第4讲 平面向量的应用
【2013年高考会这样考】
1．考查利用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
2．考查利用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
【复习指导】
复习中重点把握好向量平行、垂直的条件及其数量积的运算，重视平面向量体现出的数形结合的思想方法，体验向量在解题过程中的工具性特点．
基础梳理
1．向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0.
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质
a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(3)求夹角问题，利用夹角公式
cos θ＝＝(θ为a与b的夹角)．
2．平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．
一个手段
实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．
两条主线
(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．
(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)某人先位移向量a：“向东走3 km”，接着再位移向量b：“向北走3 km”，则a＋b表示( )．
A．向东南走3 km B．向东北走3 km
C．向东南走3 km D．向东北走3 km
解析
要求a＋b，可利用向量和的三角形法则来求解，如图所示，适当选取比例尺作＝a＝“向东走3 km”，＝b＝“向北走3 km”，则＝＋＝a＋b.
||＝＝3(km)，
又与的夹角是45°，所以a＋b表示向东北走3 km.
答案 B
2．平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状是( )．
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．无法确定
解析 由(＋－2)·(－)＝0，得[(－)＋(－]·(－)＝0，所以(＋)·(－)＝0.
所以||2－||2＝0，∴||＝||，
故△ABC是等腰三角形．
答案 C
3．(2012·银川模拟)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值，最小值分别是( )．
A．4,0 B．16,0
C．2,0 D．16,4
解析 设a与b夹角为θ，
∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8－4|a||b|cos θ＝8－8cos θ，
∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[－1,1]，
∴8－8cos θ∈[0,16]，即|2a－b|2∈[0,16]，
∴|2a－b|∈[0,4]．
答案 A
在△ABC中，已知向量与满足·＝0且·＝，则
△ABC为( )．
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形
解析 由·＝0知△ABC为等腰三角形，AB＝AC.由·＝知，〈，〉＝60°，所以△ABC为等边三角形，故选A.
答案 A
5．(2012·武汉联考)平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是______________________________________．
解析 由·＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，
即x＋2y＝4.
答案 x＋2y－4＝0
考向一 平面向量在平面几何中的应用
【例1】?(2010·辽宁)平面上O，A，B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于( )．
A. B.
C. D.
[审题视点] 由数量积公式求出OA与OB夹角的余弦，进而得正弦，再由公式S＝absin θ，求面积．
解析 ∵cos∠BOA＝，
则sin∠BOA＝ ，
∴S△OAB＝|a||b|
＝.
答案 C
平面向量的数量积是解决平面几何中相关问题的有力工具：利用|a|可以求线段的长度，利用cos θ＝(θ为a与b的夹角)可以求角，利用a·b＝0可以证明垂直，利用a＝λb(b≠0)可以判定平行．
【训练1】 设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于( )．
A．以a，b为邻边的平行四边形的面积
B．以b，c为邻边的平行四边形的面积
C．以a，b为两边的三角形的面积
D．以b，c为两边的三角形的面积
解析
∵|b·c|＝|b||c||cos θ|，如图，
∵a⊥c，∴|b||cos θ|就是以a，b为邻边的平行四边形的高h，而|a|＝|c|，∴|b·c|＝|a|(|b||cos θ|)，∴|b·c|表示以a，b为邻边的平行四边形的面积．
答案 A
考向二 平面向量与三角函数的交汇
【例2】?已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈.
(1)若||＝||，求角α的值；
(2)若·＝－1，求的值．
[审题视点] 首先求出向量、的坐标，第(1)问利用两个向量的模相等建立角α的三角方程进行求解；第(2)问利用向量与数量积的坐标运算化简已知条件，得到角α的三角函数值，把所求式子化简，寻找两个式子之间的关系．
解 (1)∵＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，
∴2＝(cos a－3)2＋sin2α＝10－6cos α，
2＝cos2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α，
由||＝||，可得2＝2，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α.
又∵α∈，∴α＝.
(2)由·＝－1，
得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，
∴sin α＋cos α＝.①
又＝＝2sin αcos α.
由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝－.∴＝－.
解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．
【训练2】 已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)．
(1)若a∥b，求tan θ的值；
(2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值．
解 (1)因为a∥b，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，
于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝.
(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，
所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5.
从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，
即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，于是sin＝－.
又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜，
所以2θ＋＝或2θ＋＝.因此θ＝或θ＝.
考向三 平面向量与平面解析几何交汇
【例3】?(2012·兰州模拟)已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(＋)·(－)＝0.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值．
[审题视点] 第(1)问直接设动点P的坐标，先把向量之间的关系化简，然后代入向量坐标，化简整理即得轨迹方程；第(2)问先利用圆的性质化简向量数量积，将其转化为动点P与定点N的距离的最值，最后代入点的坐标将其转化为函数的最值求解．
解 (1)设P(x，y)，则Q(8，y)．
由(＋)·(－)＝0，得|PC|2－|PQ|2＝0，
即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，化简得＋＝1.
所以点P在椭圆上，其方程为＋＝1.
(2)因·＝(－)·(－)＝(－－)·(－)＝(－)2－2＝2－1，
P是椭圆＋＝1上的任一点，设P(x0，y0)，则有＋＝1，即x＝16－，又N(0,1)，所以2＝x＋(y0－1)2＝－y－2y0＋17＝－(y0＋3)2＋20.
因y0∈[－2，2]，所以当y0＝－3时，2取得最大值20，故·的最大值为19；
当y0＝2时，2取得最小值(2－1)2＝13－4，(此时x0＝0)，故·的最小值为12－4.
平面向量与平面解析几何交汇的题目，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中最值等问题，解决此类问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法．
【训练3】 已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足·＝0，＝－，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．
解 设M(x，y)为所求轨迹上任一点，设A(a,0)，Q(0，b)(b＞0)，则＝(a,3)，＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)，
由·＝0，得a(x－a)＋3y＝0.①
由＝－，
得(x－a，y)＝－(－x，b－y)＝，
∴∴
把a＝－代入①，得－＋3y＝0，
整理得y＝x2(x≠0)．
难点突破12——高考中平面向量与其他知识的交汇问题
平面向量是高中数学的重要知识，是高中数学中数形结合思想的典型体现．近几年新课标高考对向量知识的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与其他知识交汇的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显平面向量的交汇价值．
一、平面向量与命题的交汇
【示例】? (2011·陕西)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是
( )．
A．若a≠b，则|a|≠|b|
B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b
D．若|a|＝|b|，则a＝－b
二、平面向量与函数
【示例】? (2010·北京)若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是( )．
A．一次函数且是奇函数
B．一次函数但不是奇函数
C．二次函数且是偶函数
D．二次函数但不是偶函数
▲平面向量与线性规划(教师备选)
【示例】? (2011·福建)已知O是坐标原点，点A(－1,1)．若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是( )．
A．[－1,0] B．[0,1] C．[0,2] D．[－1,2]
高考资源网
w。w-w*k&s%5￥u
高考资源网
w。w-w*k&s%5￥u
【点此下载】