方法技巧5 离散型随机变量的应用
【考情快递】 主要考查离散型随机变量的分布列、期望与方差的应用，常以解答题形式出现．
方法1：公式法
解题步骤
直接用公式计算离散型随机变量的分布列、期望与方差．
适用情况
适用于可直接用公式求解的问题.
【例1】?(2012·黄冈中学月考)某社区举办2010年上海世博会知识宣传活动，并进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”(世博会吉祥物)图案，参加者每次从盒中抽取两张卡片，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖．
(1)活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是.求抽奖者获奖的概率；
(2)现有甲、乙、丙、丁四个人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及E(ξ)，D(ξ)．
解 (1)设“世博会会徽”卡有n张，
由＝，得n＝6，故“海宝”卡有4张，
抽奖者获奖的概率为＝.
(2)由题意知，符合二项分布，且ξ～B，故ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck4－k(k＝0,1,2,3,4)或
ξ
0
1
2
3
4
P
4
C3
C22
C3
4
由ξ的分布列知，E(ξ)＝4×＝，
D(ξ)＝4××＝.
方法2：方程法
解题步骤
利用题干条件列方程；
②利用方程计算概率问题．
适用情况
适用于基本事件的个数可以用集合理论来说明的问题.
【例2】?某工厂在试验阶段生产出了一种零件，该零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．
(1)求一个零件经过检测，为合格品的概率是多少？
(2)依次任意抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？
(3)依次任意抽取该零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求Eξ与Dξ.
解 (1)设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2，由题意得：
解得或所以P＝P1P2＝，
即一个零件经过检测，为合格品的概率为.
(2)任意抽出5个零件进行检测，其中至多3个零件是合格品的概率为1－C5－C5＝.
(3)依题意知ξ～B，
故E(ξ)＝4×＝2，D(ξ)＝4××＝1.
方法运用训练5
1．(2011·雅礼中学英特班质检)A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片．规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止．设X表示游戏终止时掷硬币的次数．
(1)求X的取值范围；
(2)求X的数学期望E(X)．
解 (1)设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，
则可得：
当m＝5，n＝0或m＝0，n＝5时，x＝5.
当m＝6，n＝1或m＝1，n＝6时，X＝7.
当m＝7，n＝2或m＝2，n＝7时，X＝9.
所以X的所有可能取值为：5,7,9.
(2)P(X＝5)＝2×5＝＝；
P(X＝7)＝2C7＝；
P(X＝9)＝1－－＝；
E(X)＝5×＋7×＋9×＝.
2．甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空，比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止，设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立，求：
(1)打满3局比赛还未停止的概率；
(2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E(ξ)．
解 令Ak，Bk，Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜．
(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为
P(A1C2B3)＋P(B1C2A3)＝＋＝.
(2)ξ的所有可能值为2,3,4,5,6，且
P(ξ＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝＋＝，
P(ξ＝3)＝P(A1C2C3)＋P(B1C2C3)＝＋＝，
P(ξ＝4)＝P(A1C2B3B4)＋P(B1C2A3A4)
＝＋＝，
P(ξ＝5)＝P(A1C2B3A4A5)＋P(B1C2A3B4B5)
＝＋＝，
P(ξ＝6)＝P(A1C2B3A4C5)＋P(B1C2A3B4C5)
＝＋＝，
故有分布列
ξ
2
3
4
5
6
P
从而E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝(局)．
3．在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
ξ
0
2
3
4
5
P
0.03
P1
P2
P3
P4
(1)求q2的值；
(2)求随机变量ξ的数学期望E(ξ)；
(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．
解 (1)设该同学在A处投中为事件A，
在B处投中为事件B，则事件A，B相互独立，
且P(A)＝0.25，P()＝0.75，P(B)＝q2，P()＝1－q2.
根据分布列知ξ＝0时，P( )＝P()P()P()
＝0.75(1－q2)2＝0.03，所以1－q2＝0.2，q2＝0.8.
(2)当ξ＝2时，P1＝P(B＋ B)＝P(B)＋P( B)
＝P()P(B)P()＋P()P()P(B)
＝0.75q2(1－q2)×2＝1.5q2(1－q2)＝0.24.
当ξ＝3时，P2＝P(A )＝P(A)P()P()＝0.25(1－q2)2＝0.01，
当ξ＝4时，P3＝P(BB)＝P()P(B)P(B)＝0.75q＝0.48，
当ξ＝5时，P4＝P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)
＝P(A)P()P(B)＋P(A)P(B)＝0.25q2(1－q2)＋0.25q2＝0.24，
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
2
3
4
5
P
0.03
0.24
0.01
0.48
0.24
随机变量ξ的数学期望
E(ξ)＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.
(3)该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为
P(BB＋BB＋BB)＝P(BB)＋P(BB)＋P(BB)
＝2(1－q2)q＋q＝0.896；
该同学选择(1)中方式投篮得分超过3分的概率为0.48＋0.24＝0.72.
由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大．
4．(2011·效实中学1次月考)一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.
(1)若袋中共有10个球，①求白球的个数；②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E(ξ)．
(2)求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于.并指出袋中哪种颜色的球个数最少．
(1)解 ①记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，
则P(A)＝1－＝，得到x＝5.故白球有5个．
②随机变量ξ的取值为0,1,2,3，
由于P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝，
ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P
ξ的数学期望E(ξ)＝×0＋×1＋×2＋×3＝.
(2)证明 设袋中有n个球，其中y个黑球，
由题意得y＝n，由2y＜n,2y≤n－1，所以≤.
记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则P(B)＝＝＋·＝＋·≤＋×＝.
所以白球的个数比黑球多，白球个数多于n，红球的个数少于.故袋中红球个数最少．
高考资源网
w。w-w*k&s%5￥u
高考资源网
w。w-w*k&s%5￥u
【点此下载】