第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式
[知识能否忆起]
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．
(2)商数关系：tan α＝.
2．六组诱导公式
角
函数
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin_α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos_α
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tan_α
tan_α
－tan_α
－tan_α
对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
[小题能否全取]
1．sin 585°的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A sin 585°＝sin(360°＋225°)
＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°
＝－.
2．(教材习题改编)已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，
∴－sin θ＝－cos θ，∴tan θ＝.
∵|θ|<，∴θ＝.
3．已知tan θ＝2，则＝( )
A．2 B．－2
C．0 D.
解析：选B 原式＝＝＝＝－2.
4．(教材习题改编)如果sin(π＋A)＝，那么cos的值是________．
解析：∵sin(π＋A)＝，∴－sin A＝.
∴cos＝－sin A＝.
答案：
5．已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α＝________.
解析：由题意知cos α<0，又sin2α＋cos2α＝1，
tan α＝＝－.∴cos α＝－.
答案：－
应用诱导公式时应注意的问题
(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定．
(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
(3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化．
同角三角函数的基本关系式
典题导入
[例1] (1)(2012·江西高考)若tan θ＋＝4，则sin 2θ＝( )
A. B.
C. D.
(2)已知sin(3π＋α)＝2sin，则＝________.
[自主解答] (1)∵tan θ＋＝4，
∴＋＝4，
∴＝4，即＝4，
∴sin 2θ＝.
(2)法一：由sin(3π＋α)＝2sin得tan α＝2.
原式＝＝＝－.
法二：由已知得sin α＝2cos α.
原式＝＝－.
[答案] (1)D (2)－
在(2)的条件下，sin2α＋sin 2α＝________.
解析：原式＝sin2α＋2sin αcos α＝＝＝.
答案：
由题悟法
1．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二(参阅本节题型技法点拨)．
3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
以题试法
1．(1)(2012·长沙模拟)若角α的终边落在第三象限，则＋的值为( )
A．3 B．－3
C．1 D．－1
(2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________.
解析：(1)由角α的终边落在第三象限得sin α<0，cos α<0，
故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.
(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，
∴sin2α＝4sin2β，①
tan2α＝9tan2β，②
由①÷②得：9cos2α＝4cos2β，③
①＋③得：sin2α＋9cos2α＝4，
∵cos2α＋sin2α＝1，
∴cos2α＝，即cos α＝±.
答案：(1)B (2)±
三角函数的诱导公式
典题导入
[例2] (1)＝________.
(2)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是( )
A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}
C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}
[自主解答] (1)原式
＝
＝＝
＝－＝－·＝－1.
(2)当k为偶数时，A＝＋＝2；
k为奇数时，A＝－＝－2.
[答案] (1)－1 (2)C
由题悟法
利用诱导公式化简求值时的原则
(1)“负化正”，运用－α的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
(2)“大化小”，利用k·360°＋α(k∈Z)的诱导公式将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数．
(3)“小化锐”，将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
(4)“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
以题试法
2．(1)(2012·滨州模拟)sin 600°＋tan 240°的值等于( )
A．－ B.
C.－ D.＋
(2)已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx－β)，其中α，β，a，b均为非零实数，若f(2 012)＝－1，则f(2 013)等于________．
解析：(1)sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－＋＝.
(2)由诱导公式知f(2 012)＝asin α＋bcos β＝－1，
∴f(2 013)＝asin(π＋α)＋bcos(π－β)＝－(asin α＋bcos β)＝1.
答案：(1)B (2)1
诱导公式在三角形中的应用
典题导入
[例3] 在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos (π－B)，求△ABC的三个内角．
[自主解答] 由已知得sin A＝sin B，cos A＝cos B两式平方相加得2cos2A＝1，
即cos A＝或cos A＝－.
(1)当cos A＝时，cos B＝，又角A、B是三角形的内角，
∴A＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝.
(2)当cos A＝－时，cos B＝－，
又角A、B是三角形的内角，∴A＝，B＝，不合题意．
综上知，A＝，B＝，C＝.
由题悟法
1．诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：A＋B＝π－C,2A＋2B＝2π－2C，＋＋＝等，于是可得sin(A＋B)＝sin C，cos＝sin 等；
2．求角时，通常是先求出该角的某一个三角函数值，再结合其范围，确定该角的大小．
以题试法
3．在三角形ABC中，
(1)求证：cos2＋cos2＝1；
(2)若cossintan (C－π)<0，求证：三角形ABC为钝角三角形．
证明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，则＝－，
所以cos＝cos＝sin，
故cos2＋cos2＝1.
