．
二、元素与集合的关系
4．元素与集合是属于和 的从属关系，若a是集合A的元素，记作 ，若a不是集合B的元素，记作 ．但是要注意元素与集合是相对而言的．
三、集合与集合的关系
5．集合与集合的关系用符号 表示．
6．子集：若集合A中 都是集合B的元素，就说集合A包含于集合B（或集合B包含集合A），记作 ．
7．相等：若集合A中 都是集合B的元素，同时集合B中 都是集合A的元素，就说集合A等于集合B，记作 ．
8．真子集：如果 就说集合A是集合B的真子集，记作 ．
9．若集合A含有n个元素，则A的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个．
10．空集是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，是任何集合的 ，是任何非空集合的 ，解题时不可忽视．
例1. 已知集合，试求集合的所有子集.
解：由题意可知是的正约数，所以 可以是；相应的为
，即.
∴的所有子集为.
变式训练1.若a,bR,集合求b-a的值.
解：由可知a≠0，则只能a+b=0，则有以下对应关系：
①或 ②
由①得符合题意；②无解.所以b-a=2.
例2. 设集合，，，求实数a的值.[来源: ]
解：此时只可能，易得或。
当时，符合题意。
当时，不符合题意，舍去。
故。
变式训练2：（1）P＝{x|x2－2x－3＝0}，S＝{x|ax＋2＝0}，SP，求a取值？
（2）A＝{－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，BA,求m。
解：（1）a＝0,S＝，P成立 a0，S，由SP，P＝{3，－1}
得3a＋2＝0，a＝－或－a＋2＝0，a＝2； ∴a值为0或－或2.
（2）B＝，即m＋1>2m－1,m<2 ∴A成立.
??? B≠，由题意得得2≤m≤3
∴m<2或2≤m≤3 即m≤3为取值范围.
注：（1）特殊集合作用，常易漏掉
例3. 已知集合A={x|mx2-2x+3=0，m∈R}.
（1）若A是空集，求m的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求m的值；
（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围.
解： 集合A是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集.
(1)∵A是空集，∴方程mx2-2x+3=0无解.
∴Δ=4-12m<0,即m>.
（2）∵A中只有一个元素，
∴方程mx2-2x+3=0只有一个解.
若m=0，方程为-2x+3=0，只有一解x=;
若m≠0，则Δ=0，即4-12m=0,m=.
∴m=0或m=.
(3)A中至多只有一个元素包含A中只有一个元素和A是空集两种含义，根据（1）、（2）的结果，
得m=0或m≥.
变式训练3.（1）已知A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}且1∈A，求实数a的值；
（2）已知M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N，求a，b的值.
解：（1）由题意知：
a+2=1或(a+1)2=1或a2+3a+3=1，
∴a=-1或-2或0，根据元素的互异性排除-1，-2,∴a=0即为所求.
（2）由题意知,或或或
根据元素的互异性得或即为所求.
例4. 若集合A＝{2，4，}，B＝{1，a＋1，，、 }，且A∩B＝{2，5}，试求实数的值．
解:∵А∩В＝{2，5}，∴2∈A且5∈A，
则＝5(a－2)(a－1)(a＋1)＝0，
∴a＝－1或a＝1或a＝2．
当a＝－1时，B＝{1，0，5，2，4}，与A∩B＝{2，5}矛盾，∴a≠－1．
当a＝1时，B＝{1，2，1，5，12}，与集合中元素互异性矛盾，∴a≠1．
当a＝2时，B＝{1，3，2，5，25}，满足A∩B＝{2，5}．故所求a的值为2．
变式训练4.已知集合A＝{a，a＋d，a＋2d}，B＝{a，aq， }，其中a≠0，若A＝B，求q的值
解：∵A＝B
∴(Ⅰ)或 (Ⅱ)
由(Ⅰ)得q＝1，由(Ⅱ)得q＝1或q＝－．
当q＝1时，B中的元素与集合元素的互异性矛盾，
∴q＝－
1．本节的重点是集合的基本概念和表示方法，对集合的认识，关键在于化简给定的集合，确定集合的元素，并真正认识集合中元素的属性，特别要注意代表元素的形式，不要将点集和数集混淆．
2．利用相等集合的定义解题时，特别要注意集合中元素的互异性，对计算的结果要加以检验．
3．注意空集φ的特殊性，在解题时，若未指明集合非空，则要考虑到集合为空集的可能性．
4．要注意数学思想方法在解题中的运用，如化归与转化、分类讨论、数形结合的思想方法在解题中的应用．
第2课时 集合的运算
一、集合的运算
1．交集：由 的元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝ ．
2．并集：由 的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝ ．
3．补集：集合A是集合S的子集，由 的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集，记作，即＝ ．
二、集合的常用运算性质
1．A∩A＝ ，A∩＝ ，A∩B= ，B∩A，A∪A＝ ，
A∪＝ ，A∪B＝B∪A
2．＝ ，＝ ， ．
3． ，
，
4．A∪B＝A
A∩B＝A
例1. 设全集，方程有实数根，方程
有实数根，求.
