第2讲 排列与组合
【2013年高考会这样考】
1．考查排列组合的概念及其公式的推导．
2．考查排列组合的应用．
【复习指导】
复习时要掌握好基本计算公式和基本解题指导思想，掌握一些排列组合的基本模式题的解决方法，如指标分配问题、均匀分组问题、双重元素问题、涂色问题、相邻或不相邻问题等．
基础梳理
1．排列
(1)排列的概念：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．
(3)排列数公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．
(4)全排列数公式
A＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．
2．组合
(1)组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号C表示．
(3)组合数公式
C＝＝＝
(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C＝1.
(4)组合数的性质：①C＝C；②C＝C＋C.
一个区别
排列与组合，排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合．
两个公式
(1)排列数公式A＝
(2)组合数公式C＝利用这两个公式可计算排列问题中的排列数和组合问题中的组合数．
①解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．
②要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．
四字口诀
求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”
双基自测
1．8名运动员参加男子100米的决赛．已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如：4,5,6)，则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有( )．
A．360种 B．4 320种
C．720种 D．2 160种
解析 本题考查排列组合知识，可分步完成，先从8个数字中取出3个连续的三个数字共有6种可能，将指定的3名运动员安排在这三个编号的跑道上，最后剩下的5个排在其他的编号的5个跑道上，故共有6AA＝4 320种方式．
答案 B
2．以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有( )．
A．200个 B．190个 C．185个 D．180个
解析 正五棱柱共有10个顶点，若每四个顶点构成一个四面体，共可构成C＝210个四面体．其中四点在同一平面内的有三类：
(1)每一底面的五点中选四点的组合方法有2C个．
(2)五条侧棱中的任意两条棱上的四点有C个．
(3)一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行
(例如AB∥E1C1)，这样共面的四点共有2C个．
所以C－2C－C－2C＝180(个)，选D.
答案 D
3．(2010·山东)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )．
A．36种 B．42种 C．48种 D．54种
解析 因为丙必须排在最后一位，因此只需考虑其余五人在前五位上的排法．当甲排在第一位时，有A＝24种排法，当甲排在第二位时，有A·A＝18种排法，所以共有方案24＋18＝42(种)，故选B.
答案 B
1
2
3
3
1
2
2
3
1
4.如图，将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有( )．
A．6种 B．12种
C．24种 D．48种
解析 只需要填写第一行第一列，其余即确定了．因此共有AA＝12(种)．
答案 B
5．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是________(用数字作答)．
解析 可将6项工程分别用甲、乙、丙、丁、a、b表示，要求是甲在乙前，乙在丙前，并且丙丁相邻丙在丁前，可看作甲、乙、丙丁、a、b五个元素的排列，可先排a、b，再排甲、乙、丙丁共AC＝20种排法，也可先排甲、乙、丙丁，再排a、b，共CA＝20种排法．
答案 20
考向一 排列问题
【例1】?六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？
(1)甲不站在两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；
(4)甲、乙之间恰有两人；(5)甲不站在左端，乙不站在右端；
(6)甲、乙、丙三人顺序已定．
[审题视点] 根据题目具体要求，选择恰当的方法，如捆绑法、插空法等．
解 (1)AA＝480；
(2)AA＝240；
(3)AA＝480；
(4)AAA＝144；
(5)A－2A＋A＝504；
(6)A＝120.
有条件的排列问题大致分四种类型．
(1)某元素不在某个位置上问题，①可从位置考虑用其它元素占上该位置，②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数．
(2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)然后与其它元素排列．
(3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)．
(4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法．
【训练1】 用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别有多少个？(1)0不在个位；(2)1与2相邻；(3)1与2不相邻；(4)0与1之间恰有两个数；(5)1不在个位；(6)偶数数字从左向右从小到大排列．
解 (1)AA＝480；
(2)AAA＝192；
(3)AA－AAA＝408，
(4)AAA＋AA＝120；
(5)A－2A＋A＝504；
(6)A－A＝60.
