椭__圆
[知识能否忆起] 1．椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程及其几何性质 条件 2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0  图形 

 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)  范围 |x|≤a；|y|≤b |x|≤b；|y|≤a  对称性 曲线关于x轴、y轴、原点对称 曲线关于x轴、y轴、原点对称  顶点 长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0，±b) 长轴顶点(0，±a) 短轴顶点(±b,0)  焦点 (±c,0) (0，±c)  焦距 |F1F2|＝2c(c2＝a2－b2)  离心率 e＝∈(0,1)，其中c＝  通径 过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为   [小题能否全取] 1．(教材习题改编)设P是椭圆＋＝1的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　) A．4　　　　　　　　　 B．8 C．6 D．18 解析：选C　依定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6. 2．(教材习题改编)方程＋＝1表示椭圆，则m的范围是(　　) A．(－3,5) B．(－5,3) C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3) 解析：选C　由方程表示椭圆知 解得－3＜m＜5且m≠1. 3．(2012·淮南五校联考)椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　) A．－21 B．21 C．－或21 D.或21 解析：选C　若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝， 由＝，即＝，得k＝－； 若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝， 由＝，即＝，解得k＝21. 4．(教材习题改编)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8.则该椭圆的方程是________． 解析：∵2c＝8，∴c＝4， ∴e＝＝＝，故a＝8. 又∵b2＝a2－c2＝48，∴椭圆的方程为＋＝1. 答案：＋＝1 5．已知F1，F2是椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为________． 解析：在三角形PF1F2中，由正弦定理得 sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝， 设|PF2|＝1，则|PF1|＝2，|F2F1|＝， 所以离心率e＝＝. 答案： 1.椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在． 2．已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论．

椭圆的定义及标准方程  
典题导入 [例1]　(2012·山东高考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为(　　) A.＋＝1　　　　　　 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 [自主解答]　∵椭圆的离心率为， ∴＝＝，∴a＝2b. 故椭圆方程为x2＋4y2＝4b2. ∵双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0， ∴渐近线x±y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为， ∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为b×b＝4，∴b2＝5，即a2＝4b2＝20. 故椭圆C的方程为＋＝1. [答案]　D
本例中条件“双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16”变为“此椭圆的长轴长等于圆x2＋y2－2x－15＝0的半径”问题不变． 解：∵x2＋y2－2x－15＝0， ∴(x－1)2＋y2＝16，∴r＝4，即2a＝4，a＝2. 又＝，∴c＝， ∴b＝1，故椭圆方程为＋y2＝1.

由题悟法 1．解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑用定义来解题． 2．椭圆方程的求法多用待定系数法，其步骤为： (1)定标准；(2)设方程；(3)找关系；(4)得方程． 3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，且A≠B)．
以题试法 1．(2012·张家界模拟)椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝(　　) A. B. C. D．4 解析：选A　因为a2＝4，b2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝. 不妨设F1为左焦点，P在x轴上方，则F1(－，0)，设P(－，m)(m＞0)，则＋m2＝1，解得m＝，所以|PF1|＝根据椭圆定义|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－|PF1|＝22－＝. 
椭圆的几何性质  
典题导入 [例2]　(1)F1、F2是椭圆＋y2＝1的左右焦点，点P在椭圆上运动．则
·
的最大值是(　　) A．－2　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．4 (2)(2012·江西高考)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1、F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D.－2 [自主解答]　(1)设P(x，y)，依题意得F1(－，0)，F2(，0)，
·
＝(－－x)(－x)＋y2＝x2＋y2－3＝x2－2.∵0≤x2≤4，∴－2≤x2－2≤1.∴
·
的最大值是1. (2)由题意知|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c，且三者成等比数列，则|F1F2|2＝|AF1|·|F1B|，即4c2＝a2－c2，a2＝5c2，所以e2＝，故e＝. [答案]　(1)B　(2)B
由题悟法 1．求椭圆的离心率实质上是建立a，b，c中任意两者或三者之间的关系，利用e＝或e＝ 去整体求解． 2．解决与椭圆几何性质有关的问题时：一是要注意定义的应用；二是要注意数形结合；三是要注意－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键作用．
以题试法 2．(1)(2012·西工大附中适应性训练)已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点的坐标为(3,0)，|
,|＝1，且
,·
,＝0，则|
,|的最小值为________． (2)设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是________． 解析：(1)由|
,|＝1，A(3,0)知点M在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，∵
,·
,＝0且P在椭圆上运动，∴PM⊥AM，∴PM为⊙A的切线，连接PA(如图)，则|
,|＝ ＝ ，∴当|
,|min＝a－c＝5－3＝2时，|
,|min＝ . (2)设P，线段F1P的中点Q的坐标为，则直线F1P的斜率kF1P＝，当直线QF2的斜率存在时，设直线QF2的斜率为kQF2＝(b2－2c2≠0)由kF1P·kQF2＝－1得y2＝≥0，但注意到b2－2c2≠0，故2c2－b2＞0，即3c2－a2＞0，即e2＞，故＜e＜1.当直线QF2的斜率不存在时，y＝0，F2为线段PF1的中点．由－c＝2c得e＝，综上得≤e＜1. 答案：(1)　(2)
直线与椭圆的位置关系  
典题导入 [例3]　(2012·安徽高考)如图，F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°. (1)求椭圆C的离心率； (2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值． [自主解答]　(1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝. (2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2， 直线AB的方程为y＝－(x－c)． 将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B， 所以|AB|＝·＝c. 由S△AF1B＝|AF1|·|AB|sin ∠F1AB＝a·c·＝a2＝40，解得a＝10，b＝5. 法二：设|AB|＝t. 因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a. 由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t， 再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°可得， t＝a.由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40知， a＝10，b＝5.
由题悟法 1．直线与椭圆位置关系的判断 将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判断式Δ的符号来确定：当Δ>0时，直线和椭圆相交；当Δ＝0时，直线和椭圆相切；当Δ<0时，直线和椭圆相离． 2．直线和椭圆相交的弦长公式 |AB|＝ 或|AB|＝ . 3．直线与椭圆相交时的常见处理方法 当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．
以题试法 3．(2012·潍坊模拟)已知直线l：y＝x＋，圆O：x2＋y2＝5，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等． (1)求椭圆E的方程； (2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值． 解：(1)设椭圆的半焦距为c，圆心O到直线l的距离d＝＝，∴b＝＝. 由题意知∴a2＝3，b2＝2. ∴椭圆E的方程为＋＝1. (2)证明：设点P(x0，y0)，过点P的椭圆E的切线l0的方程为y－y0＝k(x－x0)， 联立直线l0与椭圆E的方程得 消去y得 (3＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(kx0－y0)2－6＝0， ∴Δ＝[4k(y0－kx0)]2－4(3＋2k2)[2(kx0－y0)2－6]＝0， 整理得(2－x)k2＋2kx0y0－(y－3)＝0. 设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1，k2， 则k1·k2＝－， ∵点P在圆O上，∴x＋y＝5，∴k1·k2＝－＝－1. 故两条切线的斜率之积为常数－1.

