第4讲 数学归纳法
【2013年高考会这样考】
1．数学归纳法的原理及其步骤．
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
【复习指导】
复习时要抓住数学归纳法证明命题的原理，明晰其内在的联系，把握数学归纳法证明命题的一般步骤，熟知每一步之间的区别联系，熟悉数学归纳法在证明命题中的应用技巧．
基础梳理
1．归纳法
由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法．
2．数学归纳法
(1)数学归纳法：设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合，如果：①证明起始命题P1(或P0)成立；②在假设Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以断定{Pn}对一切正整数成立．
(2)用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：
①归纳奠基：证明当取第一个自然数n0时命题成立；
②归纳递推：假设n＝k，(k∈N*，k≥n0)时，命题成立，证明当n＝k＋1时，命题成立；
③由①②得出结论．
两个防范
数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据”，两个步骤缺一不可，在证明过程中要防范以下两点：
第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．
(2)第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明n＝k＋1时，命题也成立的过程中一定要用到它，否则就不是数学归纳法．第二步关键是“一凑假设，二凑结论”．
三个注意
运用数学归纳法应注意以下三点：
(1)n＝n0时成立，要弄清楚命题的含义．
(2)由假设n＝k成立证n＝k＋1时，要推导详实，并且一定要运用n＝k成立的结论．
(3)要注意n＝k到n＝k＋1时增加的项数．
双基自测
1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0 等于( )．
A．1 B．2 C．3 D．0
解析 边数最少的凸n边形是三角形．
答案 C
2．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜f(n)(n≥2，n∈N*)的过程，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了( )．
A．1项 B．k项 C．2k－1项 D．2k项
解析 1＋＋＋…＋－＝＋＋…＋，共增加了2k项，故选D.
答案 D
3．用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为( )．
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
答案 C
4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得( )．
A．n＝6时该命题不成立 B．n＝6时该命题成立
C．n＝4时该命题不成立 D．n＝4时该命题成立
解析 法一 由n＝k(k∈N*)成立，可推得当n＝k＋1时该命题也成立．因而若n＝4成立，必有n＝5成立．现知n＝5不成立，所以n＝4一定不成立．
法二 其逆否命题“若当n＝k＋1时该命题不成立，则当n＝k时也不成立”为真，故“n＝5时不成立”?“n＝4时不成立”．
答案 C
5．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＞的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．
解析 不等式的左边增加的式子是＋－＝，故填.
答案
考向一 用数学归纳法证明等式
【例1】?用数学归纳法证明：
tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(n－1)α·tan nα＝－n(n∈N*，n≥2)．
[审题视点] 注意第一步验证的值，在第二步推理证明时要注意把假设作为已知．
证明 (1)当n＝2时，右边＝－2＝－2＝＝tan α·tan 2α＝左边，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥2)时，等式成立，即
tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＝－k，
那么当n＝k＋1时，
tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＋tan kα·tan(k＋1)α
＝－k＋tan kα·tan(k＋1)α
＝＋1＋tan kα·tan(k＋1)α－(k＋1)
＝＋－(k＋1)
＝－(k＋1)．
这就是说，当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)知，对任何n∈N*且n≥2，原等式成立．
用数学归纳法证明等式时，要注意第(1)步中验证n0的值，如本题要取n0＝2，在第(2)步的证明中应在归纳假设的基础上正确地使用正切的差角公式．
【训练1】 用数学归纳法证明：
对任意的n∈N*，＋＋…＋＝.
证明 (1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝，左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有
＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋
＝＋＝
＝＝＝，
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．
考向二 用数学归纳法证明整除问题
【例2】?是否存在正整数m使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9对任意自然数n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．
[审题视点] 观察所给函数式，凑出推理要证明所需的项．
解 由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9得，f(1)＝36，f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝34×36，由此猜想：m＝36.
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，显然成立；
(2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；当n＝k＋1时，[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝(2k＋7)·3k＋1＋27－27＋2·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，
由于3k－1－1是2的倍数，故18(3k－1－1)能被36整除，这就是说，当n＝k＋1时，f(n)也能被36整除．
由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除，m的最大值为36.
