第1讲 集合的概念与运算
【2013年高考会这样考】
1．考查集合中元素的互异性．
2．求几个集合的交、并、补集．
3．通过给的新材料考查阅读理解能力和创新解题的能力．
【复习指导】
1．主要掌握集合的含义、集合间的关系、集合的基本运算，立足基础，抓好双基．
2．练习题的难度多数控制在低中档即可，适当增加一些情境新颖的实际应用问题或新定义题目，但数量不宜过多．
基础梳理
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．
(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.
(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．
2．集合间的基本关系
(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A?B(或B?A)．
(2)真子集：若A?B，且A≠B，则AB(或BA)．
(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，?B(B≠?)．
(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．
(5)集合相等：若A?B，且B?A，则A＝B.
3．集合的基本运算
(1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(3)补集：?UA＝{x|x∈U，且x?A}．
(4)集合的运算性质
①A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B；
②A∩A＝A，A∩?＝?；
③A∪A＝A，A∪?＝A；
④A∩?UA＝?，A∪?UA＝U，?U(?UA)＝A.
一个性质
要注意应用A?B、A∩B＝A、A∪B＝B、?UA??UB、A∩(?UB)＝?这五个关系式的等价性．
两种方法
韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．
三个防范
(1)空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何
非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．
(2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)．
(3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于( )．
A．{x|3≤x＜4} B．{x|x≥3}
C．{x|x＞2} D．{x|x≥2}
解析 B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，∴结合数轴得：A∪B＝{x|x≥2}．
答案 D
2．(2011·浙江)若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则( )．
A．P?Q B．Q?P C．?RP?Q D．Q??RP
解析 ∵?RP＝{x|x≥1}∴?RP?Q.
答案 C
3．(2011·福建)i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则( )．
A．i∈S B．i2∈S C．i3∈S D.∈S
解析 ∵i2＝－1，∴－1∈S，故选B.
答案 B
4．(2011·北京)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是
( )．
A．(－∞，－1] B. [1，＋∞)
C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析 因为P∪M＝P，所以M?P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1,1]．
答案 C
5．(人教A版教材习题改编)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{3,4}，A∪B＝{1,2,3,4}，则m＝________.
解析 A∪B＝{1,3，m}∪{3,4}＝{1,2,3,4}，
∴2∈{1,3，m}，∴m＝2.
答案 2
考向一 集合的概念
【例1】?已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
[审题视点] 分m＋2＝3或2m2＋m＝3两种情况讨论．
解析 因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.
当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，所以m＝1不合乎题意，舍去；当2m2＋m＝3时，解得m＝－或m＝1(舍去)，此时当m＝－时，m＋2＝≠3合乎题意．所以m＝－.
答案 －
集合中元素的互异性，一可以作为解题的依据和突破口；二可以检验所求结果是否正确．
【训练1】 设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋2}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．
解析 若a＋2＝3，a＝1，检验此时A＝{－1,1,3}，B＝{3,5}，A∩B＝{3}，满足题意．若a2＋2＝3，则a＝±1.当a＝－1时，B＝{1,3}此时A∩B＝{1,3}不合题意，故a＝1.
答案 1
考向二 集合的基本运算
【例2】?(2011·天津)已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝，则集合A∩B＝________.
[审题视点] 先化简集合A，B，再求A∩B.
解析 不等式|x＋3|＋|x－4|≤9等价于
或或
解不等式组得A＝[－4,5]，又由基本不等式得B＝[－2，＋∞)，所以A∩B＝
[－2,5]．
答案 {x|－2≤x≤5}
集合运算时首先是等价转换集合的表示方法或化简集合，然后用数轴图示法求解．
【训练2】 (2011·江西)若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝( )．
A．{x|－1≤x<0} B．{x|00，则当≤m2，即m≥时，集合A表示一个环形区域，集合B表示一个带形区域，从而当直线x＋y＝2m＋1与x＋y＝2m中至少有一条与圆(x－2)2＋y2＝m2有交点，即符合题意，从而有≤|m|或≤|m|，解得≤m≤2＋，由于>，所以≤m≤2＋.
综上所述，m的取值范围是≤m≤2＋.
答案
难点突破1——集合问题的命题及求解策略
在新课标高考中，可以看出，集合成为高考的必考内容之一，考查的形式是一道选择题或填空题，考查的分值约占5分，难度不大．纵观近两年新课标高考，集合考题考查的主要特点是：一是注重基础知识的考查，如2011年安徽高考的第8题；二是与函数、方程、不等式、三角等知识相结合，在知识的交汇点处命题，如2011年山东高考的第1题，与不等式相结合；三是在集合的定义运算方面进行了新的命题，如2011年浙江高考的第10题．
一、集合与排列组合
【示例】? (2011·安徽)设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S?A且S∩B≠?的集合S的个数是( )．
A．57 B．56
C．49 D．8
二、集合与不等式的解题策略
【示例】? (2011·山东)设集合M＝{x|x2＋x－6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N等于( )．
A．[1,2) B．[1,2] C．(2,3] D．[2,3]
三、集合问题中的创新问题
【示例】? (2011·浙江)设a，b，c为实数，f(x)＝(x＋a)(x2＋bx＋c)，g(x)＝(ax＋1)(cx2＋bx＋1)．记集合S＝{x|f(x)＝0，x∈R}，T＝{x|g(x)＝0，x∈R}．若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能的是( )．
A．|S|＝1且|T|＝0 B．|S|＝1且|T|＝1
C．|S|＝2且|T|＝2 D．|S|＝2且|T|＝3
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