放缩法在数列不等式证明中的运用 高考中利用放缩方法证明不等式，文科涉及较少，但理科却常常出现，且多是在压轴题中出现。放缩法证明不等式有法可依，但具体到题，又常常没有定法，它综合性强，形式复杂，运算要求高，往往能考查考生思维的严密性，深刻性以及提取和处理信息的能力，较好地体现高考的甄别功能。本文旨在归纳几种常见的放缩法证明不等式的方法，以冀起到举一反三，抛砖引玉的作用。 放缩后转化为等比数列。 例1.
满足：
用数学归纳法证明：

，求证：
解：(1)略 (2)
又

，
迭乘得：


点评：把握“
”这一特征对“
”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！ 二、放缩后裂项迭加 例2．数列
，
，其前
项和为
求证：
解：
令
，
的前
项和为
当
时，


点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。 例3.已知函数
的图象在
处的切线方程为
（1）用
表示出
（2）若
在
上恒成立，求
的取值范围 （3）证明：
解：（1）（2）略 （3）由（II）知：当
令
且当
令
即
将上述n个不等式依次相加得
整理得
点评：本题是2010湖北高考理科第21题。近年，以函数为背景建立一个不等关系，然后对变量进行代换、变形，形成裂项迭加的样式，证明不等式，这是一种趋势，应特别关注。当然，此题还可考虑用数学归纳法，但仍需用第二问的结论。 放缩后迭乘 例4．
. 求
令
，求数列
的通项公式 已知
，求证：
解：（1）（2）略 由（2）得




点评：裂项迭加，是项项相互抵消，而迭乘是项项约分，其原理是一样的，都似多米诺骨牌效应。只是求
项和时用迭加，求
项乘时用迭乘。

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