证明整除问题的关键“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证．
【训练2】 用数学归纳法证明an＋1＋(a＋1)2n－1(n∈N*)能被a2＋a＋1整除．
证明 (1)当n＝1时，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1可被a2＋a＋1整除．
(2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时，
ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，
则当n＝k＋1时，
ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a·ak＋1＋a·(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，由假设可知a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除，(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1也能被a2＋a＋1整除，
∴ak＋2＋(a＋1)2k＋1也能被a2＋a＋1整除，
即n＝k＋1时命题也成立，
∴对任意n∈N*原命题成立．
考向三 用数学归纳法证明不等式
【例3】?用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式·…·>均成立．
[审题视点] 本题用数学归纳法证明不等式，在推理过程中用放缩法，要注意放缩的“度”．
证明 (1)当n＝2时，左边＝1＋＝；右边＝.
∵左边>右边，∴不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，
即·…·>.
则当n＝k＋1时，
·…·
>·＝＝
>＝＝.
∴当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．
在由n＝k到n＝k＋1的推证过程中，应用放缩技巧，使问题得以简化，用数学归纳法证明不等式问题时，从n＝k到n＝k＋1的推证过程中，证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．
【训练3】 已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．试比较＋＋＋…＋与1的大小，并说明理由．
解 ∵f′(x)＝x2－1，an＋1≥f′(an＋1)，∴an＋1≥(an＋1)2－1.
∵函数g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x在区间[1，＋∞)上单调递增，于是由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，进而得a3≥(a2＋1)2－1≥24－1＞23－1，
由此猜想：an≥2n－1.
下面用数学归纳法证明这个猜想：
①当n＝1时，a1≥21－1＝1，结论成立；
②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时结论成立，即ak≥2k－1，则当n＝k＋1时，由g(x)＝(x＋1)2－1在区间[1，＋∞)上单调递增知，ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，即n＝k＋1时，结论也成立．
由①、②知，对任意n∈N*，都有an≥2n－1.
即1＋an≥2n，∴≤，
∴＋＋＋…＋≤＋＋＋…＋＝1－n＜1.
考向四 归纳、猜想、证明
【例4】?数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．
(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
[审题视点] 利用Sn与an的关系式求出{an}的前几项，然后归纳出an，并用数学归纳法证明．
解 (1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.
当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝.
当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.
当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝.
由此猜想an＝(n∈N*)．
(2)证明 ①当n＝1时，左边＝a1＝1，右边＝＝1，左边＝右边，结论成立．
②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，即ak＝，那么n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，
∴2ak＋1＝2＋ak，
∴ak＋1＝＝＝，
这表明n＝k＋1时，结论成立，
由①②知猜想an＝成立．
(1)归纳、猜想、证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例从特例入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．
(2)数列是定义在N*上的函数，这与数学归纳法所运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决．
【训练4】 由下列各式1＞，
1＋＋＞1，
1＋＋＋＋＋＋＞，
1＋＋＋…＋＞2，
1＋＋＋…＋＞，
…，你能得到怎样的一般不等式，并加以证明．
答案 猜想：第n个不等式为1＋＋＋…＋＞(n∈N*)．
(1)当n＝1时，1＞，猜想正确．
(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时猜想正确，
即1＋＋＋…＋＞，
那么，当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＝＋＝＋＝.
即当n＝k＋1时，不等式成立．
∴对于任意n∈N*，不等式恒成立．
阅卷报告20——由于方法选择不当导致失误
【问题诊断】 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题时，关键在于弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项，其难点在于归纳假设后，如何推证对下一个正整数值命题也成立.
【防范措施】 把归纳假设当做已知条件参加推理.明确对下一个正整数值命题成立的目标，通过适当的变换达到这个目标，这里可以使用综合法，也可以使用分析法，甚至可以再次使用数学归纳法.
【示例】? 在数列{an}、{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．
(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；
(2)证明：＋＋…＋＜.
实录 (1)由条件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.
由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.
猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.
用数学归纳法证明：
①当n＝1时，由上可得结论成立．
②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，
即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，
那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝＝(k＋2)2，
所以当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．
错因 第二问由于不等式的右端为常数，结论本身是不能用数学归纳法证明的，可考虑用放缩法证明，也可考虑加强不等式后，用数学归纳法证明．(2)当n＝1时
＝＜
假设n＝k(k∈N*)时不等式成立
即＋＋…＋＜
当n＝k＋1时
＋＋…＋＋＜＋
到此无法用数学归纳法证明．
正解 (1)用实录(1)
(2)证明：＝＜.
n≥2时，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n.
故＋＋…＋
＜＋
＝＋
＝＋＜＋＝.
综上，原不等式成立．
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