第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切
【2013年高考会这样考】
1．考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式进行三角函数式的化简与求值．
2．利用三角公式考查角的变换、角的范围．
【复习指导】
本讲复习应牢记和、差角公式及二倍角公式，准确把握公式的特征，活用公式(正用、逆用、变形用、创造条件用)；同时要掌握好三角恒等变换的技巧，如变换角的技巧、变换函数名称的技巧等．
基础梳理
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；
(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；
(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；
(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；
(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝；
(6)T(α－β)：tan(α－β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)T2α：tan 2α＝.
3．有关公式的逆用、变形等
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)；
(2)cos2α＝，sin2α＝；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
4．函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．
两个技巧
(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝－；＝－.
(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．
三个变化
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)下列各式的值为的是( )．
A．2cos2 －1 B．1－2sin275°
C. D．sin 15°cos 15°
解析 2cos2－1＝cos＝；1－2sin275°＝cos 150°＝－；＝
tan 45°＝1；sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.
答案 D
2．(2011·福建)若tan α＝3，则的值等于( )．
A．2 B．3 C．4 D．6
解析 ＝＝2tan a＝2×3＝6，故选D.
答案 D
3．已知sin α＝，则cos(π－2α)等于( )．
A．－ B．－ C. D.
解析 cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－.
答案 B
4．(2011·辽宁)设sin＝，则sin 2θ＝( )．
A．－ B．－ C. D.
解析 sin 2θ＝－cos＝2sin2－1＝2×2－1＝－.
答案 A
5．tan 20°＋tan 40°＋tan 20° tan 40°＝________.
解析 ∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝，
∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＝－tan 20°·tan 40°，∴原式＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.
答案
考向一 三角函数式的化简
【例1】?化简.
[审题视点] 切化弦，合理使用倍角公式．
解 原式＝
＝＝＝cos 2x.
三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．
【训练1】 化简：.
解 原式＝
＝
＝＝＝tan.
考向二 三角函数式的求值
【例2】?已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值．
[审题视点] 拆分角：＝－，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦．
解 ∵0＜β＜＜α＜π，
∴－＜－β＜，＜α－＜π，
∴cos＝ ＝，
sin＝ ＝，
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝，
∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.
三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：
(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．
【训练2】 已知α，β∈，sin α＝，tan(α－β)＝－，求cos β的值．
解 ∵α，β∈，∴－＜α－β＜，
又∵tan(α－β)＝－＜0，∴－＜α－β＜0.
∴＝1＋tan2(α－β)＝.
cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－.
又∵sin α＝，∴cos α＝.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
考向三 三角函数的求角问题
【例3】?已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，求β.
[审题视点] 由cos β＝cos[α－(α－β)]解决．
解 ∵0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜.又∵cos(α－β)＝，
∵cos α＝，β＜α＜，
∴sin α＝＝
∴sin(α－β)＝＝，
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
∵0＜β＜.∴β＝.
通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
【训练3】 已知α，β∈，且tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，求α＋β的值．
解 由根与系数的关系得：tan α＋tan β＝－3，tan αtan β＝4，
∴tan α＜0，tan β＜0，－π＜α＋β＜0.
又tan(α＋β)＝＝＝.
∴α＋β＝－.
考向四 三角函数的综合应用
【例4】?(2010·北京)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x.
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
[审题视点] 先化简函数y＝f(x)，再利用三角函数的性质求解．
解 (1)f＝2cos＋sin2
＝－1＋＝－.
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)
＝3cos2x－1，x∈R.
∵cos x∈[－1,1]，
∴当cos x＝±1时，f(x)取最大值2；
当cos x＝0时，f(x)取最小值－1.
高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．
【训练4】 已知函数f(x)＝2sin(π－x)cos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x
(1)f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)∵－≤x≤，
∴－≤2x≤π.
∴－≤sin 2x≤1.
∴f(x)的最大值为1，最小值为－.
难点突破10——三角函数求值、求角问题策略
面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法．
一、给值求值
一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．
【示例】? (2011·江苏)已知tan ＝2，则的值为________．
二、给值求角
“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．
【示例】? (2011·南昌月考)已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
▲三角恒等变换与向量的综合问题(教师备选)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．
【示例】? (2011·温州一模)已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈.
(1)求sin θ和cos θ的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝3cos φ，0＜φ＜，求cos φ的值．
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