第6讲 离散型随机变量的均值与方差
【2013年高考会这样考】
1．考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．
2．利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题．
【复习指导】
均值与方差是离散型随机变量的两个重要数字特征，是高考在考查概率时考查的重点，复习时，要掌握期望与方差的计算公式，并能运用其性质解题．
基础梳理
离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
两个防范
在记忆D(aX＋b)＝a2D(X)时要注意：D(aX＋b)≠aD(X)＋b，D(aX＋b)≠aD(X)．
三种分布
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；
(2)X～B(n，p)，则
E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；
(3)若X服从超几何分布，
则E(X)＝n.
六条性质
(1)E(C)＝C(C为常数)
(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a、b为常数)
(3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2
(4)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)E(X2)
(5)D(X)＝E(X2)－(E(X))2
(6)D(aX＋b)＝a2·D(X)
双基自测
1．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )．
A. B. C. D．2
解析 由题意知a＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a＝－1.
s2＝
＝2.
答案 D
2．已知X的分布列为
X
－1
0
1
P
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( )．
A. B．4 C．－1 D．1
解析 E(X)＝－＋＝－，
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
答案 A
3．(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.9
解析 x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6.①
又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化简得7x＋10y＝5.4.②
由①②联立解得x＝0.2，y＝0.4.
答案 A
4．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则( )．
A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4
C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45
解析 ∵X～B(n，p)，∴E(X)＝np＝1.6，
D(X)＝np(1－p)＝1.28，∴
答案 A
5．(2010·上海)随机变量ξ的概率分布列由下表给出：
ξ
7
8
9
10
P
0.3
0.35
0.2
0.15
该随机变量ξ的均值是________．
解析 由分布列可知E(ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.
答案 8.2
考向一 离散型随机变量的均值和方差
【例1】?A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：
对阵队员
A队队员胜的概率
A队队员负的概率
A1和B1
A2和B2
A3和B3
现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为X，Y
(1)求X，Y的分布列；(2)求E(X)，E(Y)．
[审题视点] 首先理解X，Y的取值对应的事件的意义，再求X，Y取每个值的概率，列成分布列的形式，最后根据期望的定义求期望．
解 (1)X，Y的可能取值分别为3,2,1,0.
P(X＝3)＝××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝0)＝××＝；
根据题意X＋Y＝3，所以
P(Y＝0)＝P(X＝3)＝，P(Y＝1)＝P(X＝2)＝，
P(Y＝2)＝P(X＝1)＝，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝.
X的分布列为
X
0
1
2
3
P
Y的分布列为
Y
3
2
1
0
P
(2)E(X)＝3×＋2×＋1×＋0×＝；
因为X＋Y＝3，所以E(Y)＝3－E(X)＝.
(1)求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列，然后利用公式计算．
(2)由X的期望、方差求aX＋b的期望、方差是常考题之一，常根据期望和方差的性质求解．
【训练1】 (2011·四川)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．
解 (1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.
记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则
P(A)＝×＋×＋×＝.
所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.
(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8.
P(ξ＝0)＝×＝；
P(ξ＝2)＝×＋×＝；
P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝；
P(ξ＝6)＝×＋×＝；
P(ξ＝8)＝×＝.
甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为
ξ
0
2
4
6
8
P
所以E(ξ)＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝.
考向二 均值与方差性质的应用
【例2】?设随机变量X具有分布P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4,5，求E(X＋2)2，D(2X－1)，.
[审题视点] 利用期望与方差的性质求解．
解 ∵E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝＝3.
E(X2)＝1×＋22×＋32×＋42×＋52×＝11.
D(X)＝(1－3)2×＋(2－3)2×＋(3－3)2×＋(4－3)2×＋(5－3)2×＝(4＋1＋0＋1＋4)＝2.
∴E(X＋2)2＝E(X2＋4X＋4)
＝E(X2)＋4E(X)＋4＝11＋12＋4＝27.
D(2X－1)＝4D(X)＝8，＝＝.
若X是随机变量，则η＝f(X)一般仍是随机变量，在求η的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算．
【训练2】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
(1)求X的分布列、期望和方差；
(2)若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．
解 (1)X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.
D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)由D(η)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.
又E(η)＝aE(X)＋b，
所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
∴或即为所求．
考向三 均值与方差的实际应用
【例3】?(2011·福建)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．
(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
X1
5
6
7
8
P
0.4
a
b
0.1
且X1的数学期望E(X1)＝6，求a，b的值；
(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．
(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：(1)产品的“性价比”＝；
(2)“性价比”大的产品更具可购买性．
[审题视点] (1)利用分布列的性质P1＋P2＋P3＋P4＝1及E(X1)＝6求a，b值．
(2)先求X2的分布列，再求E(X2)，(3)利用提示信息判断．
解 (1)因为E(X1)＝6，所以5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，即6a＋7b＝3.2.
又由X1的概率分布列得0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5.
