第7讲 正弦定理、余弦定理应用举例
【2013年高考会这样考】
考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．
【复习指导】
1．本讲联系生活实例，体会建模过程，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法．
2．加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力．
基础梳理
1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．
2．实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．
(2)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．
(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．
(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．
一个步骤
解三角形应用题的一般步骤：
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．
两种情形
解三角形应用题常有以下两种情形
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )．
A．50 m B．50 m C．25 m D. m
解析 由正弦定理得＝，又∵B＝30°
∴AB＝＝＝50(m)．
答案 A
2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )．
A．α＞β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
解析 根据仰角与俯角的定义易知α＝β.
答案 B
3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )．
A．北偏东15° B．北偏西15°
C．北偏东10° D．北偏西10°
解析 如图．
答案 B
4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．
A．5海里 B．5海里
C．10海里 D．10海里
解析 如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10(海里)，
在Rt△ABC中，得AB＝5(海里)，
于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．
答案 C
5．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里．
解析 由正弦定理，知＝.解得BC＝5(海里)．
答案 5
考向一 测量距离问题
【例1】?如图所示，
为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．
[审题视点] 在△BCD中，求出BC，在△ABC中，求出AB.
解 在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.∵∠BCD＝30°，∠BDC＝105°∴∠CBD＝45°
在△BCD中，由正弦定理可得BC＝＝a.
在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为AB＝＝a.
(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．
【训练1】 如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．
解 在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1 km.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.
又∵∠ABC＝15°
在△ABC中，＝，
所以AB＝＝(km)，
同理，BD＝(km)．
故B、D的距离为 km.
考向二 测量高度问题
【例2】?如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.
[审题视点] 过点C作CE∥DB，延长BA交CE于点E，在△AEC中建立关系．
解
如图，设CD＝x m，
则AE＝x－20 m，
tan 60°＝，
∴BD＝＝＝x (m)．
在△AEC中，x－20＝x，
解得x＝10(3＋) m．故山高CD为10(3＋) m.
(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；
(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．
【训练2】 如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
解 在△BCD中，∠CBD＝π－α－β，
由正弦定理得＝，
所以BC＝＝
在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝.
考向三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用
【例3】?如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．
[审题视点] 由于AB＝5，∠ADB＝45°，因此要求BD，可在△ABD中，由正弦定理求解，关键是确定∠BAD的正弦值．在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠ACB
＝30°，因此可用正弦定理求出sin∠ABC，再依据∠ABC与∠BAD互补确定sin∠BAD即可．
解 在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°.
由正弦定理，得＝，
sin∠ABC＝＝＝.
∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC，
于是sin∠BAD＝sin∠ABC＝.
同理，在△ABD中，AB＝5，sin∠BAD＝，
∠ADB＝45°，由正弦定理：＝，
解得BD＝.故BD的长为.
要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理．
【训练3】 如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．
解 在△ADC中，AD＝10，
AC＝14，DC＝6，
由余弦定理得cos∠ADC＝
＝＝－，∴∠ADC＝120°，∴∠ADB＝60°.
在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，
由正弦定理得＝，
∴AB＝＝＝＝5.
规范解答9——如何运用解三角形知识解决实际问
【问题研究】 ?1?解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题——建模?准确地画出图形?——求解——检验作答.,?2?三角形应用题常见的类型：,①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；,②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解；,③实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.,【解决方案】 航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据，这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离，因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中.
【示例】?(本题满分12分)
如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．问：乙船每小时航行多少海里？
(1)分清已知条件和未知条件(待求)．(2)将问题集中到一个三角形中．(3)利用正、余弦定理求解．
[解答示范] 如图，连接A1B2由已知A2B2＝10，
A1A2＝30×＝10，∴A1A2＝A2B2.
又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，
∴△A1A2B2是等边三角形，
∴A1B2＝A1A2＝10.由已知，A1B1＝20，
∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，(8分)
在△A1B2B1中，由余弦定理得
B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos 45°
＝202＋(10)2－2×20×10×＝200，
∴B1B2＝10.
因此，乙船的速度为×60＝30(海里/时)．(12分)
利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解三角形的问题进行求解．
【试一试】 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cos θ.
[尝试解答] 如图所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，所以BC＝20.
由正弦定理，得sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝.
故cos θ＝cos(∠ACB＋30°)
＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°
＝×－×＝.
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