平面向量
1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．
2．掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律．
3．掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件．
4．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．
5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．
6．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式．
7．掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．
向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．
主要考查：
1．平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则．
2．向量的坐标运算及应用．
3．向量和其它数学知识的结合．如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用．
4．正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．
第1课时 向量的概念与几何运算
1．向量的有关概念
⑴ 既有 又有 的量叫向量．
的向量叫零向量． 的向量，叫单位向量．
⑵ 叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量 ．[来源: ]
⑶ 且 的向量叫相等向量．
2．向量的加法与减法
⑴ 求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按 法则或 法则进行．加法满足 律和 律．
⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 ．
3．实数与向量的积
⑴ 实数与向量的积是一个向量，记作．它的长度与方向规定如下：
① | |＝ ．
② 当＞0时，的方向与的方向 ；
当＜0时，的方向与的方向 ；
当＝0时， ．
⑵ (μ)＝ ．
(＋μ)＝ ．
(＋)＝ ．
⑶ 共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得 ．
4．⑴ 平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得 ．
⑵ 设、是一组基底，＝，＝，则与共线的充要条件是 ．
例1．已知△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点．设，，求．
解：＝－＝(＋)－＝－＋
变式训练1.如图所示，D是△ABC边AB上的中点，则向量等于（ ）
A．－＋
B．－－
C．－
D．＋
解:A
例2. 已知向量，，，其中、不共线，求实数、，使．
解:＝λ＋μ2－9＝(2λ＋2μ)＋(－3λ＋3μ)2λ＋2μ＝2，且－3λ＋3μ＝－9λ＝2，且μ＝－1
变式训练2：已知平行四边形ABCD的对角线相交于O点，点P为平面上任意一点，求证：
证明 ＋＝2，＋＝2＋＋＋＝4
例3. 已知ABCD是一个梯形，AB、CD是梯形的两底边，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若，，试用、表示和．
解：连NC，则；
变式训练3：如图所示，OADB是以向量＝，＝为邻边的平行四边形，又＝，＝，试用、表示，，．
解:＝＋，＝＋，
＝－
例4. 设，是两个不共线向量，若与起点相同，t∈R，t为何值时，，t，(＋)三向量的终点在一条直线上？
解：设 (∈R)化简整理得：
∵，∴
故时，三向量的向量的终点在一直线上．
变式训练4：已知，设，如果
，那么为何值时，三点在一条直线上？
解：由题设知，，三点在一条
直线上的充要条件是存在实数，使得，即，
整理得.
①若共线，则可为任意实数；
②若不共线，则有，解之得，.
综上，共线时，则可为任意实数；不共线时，.
1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明．
2．注意与O的区别．零向量与任一向量平行．
3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥CD，需证∥，且AB与CD不共线．要证A、B、C三点共线，则证∥即可．
4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．
第2课时 平面向量的坐标运算
1．平面向量的坐标表示
分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x、y，使得＝x＋y．我们把(x、y)叫做向量的直角坐标，记作 ．并且||＝ ．
2．向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系．
3．平面向量的坐标运算：
若＝(x1、y1)，＝(x2、y2)，λ∈R，则：
＋＝
－＝
λ＝
已知A(x1、y1)，B(x2、y2)，则＝ ．
4．两个向量＝(x1、y1)和＝(x2、y2)共线的充要条件是 ．
例1.已知点A（2，3），B（－1，5），且＝，求点C的坐标．
解＝＝(－1，)，＝＝(1, )，即C(1, )
变式训练1.若，，则= .