(2)若cossintan (C－π)<0，
则(－sin A)(－cos B)tan C<0，
即sin Acos Btan C<0，
∵在△ABC中，00，或
∴B为钝角或C为钝角，故△ABC为钝角三角形．
1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( )
A．sin θ<0，cos θ>0 B．sin θ>0，cos θ<0
C．sin θ>0，cos θ>0 D．sin θ<0，cos θ<0
解析：选B sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0.
∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0.∴cos θ<0.
2．(2012·安徽名校模拟)已知tan x＝2，则sin2x＋1＝( )
A．0 B.
C. D.
解析：选B sin2x＋1＝＝＝.
3．(2012·江西高考)若＝，则tan 2α＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B ∵＝＝，∴tan α＝－3.
∴tan 2α＝＝.
4．(2013·淄博模拟)已知sin 2α＝－，α∈，则sin α＋cos α＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝，
又α∈，sin α＋cos α>0，
所以sin α＋cos α＝.
5．已知cos＝，且|φ|<，则tan φ＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D cos＝sin φ＝，
又|φ|<，则cos φ＝，所以tan φ＝.
6．已知2tan α·sin α＝3，－＜α＜0，则sin α＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B 由2tan α·sin α＝3得，＝3，
即2cos2α＋3cos α－2＝0，又－＜α＜0，
解得cos α＝(cos α＝－2舍去)，
故sin α＝－.
7．cos－sin的值是________．
解析：原式＝cos＋sin ＝cos＋sin＝.
答案：
8．若＝2，则sin(θ－5π)sin＝________.
解析：由＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)，
故sin θcos θ＝，
∴sin(θ－5π)sin＝sin θcos θ＝.
答案：
9．(2013·中山模拟)已知cos＝，则sin＝________.
解析：sin＝sin
＝－sin＝－cos＝－.
答案：－
10．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.
解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945°
＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°
＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°
＝×＋×＋1＝2.
11．已知cos(π＋α)＝－，且α是第四象限角，计算：
(1)sin(2π－α)；
(2)(n∈Z)．
解：∵cos(π＋α)＝－，∴－cos α＝－，cos α＝.
又∵α是第四象限角，
∴sin α＝－＝－.
(1)sin(2π－α)＝sin [2π＋(－α)]＝sin(－α)
＝－sin α＝；
(2)
＝
＝
＝
＝
＝－＝－4.
12．(2012·信阳模拟)已知角α的终边经过点P.
(1)求sin α的值；
(2)求·的值．
解：(1)∵|OP|＝1，
∴点P在单位圆上．
由正弦函数的定义得sin α＝－.
(2)原式＝·
＝＝，
由余弦函数的定义得cos α＝.故所求式子的值为.
1．已知＝－，那么的值是( )
A. B．－
C．2 D．－2
解析：选A 由于·＝＝－1，故＝.
2．若角α的终边上有一点P(－4，a)，且sin α·cos α＝，则a的值为( )
A．4 B．±4
C．－4或－ D.
解析：选C 依题意可知角α的终边在第三象限，点P(－4，a)在其终边上且sin α·cos α＝易得tan α＝或，则a＝－4或－.
3．已知A、B、C是三角形的内角，sin A，－cos A是方程x2－x＋2a＝0的两根．
(1)求角A；
(2)若＝－3，求tan B.
解：(1)由已知可得，sin A－cos A＝1.①
又sin2A＋cos2A＝1，
所以sin2A＋(sin A－1)2＝1，
即4sin2A－2sin A＝0，
得sin A＝0(舍去)或sin A＝，
则A＝或，
将A＝或代入①知A＝时不成立，
故A＝.
(2)由＝－3，
得sin2B－sin Bcos B－2cos2B＝0，
∵cos B≠0，∴tan2B－tan B－2＝0，
∴tan B＝2或tan B＝－1.
∵tan B＝－1使cos2B－sin2B＝0，舍去，
故tan B＝2.
1．已知sin＝m，则cos等于( )
A．m B．－m
C. D．－
解析：选A ∵sin＝m，
∴cos＝sin＝m.
2．求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ＝＋.
证明：左边＝sin θ＋cos θ
＝sin θ＋＋cos θ＋
＝＋
＝＋
＝＋＝右边．
3．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝.求下列各式的值：
(1)sin α－cos α；
(2)sin3＋cos3.
解：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，
得sin α＋cos α＝，①
将①两边平方，得1＋2sin α·cos α＝，故2sin α·cos α＝－.
又<α<π，∴sin α>0，cos α<0.
(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－＝，∴sin α－cos α＝.
(2)sin3＋cos3＝cos3α－sin3α＝(cos α－sin α)(cos2α＋cos α·sin α＋sin2α)＝－×＝－.
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