第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
【2013年高考会这样考】
1．考查同角三角函数的基本关系式．
2．考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用．
【复习指导】
本讲复习时应紧扣三角函数的定义，理解记忆同角三角函数的基本关系式和诱导公式；特别是对诱导公式的记忆口诀要理解透彻，可通过适量训练加强理解，掌握其规律．
基础梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：＝tan α.
2．诱导公式
公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos_α，其中k∈Z.
公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，
tan(π＋α)＝tan α.
公式三：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α.
公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α.
公式五：sin＝cos_α，cos＝sin α.
公式六：sin＝cos_α，cos＝－sin_α.
诱导公式可概括为k·±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．
一个口诀
诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．
三种方法
在求值与化简时，常用方法有：
(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．
(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．
(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝….
三个防范
(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐．
特别注意函数名称和符号的确定．
(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)已知sin(π＋α)＝，则cos α的值为( )．
A．± B.
C. D．±
解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝，
∴sin α＝－.∴cos α＝±＝±.
答案 D
2．(2012·杭州调研)点A(sin 2 011°，cos 2 011°)在直角坐标平面上位于( )．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 2 011°＝360°×5＋(180°＋31°)，
∴sin 2 011°＝sin[360°×5＋(180°＋31°)]＝－sin 31°＜0，
cos 2 011°＝cos[360°×5＋(180°＋31°)]＝－cos 31°＜0，
∴点A位于第三象限．
答案 C
3．已知cos α＝，α∈(0，π)，则tan α的值等于( )．
A. B. C．± D．±
解析 ∵α∈(0，π)，∴sin α＝＝，∴tan α＝＝.
答案 B
4．cos－sin的值是( )．
A. B．－ C．0 D.
解析 cos＝cos＝cos＝cos＝，sin＝－sin＝－sin＝－sin＝－.∴cos－sin＝＋＝.
答案 A
5．已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α＝________.
解析 由题意知cos α＜0，又sin2α＋cos2α＝1，tan α＝＝－.∴cos α＝－.
答案 －
考向一 利用诱导公式化简、求值
【例1】?已知f(α)＝，求f.
[审题视点] 先化简f(α)，再代入求解．
解 f(α)＝＝cos α，
∴f＝cos π＝cos＝cos ＝.
(1)化简是一种不指定答案的恒等变形，其结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
(2)诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了．
【训练1】 已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为________．
解析 原式＝＝tan α，根据三角函数的定义，得tan α＝＝－.
答案 －
考向二 同角三角函数关系的应用
【例2】?(2011·长沙调研)已知tan α＝2.
求：(1)；
(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α.
[审题视点] (1)同除cos α；
(2)利用1＝sin2α＋cos2α，把整式变为分式，再同除cos2α.
解 (1)＝＝＝－1.
(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝
＝＝＝1.
(1)对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．
【训练2】 已知＝5.则sin2α－sin αcos α＝________.
解析 依题意得：＝5，∴tan α＝2.
∴sin2α－sin αcos α＝
＝＝＝.
答案
考向三 三角形中的诱导公式
【例3】?在△ABC中，sin A＋cos A＝，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
[审题视点] 要求三角形的内角，需求得某一内角的某一三角函数值，故结合条件sin A＋cos A＝知先求角A，进而求其他角．
解 由已知可得 sin＝，
因为0＜A＜π，所以A＝.
由已知可得cos A＝cos B，把A＝代入可得cos B＝，又0＜B＜π，从而B＝，所以C＝π－－＝.
在△ABC中常用到以下结论：sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，tan(A＋B)＝－tan C，sin＝cos，cos＝sin.
【训练3】 若将例3的已知条件“sin A＋cos A＝”改为“sin(2π－A)＝－sin(π－B)”其余条件不变，求△ABC的三个内角．
解 由条件得：－sin A＝－sin B，即sin A＝sin B，
cos A＝cos B，平方相加得：
sin2 A＋3cos2 A＝2?2cos2 A＝1，cos A＝±.
若cos A＝－，则cos B＝－，A，B均为钝角不可能．故cos A＝，cos B＝，故A＝，B＝，C＝.
阅卷报告3——忽视题设的隐含条件致误
【问题诊断】 涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时，应深挖隐含条件，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误.,
【防范措施】 一要考虑题设中的角的范围；二要考虑题设中的隐含条件
【示例】?若sin θ，cos θ是关于x的方程5x2－x＋a＝0(a是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．
错因 忽视隐含条件，产生了增解.
实录 由题意知，sin θ＋cos θ＝，
∴2＝，∴sin 2θ＝－，∵θ∈(0，π)，∴2θ∈(0,2π)，∴cos 2θ＝±＝±.
正解 由题意知，sin θ＋cos θ＝.
∴(sin θ＋cos θ)2＝.
∴sin 2θ＝－.
即2sin θcos θ＝－＜0，
则sin θ与cos θ异号，
又sin θ＋cos θ＝＞0，
∴＜θ＜，∴π＜2θ＜.
故cos 2θ＝－＝－.
【试一试】 已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，求tan θ.
[尝试解答] ∵sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)．
∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝.
∴sin θcos θ＝－.
由根与系数的关系知sin θ，cos θ是方程x2－x－＝0的两根，∴x1＝，x2＝－，
又sin θcos θ＝－＜0，∴sin θ＞0，cos θ＜0，
∴sin θ＝，cos θ＝－.
∴tan θ＝＝－.
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