考向二 组合问题
【例2】?某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中
(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？
(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？
[审题视点] “无序问题”用组合，注意分类处理．
解 (1)只需从其他18人中选3人即可，共有C＝816(种)；
(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C＝8 568(种)；
(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有CC＋C＝6 936(种)；
(4)法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有CC＋CC＋CC＋CC＝14 656(种)．
法二 (间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C－(C＋C)＝14 656(种)．
对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误．
【训练2】 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？
解 (1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有CCC＝24(种)．
(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为CC，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C种，因此满足条件的不同选法种数为CC－C＝30(种)．
考向三 排列、组合的综合应用
【例3】?(1)7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，试问：每个盒子都不空的放法共有多少种？
(2)计算x＋y＋z＝6的正整数解有多少组；
(3)计算x＋y＋z＝6的非负整数解有多少组．
[审题视点] 根据题目要求分类求解，做到不重不漏．
解 (1)法一 先将其中4个相同的小球放入4个盒子中，有1种放法；再将其余3个相同的小球放入4个不同的盒子中，有以下3种情况：
①某一个盒子放3个小球，就可从这4个不同的盒子中任选一个放入这3个小球，有C种不同的放法；
②这3个小球分别放入其中的3个盒子中，就相当于从4个不同的盒子中任选3个盒子，分别放入这3个相同的小球，有C种不同放法；
③这3个小球中有两个小球放在1个盒子中，另1个小球放在另一个盒子中，从这4个不同的盒子中任选两个盒子排成一列，有A种不同的方法．
综上可知，满足题设条件的放法为C＋C＋A＝20(种)．
法二 “每个盒子都不空”的含义是“每个盒子中至少有一个小球”，若用“挡板法”，可易得C＝20.
(2)可看做将6个相同小球放入三个不同盒子中，每盒非空有多少种放法．转化为6个0,2个1的排列，要求1不排在两端且不相邻，共有C＝10种排法，因此方程x＋y＋z＝6有10组不同的正整数解；
(3)可看做将6个相同小球放入三个不同的盒子中，转化为6个0,2个1的排列，共有C＝28种排法，因此方程x＋y＋z＝6有28组不同的非负整数解．
排列与组合的根本区别在于是“有序”还是“无序”，对于将若干个相同小球放入几个不同的盒子中，此类问题可利用“挡板法”求解，实质上是最终转化为组合问题．(2)在计算排列组合问题时，可能会遇到“分组”问题，要特别注意是平均分组还是不平均分组．可从排列与组合的关系出发，用类比的方法去理解分组问题，比如将4个元素分为两组，若一组一个、一组三个共有CC种不同的分法；
而平均分为两组则有种不同的分法．
【训练3】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
(1)分成1本、2本、3本三组；
(2)分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；
(3)分成每组都是2本的三组；
(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．
解 (1)分三步：先选一本有C种选法；再从余下的5本中选2本有C种选法；对于余下的三本全选有C种选法，由分步乘法计数原理知有CCC＝60种选法．
(2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基础上，还应考虑再分配的问题，因此共有CCCA＝360种选法．
(3)先分三步，则应是CCC种选法，但是这里面出现了重复，不妨记6本书为分别A、B、C、D、E、F，若第一步取了(AB，CD，EF)，则CCC种分法中还有(AB、EF、CD)，(CD、AB、EF)、(CD、EF、AB)、(EF、CD、AB)、(EF、AB、CD)共有A种情况，而且这A种情况仅是AB、CD、EF的顺序不同，因此，只算作一种情况，故分配方式有＝15(种)．
(4)在问题(3)的基础上再分配，故分配方式有·A＝CCC＝90(种)．
阅卷报告16——实际问题意义不清，计算重复、遗漏致误
【问题诊断】 排列组合问题由于其思想方法独特计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题.
【防范措施】 “至少、至多型”问题不能利用分步计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件求解
【示例】? 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有多少种？
错因 第二步若取出一等品则与第一步取出的一等品有了先后顺序，从而使取法重复．
实录 按分步原理，第一步确保1个一等品，有C种取法；第二步从余下的19个零件中任意取2个，有C种不同的取法，故共有CC＝2 736种取法．
正解 法一 将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类计数原理有：CC＋CC＋C＝1 136(种)．
法二 考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：C－C＝1 136(种)．
【试一试】 在10名演员中，5人能歌，8人善舞，从中选出5人，使这5人能演出一个由1人独唱4人伴舞的节目，共有几种选法？
[尝试解答] 本题中的“双面手”有3个，仅能歌的2人，仅善舞的5人．把问题分为：(1)独唱演员从双面手中选，剩下的2个双面手和只能善舞的5个演员一起参加伴舞人员的选拔；(2)独唱演员不从双面手中选拔，即从只能唱歌的2人中选拔，这样3个双面手就可以和只能善舞的5个演员一起参加伴舞人员的选拔．故选法种数是CC＋CC＝245.
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