1．(2012·海淀模拟)2＜m＜6是方程＋＝1表示椭圆的(　　) A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分与不必要条件 解析：选B　若＋＝1表示椭圆， 则有∴2＜m＜6且m≠4， 故2＜m＜6是＋＝1表示椭圆的必要不充分条件． 2．已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1或＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1 解析：选B　∵a＝4，e＝，∴c＝3. ∴b2＝a2－c2＝16－9＝7. ∴椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1. 3．(2012·新课标全国卷)设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　) A. B. C. D. 解析：选C　由题意可得|PF2|＝|F1F2|，∴2＝2c，∴3a＝4c，∴e＝. 4．(2013·沈阳二中月考)已知椭圆＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点M在椭圆上，
,·
,＝0，则M到y轴的距离为(　　) A. B. C. D. 解析：选B　由条件知，点M在以线段F1F2为直径的圆上，该圆的方程是x2＋y2＝3，即y2＝3－x2，代入椭圆方程得＋3－x2＝1，解得x2＝，则|x|＝，即点M到y轴的距离为. 5．(2012·安徽师大附中模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为(　　) A. B. C. D. 解析：选B　由题意得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝.又e＞0，故所求的椭圆的离心率为. 6．一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2, )是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：选A　设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由点(2, )在椭圆上知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，＝，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6. 7．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________________． 解析：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，根据椭圆定义知2a＝12，即a＝6，由＝，得c＝3，b2＝a2－c2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为＋＝1. 答案：＋＝1 8．椭圆＋＝1的两焦点F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝________. 解析：易得|PF1|＝＝＝1.又点P在椭圆上，于是有|PF1|＋|PF2|＝8，|PF2|＝8－|PF1|＝7. 答案：7 9．(2012·哈尔滨模拟)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________． 解析：∵P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10， ∴|PM|＋|PF1|＝|PM|＋10－|PF2|＝10＋|PM|－|PF2|≤10＋|MF2|＝10＋5＝15， 当P，M，F2三点共线时取等号． 答案：15 10．已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)． (1)求椭圆G的方程； (2)求△PAB的面积． 解：(1)由已知得c＝2，＝.解得a＝2， 又b2＝a2－c2＝4. 所以椭圆G的方程为＋＝1. (2)设直线l的方程为y＝x＋m. 由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.① 设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x12)， 其离心率为，故＝，解得a＝4， 故椭圆C2的方程为＋＝1. (2)法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由
＝2
及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx. 将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4， 所以x＝. 将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16， 所以x＝. 又由
＝2
，得x＝4x，即＝， 解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x. 法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)， 由
＝2
及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上， 因此可设直线AB的方程为y＝kx. 将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以 x＝.由
＝2
，得x＝，y＝. 将x，y代入＋＝1中，得＝1，即4＋k2＝1＋4k2，　 解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
1．(2012·长春模拟)以O为中心，F1，F2为两个焦点的椭圆上存在一点M，满足|
,|＝2|
,|＝2|
,|，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 解析：选C　不妨设F1为椭圆的左焦点，F2为椭圆的右焦点．过点M作x轴的垂线，交x轴于N点，则N点坐标为，并设|
,|＝2|
,|＝2|
,|＝2t，根据勾股定理可知，|
,|2－|
,|2＝|
,|2－|
