双_曲_线
[知识能否忆起]
1．双曲线的定义
平面内与定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴对称中心：原点
对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
通径
过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的左焦点的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵双曲线方程可化为x2－＝1，
∴a2＝1，b2＝.∴c2＝a2＋b2＝，c＝.
∴左焦点坐标为.
2．(教材习题改编)若双曲线－y2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为( )
A. B.
C. D．2
解析：选C 依题意得a2＋1＝4，a2＝3，
故e＝＝＝.
3．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．4 B．8
C．24 D．48
解析：选C 由P是双曲线上的一点和3|PF1|＝4|PF2|可知，|PF1|－|PF2|＝2，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6.又|F1F2|＝2c＝10，所以△PF1F2为直角三角形，所以△PF1F2的面积S＝×6×8＝24.
4．双曲线－y2＝1(a＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________．
解析：由题意知＝ ＝2，解得a＝，故该双曲线的渐近线方程是x±y＝0，即y＝±x.
答案：y＝±x
5．已知F1(0，－5)，F2(0,5)，一曲线上任意一点M满足|MF1|－|MF2|＝8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k，该曲线的离心率为e，则|k|·e＝________.
解析：根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在y轴上的双曲线的上支，
∵c＝5，a＝4，∴b＝3，e＝＝，|k|＝.
∴|k|·e＝×＝.
答案：
1.区分双曲线与椭圆中a、b、c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.双曲线的离心率e＞1；椭圆的离心率e∈(0,1)．
2．渐近线与离心率：
－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为＝ ＝ ＝.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．
[注意] 当a>b>0时，双曲线的离心率满足10时，e＝(亦称为等轴双曲线)；
当b>a>0时，e>.
3．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．
双曲线的定义及标准方程
典题导入
[例1] (1)(2012·湖南高考)已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)(2012·辽宁高考)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
[自主解答] (1)∵－＝1的焦距为10，
∴c＝5＝.①
又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2,1)在渐近线上，∴＝1，即a＝2b.②
由①②解得a＝2，b＝.
(2)不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，
所以(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2，
又因为|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4，
则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|＋|PF2|＝2.
[答案] (1)A (2)2
由题悟法
1．应用双曲线的定义需注意的问题
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．
2．双曲线方程的求法
(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
(2)与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
(3)若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．
以题试法
1．(2012·大连模拟)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝( )
A．1 B．17
C．1或17 D．以上答案均不对
解析：选B 由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，又∵|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或17，但双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2＞1，∴|PF2|＝17.
双曲线的几何性质
典题导入
[例2] (2012·浙江高考)如图，F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a，b＞0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是( )
A. B.
C. D.
[自主解答] 设双曲线的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．
∵B(0，b)，∴F1B所在的直线为－＋＝1.①
双曲线渐近线为y＝±x，
由得Q .
由得P，
∴PQ的中点坐标为.
由a2＋b2＝c2得，PQ的中点坐标可化为.
直线F1B的斜率为k＝，
∴PQ的垂直平分线为y－＝－.
令y＝0，得x＝＋c，
∴M，∴|F2M|＝.
由|MF2|＝|F1F2|得
＝＝2c，
即3a2＝2c2，∴e2＝，∴e＝.
[答案] B
若本例条件变为“此双曲线的一条渐近线与x轴的夹角为α，且＜α＜”，求双曲线的离心率的取值范围．
解：根据题意知1＜＜，
即1＜＜ .所以＜e＜2.
即离心率的取值范围为( ，2)．
由题悟法
1．已知渐近线方程y＝mx，求离心率时，若焦点位置不确定时，m＝(m＞0)或m＝，故离心率有两种可能．
2．解决与双曲线几何性质相关的问题时，要注意数形结合思想的应用．
以题试法
2．(1)(2012·福建高考)已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由题意知c＝3，故a2＋5＝9，解得a＝2，故该双曲线的离心率e＝＝.
(2)(2012·大同模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选B 设点P(m，n)，依题意得，点F(2,0)，由点P在抛物线y2＝8x上，且|PF|＝5得由此解得m＝3，n2＝24.于是有由此解得a2＝1，b2＝3，该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
直线与双曲线的位置关系
典题导入
[例3] (2012·南昌模拟)已知双曲线－＝1(b>a>0)，O为坐标原点，离心率e＝2，点M(，)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线l与双曲线交于P，Q两点，且·＝0.求＋的值．
[自主解答] (1)∵e＝2，∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，
双曲线方程为－＝1，即3x2－y2＝3a2.
∵点M(，)在双曲线上，∴15－3＝3a2.∴a2＝4.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
(2)设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，联立－＝1，得
∴|OP|2＝x2＋y2＝.
则OQ的方程为y＝－x，
同理有|OQ|2＝＝，
∴＋＝＝＝.
由题悟法
1．解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．
2．与中点有关的问题常用点差法．
[注意] 根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．
以题试法
3．(2012·长春模拟)F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，满足|,|＝3|,|，则此双曲线的渐近线方程为________________．
解析：由双曲线的性质可得|,|＝b，则|,|＝3b.在△MF1O中，|,|＝a，|,|＝c，cos ∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，所以a2＝2b2，即＝，故此双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
1．(2013·唐山模拟)已知双曲线的渐近线为y＝±x，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A 由题意可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由已知条件可得即
解得故双曲线方程为－＝1.
2．若双曲线过点(m，n)(m＞n＞0)，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点( )
A．在x轴上 B．在y轴上
C．在x轴或y轴上 D．无法判断是否在坐标轴上
解析：选A ∵m＞n＞0，∴点(m，n)在第一象限且在直线y＝x的下方，故焦点在x轴上．
3．(2012·华南师大附中模拟)已知m是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的离心率为( )
A.或 B.
