不等式知识总结
一、不等式的基本性质
1．两个实数a与b之间的大小关系
2．不等式的性质
(3)(可加性)
(4) (可乘性)
(5) (同向不等式可加性)
(6) (同向正数不等式可乘性)
(7) (正数不等式可乘方性)
(8) (正数不等式可开方性)
(9)
二、基本不等式
1.重要不等式：
①|a|≥0；a2≥0；(a－b)2≥0(a、b∈R)
②a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)
2.上面两个重要不等式有如下变形:
3.(1)利用基本不等式求函数最值的必要条件:
①各项必须为正;②含变数的各项和或积必须为定值;③必须有自变量值能使函数取到 = 号
“一正,二定,三相等”
(2)先变形再利用均值不等式求函数最值:
(3)取不到等号时用函数单调性求最值:
4.极值定理:x,y都是正数
(1).如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值;(积定和最小
(2) 如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值.(和定积最大
5.基本不等式的应用:
(1)利用基本不等式可以证明简单的不等式
(2)利用基本不等式求最值.
三、解不等式
1．解不等式问题的分类
(1)解一元一次不等式．
(2)解一元二次不等式．
(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式．
①解一元高次不等式；(化为x系数为正的一次因式,标根,连线,写出解集)
②解分式不等式；(化为整式不等式)
⑥解带绝对值的不等式；
⑦解不等式组．
2．解不等式时应特别注意下列几点：
(1)正确应用不等式的基本性质．
(2)注意代数式中未知数的取值范围．
四．简单的线性规划
(1)二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示直线Ax＋By＋C=0某一侧所有点组成的平面区域．
二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
(2)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题，
例如，z=ax＋by，其中x，y满足下列条件：
求z的最大值和最小值，这就是线性规划问题，不等式组(*)是一组对变量x、y的线性约束条件，z=ax＋by叫做线性目标函数．满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解．
五.习题训练:
1.若，则下列不等关系正确的是( )
(A) (B) (C) (D)
2.已知则下列不等式一定成立的是( )
(A) (B) (C) (D)
3. 已知函数的定义域为R，那么实数的取值范围是( )
(A) (B)[0,4] (C) (D)
4. 满足不等式的的最小实数值是
(A) –1 (B) 0 (C) 1 (D) 3
5.已知，则下列不等式恒成立的是( )
(A) (B) (C) (D)
6. 已知：且，则的最大值为( )
(A) (B) (C) (D)
7.关于的不等式的解集为，则的值为( )
(A)-24 (B)24 (C)14 (D)-14
8. .若是关于的方程的两个根，则的最小值为( )
(A) (B)18 (C)8 (D)无最小值
9. 函数的定义域为R,则整数a的值为( )
(A) 1 (B) 0 (C) 1或0 (D)以上都不正确
10.关于的不等式的解集为R，则的取值范围为( )
(A) (B) (C) (D)
11. 已知，试比较 (用不等号填空)
12. 如果，则的取值范围是 .的取值范围是 .
13. 设，，若，，则= , = 。
14.不等式的解集为 .
15.函数的值域为 .
16.若，试比较的大小
17.在等差数列和等比数列中，，，，试比较的大小.
18.已知不等式对任意实数恒成立，试求实数的值.
19.求函数的最小值
*20.关于x的方程至少有一个正实数根时,求实数a的取值范围.
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