解: 提示：
例2. 已知向量＝(cos，sin)，＝(cos，sin)，|－|＝，求cos(α－β)的值．
解:|－|＝＝cos＝cos(α－β)＝
变式训练2.已知－2＝(－3，1)，2＋＝(－1，2)，求＋．
解 ＝(－1，1)，＝(1，0)，∴＋＝(0，1)
例3. 已知向量＝(1, 2)，＝(x, 1)，＝＋2，＝2－，且∥，求x．
解:＝(1＋2x，4)，＝(2－x，3)，∥3(1＋2x)＝4(2－x)x＝
变式训练3.设＝(ksinθ, 1)，＝(2－cosθ, 1) (0 <θ<π)，∥，求证：k≥．
证明: k＝ ∴k－＝≥0 ∴k≥
例4. 在平行四边形ABCD中，A(1，1)，＝(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P．
(1) 若＝(3，5)，求点C的坐标；
(2) 当||＝||时，求点P的轨迹．
解：(1)设点C的坐标为(x0，y0)，
得x0＝10 y0＝6 即点C(10，6)[来源: ]
(2) ∵ ∴点D的轨迹为(x－1)2＋(y－1)2＝36 (y≠1)
∵M为AB的中点 ∴P分的比为
设P(x，y)，由B(7，1) 则D(3x－14，3y－2)
∴点P的轨迹方程为
变式训练4.在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝2，求的坐标．
解 已知A (0，1)，B (－3，4) 设C (0，5)，
D (－3，9)
则四边形OBDC为菱形 ∴∠AOB的角平分线是菱形OBDC的对角线OD
∵
∴
[来源: ]
1．认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．
2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．
第3课时 平面向量的数量积
1．两个向量的夹角：已知两个非零向量和，过O点作＝，＝，则∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量与的 ．当θ＝0°时，与 ；当θ＝180°时，与 ；如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作 ．
2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量 叫做与的数量积（或内积），记作·，即·＝ ．规定零向量与任一向量的数量积为0．若＝(x1, y1)，＝(x2, y2)，则·＝ ．
3．向量的数量积的几何意义：
||cosθ叫做向量在方向上的投影 (θ是向量与的夹角)．
·的几何意义是，数量·等于 ．
4．向量数量积的性质：设、都是非零向量，是单位向量，θ是与的夹角．
⑴ ·＝·＝
⑵ ⊥
⑶ 当与同向时，·＝ ；当与反向时，·＝ ．
⑷ cosθ＝ ．
⑸ |·|≤
5．向量数量积的运算律：
⑴ ·＝ ；
⑵ (λ)·＝ ＝·(λ)
⑶ (＋)·＝
例1. 已知||＝4，||＝5，且与的夹角为60°，求：(2＋3)·(3－2)．
解:(2＋3)(3－2)＝－4
变式训练1.已知||＝3，||＝4，|＋|＝5，求|2－3|的值．
解:
例2. 已知向量＝(sin，1)，＝(1，cos)，－．
(1) 若a⊥b，求；
(2) 求|＋|的最大值．
解：(1)若，则
即 而，所以
(2)
当时，的最大值为
变式训练2：已知，，其中． (1)求证： 与互相垂直； (2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)．
证明：
与互相垂直
（2）,
,
,,
而
，
例3. 已知O是△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，判断△ABC是哪类三角形．
解:设BC的中点为D，则()()＝02·＝0BC⊥AD△ABC是等腰三角形.
变式训练3：若，则△ABC的形状是 .
解: 直角三角形.提示：
例4. 已知向量＝(cosθ, sinθ)和＝(－sinθ, cosθ) θ∈(π, 2π)且||＝，求cos()的值.
解:＝(cosθ－sinθ＋, cosθ＋sinθ)由已知(cosθ－sinθ＋)2＋(cosθ＋sinθ)2＝
化简：cos
又cos2
∵θ∈(π, 2π) ∴cos<0
∴cos＝－
变式训练4.平面向量，若存在不同时为的实数和，使,且，试求函数关系式.
