§8.1 椭圆及其标准方程
一、教学目标
1.知识教学点
使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．
2.能力训练点
通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．
3.学科渗透点
通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．
二、教材分析
1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．
(解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．)
2．难点：椭圆的标准方程的推导．
(解决办法：推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．)
3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因．
(解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．)
三、活动设计
提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答．
四、教学过程
(一)椭圆概念的引入
前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：
问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？
对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正．这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识．
提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形．
问题2：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？
一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．对同学提出的轨迹命题如：
“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．”
“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．”
“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．”
教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神．
比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？这时教师示范引导学生绘图：
取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．
教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等……
认识椭圆（幻灯片）
在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：
平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．
学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：
(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．
(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．
(二)椭圆标准方程的推导
1．标准方程的推导
由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．
如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．
(1)建系设点
建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．
以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．
(2)点的集合
由定义不难得出椭圆集合为：
P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．
(3)代数方程
(4)化简方程
化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要
(a＞b＞0)．
关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．
示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2．
2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)
F1(-c，0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；
F1(-c，0)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．
教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．
不
同
点
标准方程
图形
焦点坐标
F1(－c,0) , F2(c,0)
F1(－c,0) , F2(c,0)
共
同
点
定义
a、b、c的关系
a>b>0，b，c大小不确定。
焦点的位置的判定
x2,y2项中哪个分母大，焦点就在那一条轴上。
(三)例题与练习
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)、(0，2)，并且椭圆经过点 解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 ∵ 2a＝10，2c＝8， ∴ a＝5，c＝4． ∴ b2=a2－c2=52－42=9． 所以所求椭圆的标准方程为 (2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知， 又c=2， ∴ b2=a2－c2＝10－4=6． 所以所求椭圆的标准方程为 例2 已知B、C是两个定点，|BC|＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程． 分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系．为选择适当的坐标系，常常需要画出草图． 在图8－4中，由△ABC的周长等于16，|BC|＝6可知，点A到B、C两点的距离的和是常数，即|AB|＋|AC|=16－6=10，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图(图8－4)． 解：如图8－4，建立坐标系，使x轴经过点B、C，原点O与BC的中点重合． 由已知|AB|＋|AC|＋|BC|=16，|BC|=6，有|AB|＋|AC|=10， 即点A的轨迹是椭圆，且 2c＝6，2a＝16－6＝10， ∴ c＝3，a＝5，b2＝52－32＝16． 但当点A在直线BC上，即y＝0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是 注 求出曲线的方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件． 练习1、椭圆的a=_________,b=__________,c=____________.
焦点坐标是 。
练习2、动点P到两个定点的距离之和为8,则P点的轨迹为( ）
A、椭圆 B、线段F1F2 C、直线F1F2 D、不能确定
练习3、椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离是_______。
练习4、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在x轴上，a=4,b=1
(2)
练习5、方程x2+ky2=2的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（ ）
A、（0，+∞） B、（0，2） C、（1，+ ∞ ） D、（0，1）
练习6、方程 表示焦点在X轴上的椭圆，
则k的取值范围为 .
引申：
在平面直角坐标系中，已知ΔABC中B(-3,0)，C(3,0),且三边|AC|, |BC| , |AB|长依次成等差数列，求顶点A的轨迹方程。
(四)小结
1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2．焦点：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．
3.讨论了求椭圆标准方程的方法：
注意：求出曲线的方程之后，要验证方程的曲线上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点应在所得方程后注明限制条件。
4.求满足条件的点的轨迹方程时：
（1）若不清楚轨迹类型：用坐标法；
（2）若清楚轨迹类型，则建立适当的坐标系，设出其方程，再确定方程中的参数即可。
五、布置作业
方程表示__________________________.
方程表示_________________________.
3、P96 习题8.1 1、3、4、5.
4、《轻巧夺冠》第64页 能力测试
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