由解得
(2)由已知得，样本的频率分布表如下：
X2
3
4
5
6
7
8
f
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：
X2
3
4
5
6
7
8
P
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
所以
E(X2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8.
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.
(3)乙厂的产品更具可购买性．理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为＝1.
因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为＝1.2.
据此，乙厂的产品更具可购买性．
解决此类题目的关键是将实际问题转化为数学问题，正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率，本题第(1)问中充分利用了分布列的性质p1＋p2＋…＋pn＋…＝1.
【训练3】 某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能
不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．
(1)如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求X的概率分布及E(X)；
(2)若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．
解 (1)依题意，X的可能取值为1,0，－1，
X的分布列为
X
1
0
－1
P
E(X)＝－＝.
(2)设Y表示10万元投资乙项目的收益，则Y的分布列为：
Y
2
－2
P
α
β
E(Y)＝2α－2β＝4α－2，依题意要求4α－2≥，
∴≤α≤1.
规范解答23——离散型随机变量的均值与方差的计算
【问题研究】 期望和方差是离散型随机变量的两个重要数学特征，是高考概率考查的重要知识点，常与排列组合、导数等知识相结合，对考查生的数学应用能力、数学表达能力、创新能力都进行了考查．
【解决方案】 (1)掌握好期望与方差的性质．(2)记住或理解一些特殊分布的均值与方差，如两点分布、二项分布等．(3)注意运算技巧，随机变量的均值与方差计算比较复杂，在运算时要注意一些运算技巧，如把问题归结为二项分布的期望与方差，运用期望与方差的性质简化运算，运算时注意一些项的合并．
【示例】?(本小题满分12分)甲、乙两架轰炸机对同一地面目标进行轰炸，甲机投弹一次命中目标的概率为，乙机投弹一次命中目标的概率为，两机投弹互不影响，每机各投弹两次，两次投弹之间互不影响．
(1)若至少两次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被摧毁的概率；
(2)记目标被命中的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．
对于第(1)问，甲、乙两机的投弹都是独立重复试验概型，根据至少两次命中分类求解，或使用间接法求解，注意运用相互独立事件同时发生的概率乘法公式；对于第(2)问，根据题意，随机变量ξ＝0,1,2,3,4，根据独立重复试验概型及事件之间的相互关系，计算其概率即可求出分布列，根据数学期望的计算公式求解数学期望．
[解答示范] 设Ak表示甲机命中目标k次，k＝0,1,2，Bl表示乙机命中目标l次，l＝0,1,2，则Ak，Bl独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有
P(Ak)＝Ck2－k，P(Bl)＝Cl2－l.
据此算得P(A0)＝，P(A1)＝，P(A2)＝.
P(B0)＝，P(B1)＝，P(B2)＝.(2分)
(1)所求概率为
1－P(A0B0＋A0B1＋A1B0)＝
1－＝1－＝.(4分)
(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且
P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝P(A0)·P(B0)＝×＝，
P(ξ＝1)＝P(A0B1)＋P(A1B0)＝×＋×＝，
P(ξ＝2)＝P(A0B2)＋P(A1B1)＋P(A2B0)＝×＋×＋×＝，(8分)
P(ξ＝3)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝×＋×＝，
P(ξ＝4)＝P(A2B2)＝×＝.(10分)
综上知，ξ的分布列如下：
ξ
0
1
2
3
4
P
从而ξ的期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.(12分)
概率问题的核心就是互斥事件、相互独立事件的概率计算、随机变量的分布以及均值等问题，并且都是以概率计算为前提的，在复习时要切实把握好概率计算方法．若本题第(2)问是单纯求随机变量ξ的数学期望，则可以直接根据二项分布的数学期望公式和数学期望的性质解答：令ξ1，ξ2分别表示甲、乙两机命中的次数，则ξ1～B，ξ2～B，故有E(ξ1)＝2×＝，E(ξ2)＝2×＝1，而知E(ξ)＝E(ξ1)＋E(ξ2)＝.
【试一试】 (2011·北京)(本小题共13分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．
(1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
(2)如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望．
(注：方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为x1，x2，…，xn的平均数)
解 (1)当X＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10，
所以平均数为：＝＝；
方差为：s2＝×[(8－)2＋(8－)2＋(9－)2＋(10－)2]＝.
(2)当X＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y＝17)＝＝.同理可得P(Y＝18)＝；P(Y＝19)＝；P(Y＝20)＝；P(Y＝21)＝.所以随机变量Y的分布列为：
Y
17
18
19
20
21
P
EY＝17×P(Y＝17)＋18×P(Y＝18)＋19×P(Y＝19)＋20×P(Y＝20)＋21×P(Y＝21)＝17×＋18×＋19×＋20×＋21×＝19.
[尝试解答] 由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在[－2,2]上递增，又f(x－4)＝－f(x)?f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)＜f(80)＜f(11)．故选D.
答案 D
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