解：由得
1．运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题．因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法．
2．注意·与ab的区别．·＝0≠＞＝，或＝．
3．应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量，通过平移，使起点重合．
第4课时 线段的定比分点和平移
1． 设P1P2是直线L上的两点，点P是L上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数λ使＝λ，λ叫做 ．
2．设P1（x1、y1），P2（x2、y2），点P（x、y）分的比是λ时，定比分点坐标公式为：
，中点坐标公式： 。
3． 平移公式：将点P（x、y）按向量＝（h、k）平移得到点P'（x'，y'），则 ．
例1. 已知点A(－1, －4)，B(5, 2)，线段AB上的三等分点依次为P1、P2，求P1、P2的坐标及A、B分所成的比.
解 ⑴ P1(x－2) P2(3, 0) (2) －, －2
变式训练1.设|AB|＝5，点p在直线AB上，且|PA|＝1，则p分所成的比为 ．
解:
例2. 将函数y＝2sin（2x＋）＋3的图象C进行平移后得到图象C'，使C上面的一点P（、2）移至点P'（、1），求图像C'对应的函数解析式．
解: C'：y＝2sin(2x＋)＋2
变式训练2：若直线2x－y＋c＝0按向量＝(1, －1)平移后与圆x2＋y2＝5相切，则c的值为 （ ）
A．8或－2 B．6或－4
C．4或－6 D．2或－8
解: A
例3. 设＝(sinx－1, cosx－1)，，f (x)＝，且函数y＝f (x)的图象是由y＝sinx的图象按向量平移而得，求.
解:＝(－) (k∈z)
变式训练3：将y＝sin2x的图象向右按作最小的平移，使得平移后的图象在[kπ＋, kπ＋π] (k∈Z)上递减，则＝ ．
解:(，0)
例4. 已知△ABC的顶点A(0、0)，B(4、8)，C(6、－4)，点M内分所成的比为3，N是AC边上的一点，且△AMN的面积等于△ABC的面积的一半，求N点的坐标．
解:由＝
得
∴ N(4，－)
变式训练4.已知△ABC的三个顶点为A（1，2），B（4，1），C（3，4）．
(1)求AB边上的中线CM的长及重心G的坐标；
(2)在AB上取一点P，使过P且平行于BC的直线PQ把△ABC的面积分成4︰5两部分（三角形面积：四边形面积），求点P的坐标
解:
1．在运用线段定比分点公式时，首先要确定有向线段的起点、终点和分点，再结合图形确定分比．
2．平移公式反映了平移前的点P(x、y)和平移后的点P'(x'、y')，及向量＝(h，k)三者之间的关系．它的本质是＝．平移公式与图象变换法则，既有区别又有联系，应防止混淆．
平面向量章节测试题
一、选择题
1. 若A（2，-1），B（-1，3），则的坐标是 ( )
A.（1，2） B.（-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不对
2.与a=（4，5）垂直的向量是 ( )
A.（-5k,4k） B. (-10，2） C. () D.（5k, -4k）
3. △ABC中,=a, =b,则等于 ( )
A.a+b B.-(a+b) C.a-b D.b-a
4.化简(a－b)－(2a+4b)+(2a+13b)的结果是 ( )
A.ab B.0 C. a+b D. a－b
5.已知|p|=,|q|=3, p与q的夹角为,则以a=5p+2q,b=p－3q为邻边的平行四边形的一条对角线长为 ( )
A.15 B. C. 16 D.14
6.已知A(2,-2),B(4,3),向量p的坐标为(2k-1,7)且p∥,则k的值为 ( )
A. B. C. D.
7. 已知△ABC的三个顶点，A、B、C及平面内一点P满足，则点P与△ABC的关系是 ( )
A. P在△ABC的内部 B. P在△ABC的外部
C. P是AB边上的一个三等分点 D. P是AC边上的一个三等分点
8.已知△ABC的三个顶点，A (1,5)，B(-2,4)，C(-6,-4)，M是BC边上一点,且△ABM的面积是△ABC面积的,则线段AM的长度是 ( )
A.5 B. C. D.