,|2，得到c＝t，而a＝，则e＝＝. 2．(2012·太原模拟)已知椭圆C1：＋＝1(a1＞b1＞0)和椭圆C2：＋＝1(a2＞b2＞0)的焦点相同且a1＞a2.给出如下四个结论： ①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；②a－a＝b－b；③＞；④a1－a2＜b1－b2. 其中，所有正确结论的序号是(　　) A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 解析：选C　由已知条件可得a－b＝a－b，可得a－a＝b－b，而a1＞a2，可知两椭圆无公共点，即①正确；又a－a＝b－b，知②正确；由a－b＝a－b，可得a＋b＝b＋a，则a1b2，a2b1的大小关系不确定，＞不正确，即③不正确；∵a1＞b1＞0，a2＞b2＞0，∴a1＋a2＞b1＋b2＞0，而又由(a1＋a2)(a1－a2)＝(b1＋b2)(b1－b2)，可得a1－a2＜b1－b2，即④正确．综上可得，正确的结论序号为①②④. 3．(2012·西城模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点是F(1,0)，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，y0)，求y0的取值范围． 解：(1)设椭圆C的半焦距是c.依题意，得c＝1. 因为椭圆C的离心率为， 所以a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3. 故椭圆C的方程为＋＝1. (2)当MN⊥x轴时，显然y0＝0. 当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y＝k(x－1)(k≠0)． 由消去y并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为Q(x3，y3)， 则x1＋x2＝. 所以x3＝＝，y3＝k(x3－1)＝. 线段MN的垂直平分线的方程为y＋＝－. 在上述方程中，令x＝0，得y0＝＝. 当k＜0时，＋4k≤－4； 当k＞0时，＋4k≥4. 所以－≤y0＜0或0＜y0≤. 综上，y0的取值范围是.
1．(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上． (1)求椭圆C1的方程； (2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程． 解：(1)根据椭圆的左焦点为F1(－1,0)，知a2－b2＝1，又根据点P(0,1)在椭圆上，知b＝1，所以a＝，所以椭圆C1的方程为＋y2＝1. (2)因为直线l与椭圆C1和抛物线C2都相切，所以其斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，代入椭圆方程得＋(kx＋m)2＝1，即x2＋2kmx＋m2－1＝0，由题可知此方程有唯一解，此时Δ＝4k2m2－4(m2－1)＝0，即m2＝2k2＋1.　① 把y＝kx＋m(k≠0)代入抛物线方程得y2－y＋m＝0，由题可知此方程有唯一解，此时Δ＝1－mk＝0，即mk＝1.　② 联立①②得解得k2＝， 所以或 所以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－. 2．(2012·湖南高考)在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2＋y2－4x＋2＝0 的圆心． (1)求椭圆E的方程； (2)设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2，当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标． 解：(1)由x2＋y2－4x＋2＝0得(x－2)2＋y2＝2，故圆C的圆心为点(2,0)． 从而可设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，其焦距为2c.由题设知c＝2，e＝＝.所以a＝2c＝4，b2＝a2－c2＝12.故椭圆E的方程为＋＝1. (2)设点P的坐标为(x0，y0)，l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1，l2的方程分别为l1：y－y0＝k1(x－x0)，l2：y－y0＝k2(x－x0)，且k1k2＝. 由l1与圆C：(x－2)2＋y2＝2相切得＝，即[(2－x0)2－2]k＋2(2－x0)y0k1＋y－2＝0. 同理可得[(2－x0)2－2]k＋2(2－x0)y0k2＋y－2＝0. 从而k1，k2是方程[(2－x0)2－2]k2＋2(2－x0)y0k＋y－2＝0的两个实根，于是 ① 且k1k2＝＝. 由得5x－8x0－36＝0. 解得x0＝－2或x0＝. 由x0＝－2得y0＝±3；由x0＝得y0＝±，它们均满足①式． 故点P的坐标为(－2,3)，或(－2，－3)，或 或. 3．(2012·河南模拟)已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围． 解：(1)由题意可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)， 则故 所以椭圆的方程为＋y2＝1. (2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0， 故可设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， 则Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0， 且x1＋x2＝，x1x2＝. 因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列， 又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2， 所以·＝＝k2， 即＋m2＝0，又m≠0，所以k2＝，即k＝±. 由于直线OP，OQ的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m2＜2且m2≠1. 设点O到直线l的距离为d， 则S△OPQ＝d|PQ|＝··＝|x1－x2||m|＝， 又0＜m2＜2且m2≠1，所以S△OPQ的取值范围为(0,1)．

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