椭圆及其标准方程
一、教学目标
(一)知识教学点
使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．
(二)能力训练点
通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．
(三)学科渗透点
通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．
二、教材分析
1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．
(解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．)
2．难点：椭圆的标准方程的推导．
(解决办法：推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．)
3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因．
(解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．)
三、活动设计
提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答．
四、教学过程
(一)椭圆概念的引入
前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：
问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？
对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正．这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识．
提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形．
问题3：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？
一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．对同学提出的轨迹命题如：
“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．”
“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．”
“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．”
教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神．
比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？这时教师示范引导学生绘图：
取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．
教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等……
在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：
平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．
学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：
(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．
(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．
(二)椭圆标准方程的推导
1．标准方程的推导
由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．
如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．
(1)建系设点
建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．
以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．
(2)点的集合
由定义不难得出椭圆集合为：
P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．
(3)代数方程
(4)化简方程
化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：
①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要
(a＞b＞0)．
关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．
示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2．
2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)
0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；
-c)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．
教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．
(三)例题与练习
例题 平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．
分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．
解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．
∵2a=10，2c=8．
∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3
因此，这个椭圆的标准方程是
请大家再想一想，焦点F1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分
练习1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
练习2 下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是 [ ]
由学生口答，答案为D．
(四)小结
1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
3．图形如图2-15、2-16．
4．焦点：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．
五、布置作业
1．如图2-17，在椭圆上的点中，A1与焦点F1的距离最小，|A1F1|=2，A2
F1的距离最大，|A2F1|=14，求椭圆的标准方程．
3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
是过F1的直线被椭圆截得的线段长，求△ABF2的周长．
作业答案：
4．由椭圆定义易得，△ABF2的周长为4a．
六、板书设计
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