解：当时，，即；
当时，即，且 ∴，
∴
而对于，即，∴.
∴
变式训练1.已知集合A=B=
（1）当m=3时，求；
（2）若AB，求实数m的值.
解： 由得∴-1＜x≤5,∴A=.
（1）当m=3时，B=，则=，
∴=.
(2)∵A=∴有42-2×4-m=0,解得m=8.
此时B=,符合题意，故实数m的值为8.
例2. 已知,或.
(1)若,求的取值范围;
(2) 若,求的取值范围.
解:(1), ∴，解之得.
(2) , ∴. ∴或， 或
∴若,则的取值范围是；若,则的取值范围是.
变式训练2：设集合A=B
（1）若AB求实数a的值；
（2）若AB=A，求实数a的取值范围；
（3）若U=R，A（）=A.求实数a的取值范围.
解:由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A=
（1）∵AB∴2B，代入B中的方程，
得a2+4a+3=0,∴a=-1或a=-3;
当a=-1时，B=满足条件；
当a=-3时，B=满足条件；
综上，a的值为-1或-3.
（2）对于集合B，
=4（a+1）2-4(a2-5)=8(a+3).
∵AB=A，∴BA,
①当＜0,即a＜-3时，B=，满足条件；
②当=0，即a=-3时，B，满足条件；
③当＞0，即a＞-3时，B=A=才能满足条件，
则由根与系数的关系得
即矛盾；
综上，a的取值范围是a≤-3.
（3）∵A（）=A，∴A，∴A
①若B=，则＜0适合；
②若B≠，则a=-3时，B=，AB=，不合题意；
a＞-3，此时需1B且2B，将2代入B的方程得a=-1或a=-3（舍去）；
将1代入B的方程得a2+2a-2=0
∴a≠-1且a≠-3且a≠-1
综上，a的取值范围是a＜-3或-3＜a＜-1-或-1-＜a＜-1或-1＜a＜-1+或a＞-1+.
例3. 已知集合A=B，试问是否存在实数a，使得AB 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
解:方法一 假设存在实数a满足条件AB=则有
（1）当A≠时，由AB=，B，知集合A中的元素为非正数，
设方程x2+(2+a)x+1=0的两根为x1,x2,则由根与系数的关系，得
（2）当A=时，则有=(2+a)2-4＜0，解得-4＜a＜0.
综上（1）、（2），知存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.
方法二 假设存在实数a满足条件AB≠，则方程x2+(2+a)x+1=0的两实数根x1，x2至少有一个为正，
因为x1·x2=1＞0，所以两根x1,x2均为正数.
则由根与系数的关系，得解得
又∵集合的补集为
∴存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.
变式训练3.设集合A={（x,y）|y=2x-1,x∈N*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,x∈N*}，问是否存在非零整数a,使A∩B≠？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由.
解：假设A∩B≠，则方程组
有正整数解，消去y,得ax2-(a+2)x+a+1=0.
由Δ≥0，有（a+2）2-4a(a+1)≥0,解得-.因a为非零整数，∴a=±1，
当a=-1时，代入（*），解得x=0或x=-1,
而x∈N*.故a≠-1.当a=1时，代入（*）,
解得x=1或x=2，符合题意.故存在a=1,使得A∩B≠,
此时A∩B={（1，1），（2，3）}.
例4. 已知A＝{x｜x2－2ax＋(4a－3)＝0，x∈R}，又B＝{x｜x2－2ax＋a2＋a＋2＝0，x∈R}，是否存在实数a，使得AB＝?若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由．
解：1-2 时,B=（m-1,2m+1）,要
只要.
综合，知m的取值范围是：m=-2或
20.证明(1).若A＝，则AB 显然成立；
若A≠，设t∈A，则f(t)＝t，f(f(t))＝f(t)＝t，即t∈B，从而 AB.
解 (2)：A中元素是方程f(x)＝x 即的实根.
由 A≠，知 a＝0 或
即
B中元素是方程
即 的实根
由AB，知上方程左边含有一个因式，即方程可化为
因此，要A＝B，即要方程
①
要么没有实根，要么实根是方程 ②的根.
若①没有实根，则，由此解得
若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有 ，代入①有 2ax＋1＝0.[来源: ]
由此解得，再代入②得 由此解得 .
故 a的取值范围是
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