9.设e1,e2是夹角为450的两个单位向量,且a=e1+2e2,b=2e1+e2,,则|a+b|的值 ( )
A. B.9 C. D.
10.若|a|=1,|b|=,(a-b)⊥a,则a与b的夹角为 ( )
A.300 B.450 C.600 D.750
11.把一个函数的图象按向量a=(,-2)平移后，得到的图象对应的函数解析式为y=sin(x+)-2,则原函数的解析式为 ( )
A.y=sinx B.y=cosx C.y=sinx+2 D.y= -cosx
12.在△ABC中，=c, = a, =b,则下列推导中错误的是 ( )
A.若a·b<0,则△ABC为钝角三角形 B. 若a·b=0,则△ABC为直角三角形
C. 若a·b=b·c,则△ABC为等腰三角形 D. 若c·( a+b+c)=0,则△ABC为等腰三角形
二、填空题
13.在△ABC中，已知且则这个三角形的形状是 .
14.一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，则船实际航行的速度的大小和方向是 .
15. 若向量,现用a、b表示c,则c= .
16.给出下列命题:①若a2+b2=0,则a=b=0;
②已知AB,则
③已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|
④已知,e1,e2是一组基底,a=λ1e1+λ2e2则a与e1不共线,a与e2也不共线;
⑤若a与b共线,则a·b=|a|·|b|.其中正确命题的序号是 .
三、解答题
17.如图,ABCD是一个梯形,, M、N分别是的中点,已知a,b,试用a、b表示和
18.设两个非零向量e1、e2不共线.如果=e1+e2,2e1+8e2,=3(e1-e2)
⑴求证:A、B、D共线;
⑵试确定实数k,使ke1+e2和e1+ke2共线.
19.已知△ABC中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD.⑴求证:AB⊥AC;⑵求点D与向量的坐标.
20.已知△ABC的三个顶点为A(1,2),B(4,1),C(3,4).⑴求AB边上的中线CM的长;⑵在AB上取一点P,使过P且平行与BC的直线PQ把的面积分成4:5两部分,求P点的坐标.
21.已知a、b是两个非零向量，证明：当b与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb的模取得最小值.
22.已知二次函数f(x) 对任意x∈R，都有f (1-x)=f (1+x)成立，设向量a=(sinx,2), b=(2sinx,),
c=(cos2x,1),d=(1,2)。
（1）分别求a·b和c·d的取值范围；
（2）当x∈[0,π]时，求不等式f(a·b)>f(c·d)的解集.
平面向量章节测试题参考答案
一、BCDBA；DDADB；BD
二、13.等边三角形；14.大小是4km/h,方向与水流方向的夹角为600 ; 15.a－2b ; 16.①③④
三、17.∵||=2||∴∴a,b－a , =a－b
18.⑴∵5e1+5e2= , ∴又有公共点B,∴A、B、D共线
⑵设存在实数λ使ke1+e2=λ(e1+ke2) ∴ k=λ且kλ=1 ∴k=[来源: ]
19.⑴由可知即AB⊥AC
⑵设D（x,y）,∴
∵ ∴5(x-2)+5(y-4)=0
∵ ∴5(x+1)－5(y+2)=0 ∴ ∴D()
20.⑴
⑵设P（x,y）
21. 当b与a+λb(λ∈R)垂直时，b·(a+λb)=0,∴λ= -
| a+λb |==
当λ= -时，| a+λb |取得最小值.
∴当b与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb的模取得最小值.
22. (1）a·b=2sin2x+11 c·d=2cos2x+11
（2）∵f(1-x)=f(1+x) ∴f(x)图象关于x=1对称
当二次项系数m>0时, f(x)在（1，）内单调递增，
由f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即2sin2x+1>2cos2x+1
又∵x∈[0,π] ∴x∈
当二次项系数m<0时,f(x)在（1，）内单调递减，
由f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即2sin2x+1<2cos2x+1
又∵x∈[0,π] ∴x∈、
故当m>0时不等式的解集为;当m<0时不等式的解集为
[来源: ]
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