复 数(选学)
一：基本概念
1．复数的概念：
（1）虚数单位i；
（2）复数的代数形式z=a+bi，(a, b∈R)；
（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。
2．复数集
复数a+bi(a, b∈R)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时称为纯虚数。
应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。
3．复数的四则运算
若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，
a) 复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i^2=－1结合到实际运算过程中去。
（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；
（2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i；[来源: ]
（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i；
b)复数的除法：
复数的除法是复数乘法的逆运算，由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即.[来源: ]
（4）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
（5）特殊复数的运算：
① (n为整数)的周期性运算； ② (1±i)^2=±2i；
③ 若ω=－+i，则ω^3=1，1+ω+ω^2=0.
4. 复数z=a+bi的模，|a|=, 且=a^2+b^2.
5. 共轭复数
定义：对于复数z=a+bi，称复数=a-bi为z的共轭复数。即两个实部相等，虚部（虚部不等于0）互为相反数的复数互为共轭复数。复数z的共轭复数记作ˊ。表示方法为在字母z上方加一横线即共轭符号。
根据定义，若z=a+bi(a，b∈R），则 ˊ=a－bi（a,b∈R）。共轭复数所对应的点关于实轴对称.在复平面上。表示两个共轭复数的点关于X轴对称.而这一点正是"共轭"一词的来源。两头牛平行地拉一部犁，它们的肩膀上要共架一个横梁，这横梁就叫做"轭".
共轭复数有些有趣的性质：
(1)︱a+bi︱=︱a-bi︱
(2)(a+bi)*(a-bi)=a^2+b^2
(3) 若z=a+bi，则，=2a为实数，=2bi为纯虚数(b≠0).
二．学习方法与指导
1．根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d∈R，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di. 由这个定义得到a+bi=0.
两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。[来源:]
两个复数相当的定义实际上给出了将复数问题转化为实数问题的方法，是求复数值、在复数集中解方程得重要依据。[来源: ]
2．复数a+bi的共轭复数是a－bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。
3.下面介绍另外几种复数的表达形式。
①几何形式。 [来源: ]
在直角坐标系中，以x为实轴，y为虚轴，O为原点形成的坐标系叫做复平面。
这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定
复数z=a+bi 用复平面上的点 z（a，b ）表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。
②向量形式。复数z=a+bi用一个以原点O为起点，点Z（a，b）为终点的向量OZ表示。这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释。
③三角形式。复数z=a+bi化为三角形式
z=r（cosθ+isinθ）
式中r= √（a^2+b^2），是复数的模（即绝对值）
θ 是以x轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，辐角的主值记作argz
这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。
④指数形式。将复数的三角形式z=r( cosθ+isinθ）中的cosθ+isinθ换为 exp(iθ），复数就表为指数形式z=r exp(iθ）
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