第3讲 三角函数的图象与性质
【2013年高考会这样考】
1．考查三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用．
2．考查三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用．
【复习指导】
1．掌握正弦，余弦、正切三角函数的图象和性质，会作三角函数的图象．通过三角函数的图象研究其性质．
2．注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用．
基础梳理
1．“五点法”描图
(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．三角函数的图象和性质
函数
性质
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
定义域
R
R
{x|x≠kπ＋，k∈Z}
图象
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
对称性
对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)
对称中心：
(kπ，0)(k∈Z)
对称轴：x＝kπ(k∈Z)
对称中心：
无对称轴
对称中心：(k∈Z)
周期
2π
2π
π
单调性
单调增区间
，2kπ＋(k∈Z)；
单调减区间，2kπ＋(k∈Z)
单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
单调增区间，kπ＋(k∈Z)
奇偶性
奇
偶
奇
两条性质
(1)周期性
函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
(2)奇偶性
三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．
三种方法
求三角函数值域(最值)的方法：
(1)利用sin x、cos x的有界性；
(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)函数y＝cos，x∈R( )．
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
答案 C
2．函数y＝tan的定义域为( )．
A. B.
C. D.
答案 A
3．(2011·全国新课标)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )．
A．f(x)在单调递减
B．f(x)在单调递减
C．f(x)在单调递增
D．f(x)在单调递增
解析 f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sin，由最小正周期为π得ω＝2，又由f(－x) ＝f(x)可知f(x)为偶函数，因此φ＋＝kπ＋(k∈Z)，又|φ|＜可得φ＝，所以f(x)＝cos 2x，在单调递减．
答案 A
4．y＝sin的图象的一个对称中心是( )．
A．(－π，0) B.
C. D.
解析 ∵y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，∴令x－＝kπ(k∈Z)，x＝kπ＋(k∈Z)，由k＝－1，x＝－π得y＝sin的一个对称中心是.
答案 B
5．(2011·合肥三模)函数f(x)＝cos的最小正周期为________．
解析 T＝＝π.
答案 π
考向一 三角函数的定义域与值域
【例1】?(1)求函数y＝lg sin 2x＋的定义域．
(2)求函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值．
[审题视点] (1)由题干知对数的真数大于0，被开方数大于等于零，再利用单位圆或图象求x的范围．
(2)将余弦化为正弦，再换元处理，转化为关于新元的一元二次函数解决．
解 (1)依题意?
?.
(2)设sin x＝t，则t∈.
∴y＝1－sin2x＋sin x＝－2＋，t∈，
故当t＝，即x＝时，ymax＝，
当t＝－，即x＝－时，ymin＝.
(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：
①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；
②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
③形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
【训练1】 (1)求函数y＝的定义域．
(2)已知函数f(x)＝cos＋2sin·sin，求函数f(x)在区间上的最大值与最小值．
解 (1)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为
.
(2)由题意得：f(x)＝cos 2x＋sin 2x＋(sin x－cos x)·(sin x＋cos x)＝cos 2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin.
又x∈，∴2x－∈，
∴sin∈.
故当x＝时，f(x)取最大值1；
当x＝－时，f(x)取最小值－.
考向二 三角函数的奇偶性与周期性
【例2】?(2011·大同模拟)函数y＝2cos2－1是( )．
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
[审题视点] 先化简为一个角的三角函数，再确定周期和奇偶性．
解析 y＝2cos2－1＝cos＝sin 2x为奇函数，T＝＝π.
答案 A
求解三角函数的奇偶性和周期性时，一般先要进行三角恒等变换，把三角函数式化为一个角的一个三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．
【训练2】 已知函数f(x)＝(sin x－cos x)sin x，x∈R，则f(x)的最小正周期是________．
解析 由f(x)＝(sin x－cos x)sin x＝sin2x－sin xcos x＝－sin 2x＝－sin＋.
∴最小正周期为π.
答案 π
考向三 三角函数的单调性
【例3】?已知f(x)＝sin x＋sin，x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．
[审题视点] 化为形如f(x)＝Asin(x＋φ)的形式，再求单调区间．
解 f(x)＝sin x＋sin
＝sin x＋cos x＝sin.
由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得：－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
又x∈[0，π]，∴f(x)的单调递增区间为.
求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的单调区间时，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数．
【训练3】 函数f(x)＝sin的单调减区间为______．
解析 f(x)＝sin＝－sin，它的减区间是y＝sin的增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得：kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故所求函数的减区间为(k∈Z)．
答案 (k∈Z)
考向四 三角函数的对称性
【例4】?(1)函数y＝cos图象的对称轴方程可能是( )．
A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝
(2)若0＜α＜，g(x)＝sin是偶函数，则α的值为________．
[审题视点] (1)对y＝cos x的对称轴为x＝kπ，把“ωx＋φ”看作一个整体，即可求．
(2)利用＋α＝kπ＋(k∈Z)，求解限制范围内的α.
解析 (1)令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，
令k＝0得该函数的一条对称轴为x＝－.本题也可用代入验证法来解．
(2)要使g(x)＝cos为偶函数，则须＋α＝kπ
＋，k∈Z，α＝kπ＋，k∈Z，∵0＜α＜，∴α＝.
答案 (1)A (2)
正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．
【训练4】 (1)函数y＝2sin(3x＋φ)的一条对称轴为x＝，则φ＝________.
(2)函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.
解析 (1)由y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，
即3×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
得φ＝kπ＋(k∈Z)，
又|φ|＜，∴k＝0，故φ＝.
(2)由题意，得y＝cos(3x＋φ)是奇函数，
∴φ＝kπ＋，k∈Z.
答案 (1) (2)kπ＋，k∈Z
难点突破9——利用三角函数的性质求解参数问题
含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析．
一、根据三角函数的单调性求解参数
【示例】? (2011·镇江三校模拟)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的单调递增区间为(k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z)，则ω的值为________．
二、根据三角函数的奇偶性求解参数
【示例】? (2011·泉州模拟)已知f(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )．
A. B. C．－ D．－
▲根据三角函数的周期性求解参数(教师备选)
【示例】? (2011·合肥模拟)若函数y＝sin ωx·sin(ω＞0)的最小正周期为，则ω＝________.
▲根据三角函数的最值求参数(教师备选)
【示例】? (2011·洛阳模拟)若函数f(x)＝asin x－bcos x在x＝处有最小值－2，则常数a、b的值是( )．
A．a＝－1，b＝ B．a＝1，b＝－
C．a＝，b＝－1 D．a＝－，b＝1
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