C. D.或
解析：选D ∵m2＝16，∴m＝±4，故该曲线为椭圆或双曲线．当m＝4时，e＝＝＝.当m＝－4时，e＝＝＝.
4.(2012·浙江高考)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A．3 B．2
C. D.
解析：选B 设焦点为F(±c,0)，双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝，所以＝2.
5．(2013·哈尔滨模拟)已知P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且,·,＝0，若△PF1F2的面积为9，则a＋b的值为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C 由,·,＝0得,⊥,，设|,|＝m，|,|＝n，不妨设m＞n，则m2＋n2＝4c2，m－n＝2a，mn＝9，＝，解得∴b＝3，∴a＋b＝7.
6．(2012·浙江模拟)平面内有一固定线段AB，|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB中点，则|OP|的最小值为( )
A．3 B．2
C. D．1
解析：选C 依题意得，动点P位于以点A，B为焦点、实轴长为3的双曲线的一支上，结合图形可知，该曲线上与点O距离最近的点是该双曲线的一个顶点，因此|OP|的最小值等于.
7．(2012·西城模拟)若双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3,0)，则实数k＝________.
解析：∵双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3,0)，
∴1＋＝32＝9，可得k＝.
答案：
8．(2012·天津高考)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________，b＝________.
解析：双曲线－＝1的渐近线为y＝±2x，则＝2，即b＝2a，又因为c＝，a2＋b2＝c2，所以a＝1，b＝2.
答案：1 2
9．(2012·济南模拟)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________．
解析：设双曲线的右焦点为F′.由于E为PF的中点，坐标原点O为FF′的中点，所以EO∥PF′，又EO⊥PF，所以PF′⊥PF，且|PF′|＝2×＝a，故|PF|＝3a，根据勾股定理得|FF′|＝a.所以双曲线的离心率为＝.
答案：
10．(2012·宿州模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线方程；
(2)求证：·＝0.
解：(1)∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为－＝1.
(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，∴c＝2，
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.
∴·＝0.
11．(2012·广东名校质检)已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.
(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
解：(1)由16x2－9y2＝144得－＝1，
所以a＝3，b＝4，c＝5，
所以焦点坐标F1(－5,0)，F2(5,0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x.
(2)由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝6，
cos ∠F1PF2＝
＝
＝＝0，
则∠F1PF2＝90°.
12．如图，P是以F1、F2为焦点的双曲线C：－＝1上的一点，已知1·2＝0，且|1|＝2|2|.
(1)求双曲线的离心率e；
(2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P1，P2两点，若1·2＝－，21＋2＝0.求双曲线C的方程．
解：(1)由1·2＝0，得1⊥2，即△F1PF2为直角三角形．设|2|＝r，|1|＝2r，所以(2r)2＋r2＝4c2，2r－r＝2a，即5×(2a)2＝4c2.所以e＝.
(2)＝＝2，可设P1(x1,2x1)，P2(x2，－2x2)，P(x，y)，
则1·2＝x1x2－4x1x2＝－，
所以x1x2＝.①
由21＋2＝0，得
即x＝，y＝.又因为点P在双曲线－＝1上，
所以－＝1.
又b2＝4a2，代入上式整理得x1x2＝a2.②
由①②得a2＝2，b2＝8.
故所求双曲线方程为－＝1.
1．(2012·长春模拟)设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足|,＋,|＝|,|，则的值为( )
A. B．2
C. D．1
解析：选A 依题意，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，不妨设m＞n.则由|,＋,|＝|,|得|,＋,|＝|,－,|＝|,－,|，即|,＋,|2＝|,－,|2，所以,·,＝0，所以m2＋n2＝4c2.又e1＝，e2＝，所以＋＝＝2，所以＝＝.
2．已知双曲线－＝1(a＞1，b＞0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，则双曲线的离心率e的取值范围为________．
解析：由题意知直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.由点到直线的距离公式得，点(1,0)到直线l的距离d1＝，同理得，点(－1,0)到直线l的距离d2＝，s＝d1＋d2＝＝.由s≥c，得≥c，即5a≥2c2.
所以5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0，解得≤e2≤5.
由于e＞1，所以e的取值范围为.
答案：
3．设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为 .
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使,＋,＝t,，求t的值及点D的坐标．
解：(1)由题意知a＝2，故一条渐近线为y＝x，
即bx－2y＝0，则＝，
得b2＝3，故双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，
将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12，
则得
故t＝4，点D的坐标为(4，3)．
1．(2012·岳阳模拟)直线x＝2与双曲线C：－y2＝1的渐近线交于E1，E2两点，记,＝e1，,＝e2，任取双曲线C上的点P，若,＝ae1＋be2，则实数a和b满足的一个等式是________．
解析：可求出e1＝(2,1)，e2＝(2，－1)，设P(x0，y0)，则则(a＋b)2－(a－b)2＝1，得ab＝.
答案：ab＝
2．已知双曲线－＝1的左，右焦点分别为F1、F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为________________．
解析：根据已知得点P的坐标为，则|PF2|＝，又∠PF1F2＝，则|PF1|＝，故－＝2a，所以＝2，＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
3．(2012·大同模拟)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA―→,·OB―→,＞2(其中O为原点)，求k的取值范围．
解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
由已知得a＝，c＝2，再由c2＝a2＋b2得b2＝1，
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
整理得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，
由题意得
故k2≠且k2＜1，①
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝，
xA·xB＝，
由,·,＞2得xAxB＋yAyB＞2，
又xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)
＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2
＝(k2＋1)·＋k·＋2＝，
于是＞2，即＞0，
解不等式得＜k2＜3，②
由①②得＜k2＜1，
所以k的取值范围为∪.
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